X .y dx a
y dx a
32) On admet que la moyenne arithmétique d*une série de valeurs observées pour une même quantité, exprime la valeur la plus probable de cette quantité, pour les conditions d'observation.
33) Si Ton admet en outre que la probabilité d'une erreur accidentelle est une fonction analytique de sa grandeur (absolue), qui diminue rapidement à mesure que Terreur augmente, l'expression
l/1t représente la probabilité que l'erreur soit comprise entre
â? et a; 4" ^'^•
h est ce qu'on nomme Vindice de précision ; la probabilité pour une même erreur œ croît ou décroît avec lui.
On entend par courbe de probabilité des erreurs, la courbe dont l'équation est :
34) La probabilité que l'erreur ne dépasse pas la limite a, est la quantité finie
h r-r-a , , P=— - e-^^dx;
OU —7=^ I «"'* ^ dx.
35) Si Ion fait hœ = t, il vient
ah
qui exprime la probabilité qu'une erreur, t, tombe entre les limites 0 et =fcaA.
36) Dans deux espèces d'observations :
1^ Les erreurs qui ont des probabilités égales varient en"raison inverse de la précision des observations ;
2^ Les limites d'erreurs qui ont des probabilités égales varient aussi en raison inverse de la précision des observations.
Autrement dit : lorsqu'une urne contient des boules blanches et des boules noires en nombre égal :
P Les écarts relatifs également probables varient en raison inverse de la racine carrée du nombre de boules qui entrent dans les tirages ;
2** Les limites relatives^ qui correspondent à des probabilités égales, varient dans le même rapport.
37) Pour deux genres d'observations, les mesures de précision sont inversement proportionnelles aux erreurs également probables.
38) Si, dans Texpression
1 r+hx 2 rhx
on fait P = ^, on trouve
^ = p = 0,476936; d'où a; = -^=^r.
Cette valeur remarquable de œ est \ erreur probable de l'espèce d'observations dont la précision est A. Il est aussi probable de commettre une erreur supérieure qu'une erreur inférieure à r* — Sa probabilité est à peu
près les \ de celle dune erreur nulle. 39)De '•-T''' = i'
on déduit r:»-' = ^':/i;
c est-à-dire que « les erreurs probables sont en raison
^ inverse des mesures de précision. »
40) Soit m le rapport des probabilités de deux erreurs
œ et a/ : on aura
d OÙ l'on peut calculer h par logarithmes. Si l'on fait
a? = 0, il vient
Ainsi « quand la probabilité d'une erreur nulle est à «« celle d'une erreur a/ comme 1 : e -«»*'*, on doit, pour « l'espèce d'observations, prendre la mesure de préci- « sion égale à [/p. y*
41) La valeur la plus probable d'une inconnue, déterminée par plusieurs observations, étant la moyenne entre tous les résultats immédiats fournis par l'observation, la somme des carrés des erreurs est un mû nimum.
42) U erreur moyenne^ e^, est là quantité qu'on obtient en divisant la somme des carrés des erreurs réelles, par le nombre des observations, et en extrayant ensuite la racine carrée du quotient.
Autrement dit, c'est une erreur telle, que si elle existait seule dans chacune des p observations indistinctement, la somme des carrés de ces p erreurs égales serait la même que la somme des carrés des p erreurs inégales réellement commises,
p.ei« = S(6«) = [8»].
43) Le carré de la mesure de précision, multiplié par le carré de Terreur moyenne, est égal à - :
44) L'erreur probable est égale à l'erreur moyenne
— ^ multipliée par p J/2 = 7 £i, en nombres ronds. D'où
l'erreur moyenne = - de l'erreur probable.
45) Au point qui correspond à l'erreur moyenne, la courbe de probabilité présente une inflexion, et la tangente s'approche le plus de la verticale.
46) h [/p est la mesure de précision de la moyenne entre p observations dont la précision individuelle est A. Ainsi ^ la précision d'une moyenne croît comme la
« racine carrée du nombre d'observations qui ont con- « couru à la former. »
47) On nomme poids d'un résultat le nombre d'observations également précises, requis pour que leur moyenne ait la môme précision que ce résultat; la^ précision de chaque observation simple étant prise pour unité de précision.
48) Le poids d'une valeur est donc proportionnel au carré de sa mesure de précision.
49) On ramène différents résultats à la môme unité de précision, en les multipliant par les racines carrées de leurs poids.
50) Si plusieurs observations, o, o\ o"... oRt des poids différents 2?, p\ p"... leur véritable moyenne est
51) L'expression h = revient à celle-ci
en représentant par [o] la somme des résultats d'observation. Ainsi, « le carré de -est égal au double de
« Texcès de la valeur moyenne du carré de la variable, « sur le carré de sa valeur moyenne. »
Lorsque Ton passe à la continuité, l'expression précédente devient :
J/ 2 I \ydx . «« — \{yàx . xf
52) Les poids sont réciproquement proportionnels aux carrés des erreurs moyennes ou des erreurs probables.
53) Il y a un à parier contre un que la véritable valeur de h est comprise entre
ou que la véritable valeur de r est comprise entre les limites
54) Dans Téquation pej*= [e*], le second membre exprime la somme des carrés des écarts par rapport à la moyenne; t^ représente donc Y écart moyen, mais on nomme plus exactement erreur moyenne la quantité
55) L'erreur moyenne E^ de la moyenne entre p observations est
et son poids p = p^ +p^ +p, ... = [p].
56) Soit T,j l'erreur moyenne de Tunité de poids : on a Et = ^*
57) Soit une fonction u=^(/ àiof' :
6 Terrear moyenne de u ; P son poids ; e' — o' ; |/ —
On a ) 1 1 I 1
Et, en général, quel que soit le nombre des observations :
Si elles sont en nombre n, et d'égale précision, on a
58) Soit M = aV;
e ==dba'e';
on a { 1/
59) Soit M = aV + aV'4-a'V" + ...
e db l/[aH«] ;
on a
60) Soit M«n^»<>"»o'"-)
ou plus généralement
Les erreurs moyennes sont de véritables différentielles, et il vient
du du du
ou db e = db r e' d= i" e" dz V" e'" db ...
On en déduit } * [^
61) Soient m équations linéaires entre [m — n] inconnues :
a" a; + ft" y + c"« + d" i; + ... + n" = A" ... etc.
Leur résolution par la méthode des moindres carrés conduit à (m — n) équations normales de la forme
[oa] a; 4- [oè] y + [ac] 2 + [a(f] v 4- . . . + [an] = 0 [ad]aî4-[^è]y + [6c]«4-Mi; + ... +[^i] = 0 [ac] a; + \bc\ y -\- \cc\ z + [crf] y + ••• + [«^0 = 0... etc.
entre lesquelles il suffit d'éliminer par la méthode ordinaire.
N. B. Si les équations primitives n'étaient pas linéaires, on ramènerait ce cas au précédent au moj^en d'une solution indirecte.
62) L'erreur moyenne d'une observation est
63) Pour trouver le poids, P^, d'une inconntie, z^ on remplace dans l'équation normale relative à z^ la quantité toute connue par — 1 ; dans les autres équations normales, on la remplace par zéro; en même
temps, on met Q^ à la place de :3:, et Ton élimine toutes les inconnues restantes. On trouve ainsi
L^erreur moyenne de l'inconnue z est donc
64) Une autre règle pour trouver le poids d'une inconnue, consiste à éliminer simplement entre les équations normales, en ayant soin de n'introduire aucun facteur d'élimination. Le coefficient de l'inconnue qui reste la dernière est le poids de cette inconnue.
65) Si des inconnues a?, y, z... sont données par les équations normales (61), et qu'on veuille chercher le poids P d'une expression
M = ox + Py 4- Y2,
tirée de ces équations, on le trouvera par la formule
1 = «a + PB + yC..
dans laquelle A, B, G... sont des quantités qui satisfont aux équations suivantes et qui peuvent s'en déduire :
[aa] A + [o/^] B + [ac\ C... = a [od] A + Ibb"] B + \bc] C... = p [ac] A 4- \bc\ B 4- \cc\ G... = Y —
66) Lorsque les observations à traiter sont d'inégale précision, les équations normales (61) se changent en
\jpaa\ X + ipabl y + [pac] 2 + ... + [pan] = 0 [pab] X 4- ivhh] y + Ipbc] z + ,..+ [p^] = 0 [pac] X 4- [pbcl y 4- [pcc] ;5 + ... 4- [p^] = O---
67) Entre m quantités observées isolément, il existe c relations nécessaires : ces relations sont telles, que les m erreurs a/, a/\ d". . . sont liées entre elles par les équalions de condition suivantes
0 = n' + aV + a''x'' +V'V" ... + a^Xm 0 = n" + b'af + è' V + 6" V" ... + h^m
Ô = «c + fcV 4- /l'V + W" ... + hmXm.
Les corrections les plus probables sont alors déterminées par les m équations corrélatives
af ^a!h^ -\' b'k'' + c' W" ... + h' ke x" = a"k' + h''k" + fW" ... + W%
Xm = Omk' + bjc" + Cmk'" ... + hjce.
Les C coefficients corrélatifs k\ A", A'", . . k^ sont d'ailleurs fournis par voie d'élimination entre les c éqications normales
0 = n' ^Im-jk' +lab']k'' + [ac]k''' + ,,.+{ah']kc 0 = n" + [ab-] k' + [bb] k" + [bc] k"' + ... + [bh] fc
Ô = ne + [ah] k' + [bh] k" + [cft] fc'" + ... + \hK\ kc-
68) L'erreur moyenne d'une observation est, dans ce cas,
69) Lorsque les observations sont de précisions différentes, les équations corrélatives deviennent
a'^' , h'k'' c'W" Wkc
p' p' fy p'
a'T b''k'' (fT" Wkc
et les équations normales
70) L'erreur moyenne de l'unité de poids est, dans
et celles des observations sont
e = —7= ; e" = / ; etc.
71) Soit w = F (V, V", V) une /oncfion de certaines observations qui ont été compensées à l'aide des c équations de condition (67).
On tire d'abord, de la fonction donnée, les coefficients différentiels t, f, f'.... par la formule
du = /'dv + rdV" 4- /'"dV" + ...
Puis on forme les c équations de transport
0 = [a/] + [oa] ri +[a*] r» + [ac] r, + ... 0 = M + M n + ibb-\ u + m r, + . . .
Ô = [Aq + Mri4-Mrt + Wr,+ ...
qui permettent de déterminer par élimination les c coefficients de transport, r. — Transportant ceux-ci dans les équations
Vf « /" + a'Vi + y'rt + c"ri + ... Liv = ... o«'r« = b"rt + Cri + ...
on en déduit les valeurs des L ; puis on a
