DE LA PREMIERE EDITION

Si toutes nos connaissances étaient susceptibles de nous conduire à la certitude, comme le font les propositions fondamentales des mathématiques pures, nos jugements seraient toujours accompagnés d'une conviction pleine et entière, que nous pourrions faire partager à tout être raisonnable. Mais il n'en est pas ainsi : la plupart de nos connaissances et de nos jugements ne sont que de simples croyances plus ou moins fondées; elles n'ont, pour nous servir d'une expression admise dans le langage ordinaire, qu'un certain degré de certitude.

Suivant ces différents degrés, un événement peut nous paraître certain, probable, douteux, improbable ou impossible.

Il est certain pour nous lorsqu'il n'existe, à notre connaissance, av^un motif qui lui soit contraire.

11 nous paraît probable, douteux ou improbable.

lorsqu'il y a j^lus, autant ou moins de motifs pour son existence que contre elle.

Enfin, nous le jugeons impossible^ lorsque nous ne voyons aucun motif qui soit favorable à son existence.

De la certitude en faveur d'un événement on passe à la certitude contraire par une infinité de degrés qui constituent une jjrobahilité plus ou moins grande. La probabilité peut donc se mesurer; comme telle, les lois des nombres lui deviennent applicables, et cette application, dans son acception générale, forme l'objet d'une branche importante des mathématiques, qu'on a désignée sous différents noms, tels que : Géométrie du hasard, Théorie des chances, Calcul des probabilités, etc.

L'application des mathématiques à la recherche de la probabilité des événements a soulevé contre elle, dès le principe, des préjugés nombreux qui ne sont pas encore entièrement dissipés. Vouloir soumettre le hasard à des règles géométriques paraît une utopie, qu'on pardonne à la naïveté des hommes de cabinet, mais sur laquelle les hommes qui se disent pratiques savent à quoi s'en tenir. N'est-ce pas du reste une opinion généralement

admise, que le hasard se plaît à tromper les prévisions les plus justes, à déjouer les plus sages combinaisons?

A celte objection nous répondrons par un seul mot : — Préjugé. — Non, le hasard, dans l'acception ordinaire du mot, n'est pas aussi bizarre qu'on le dit; on est vivement frappé de ses rares anomalies, mais ses innombrables effets réguliers passent inaperçus : voilà la vérité. D'ailleurs, si l'on voulait réfléchir, on reconnaîtrait bientôt que tout événement simple n'est autre chose qu'un effet, c'est-àdire le produit d'une cause; que les mêmes causes, en se répétant ou en se combinant entre elles, doivent nécessairement amener les mômes événements composés; et que, par suite, tout ce qu'on attribue au hasard n'est qu'une conséquence forcée et mathématique de la théorie des combinaisons.

Dans beaucoup de questions, il est vrai, les causes sont si nombreuses et si délicates, qu'il devient impossible de les assigner toutes à priori : mais quelle est la branche des mathématiques appliquées qui ait dans ses résultats la rigueur des vérités géométriques, et qui ne soit réduite, dans certains cas, à invoquer l'expérience ou à se contenter de l'approximation ? Dès qu'on entre dans

10 THftORTR DES PROBABILITÉS.

le champ de rapplication , on doit, par ce fait même, abandonner la recherche de la vérité absolue; il faut renoncer à la voie idéale qui mène au résultat mathématique, pour prendre un des mille sentiers qui aboutissent dans son voisinage. Or, par quelles indications Tesprit se laissera- 1 -il guider dans le choix de la route à suivre? — Par des raisonnements tirés des probabilités, et par celle considération capitale, qu'il doit arriver le 2)h(s près possible du but, en s'écartant le moins possible du véritable chemin.

La théorie des probabilités s'applique donc natnrellenjent, et pour ainsi dire d'elle-même, aux sciences d'observation. Ici l'expérience nous trace un cercle plus ou moins étendu dans lequel doit se trouver la vérité : où placerons-nous la vérité elle-même, si ce n'est au centre de ce cercle, point qui satisfait le mieux et le plus simplement possible à l'ensemble des observations? Le caractère analytique de cette dernière condition est que la somme des carrés des corrections soit un minimum : nous considérerons cette relation en son lieu; pour le moment, contentons-nous de remarquer qu'elle est la traduction rigoureuse d'un grand principe de la nature, celui de la moindre action;

PRÉFACE. Il

chaque observation plus ou moins précise étant assimilée à un corps matériel plus ou moins pesant, la vérité doit résider au centre de gravité du système.

Malheureusement la science des probabilités a un tort grave aux yeux du monde, c'est le nom qu'elle porte. Dans notre époque d'indifférence et de scepticisme, le mot probable est devenu si vague, qu'il a perdu, pour ainsi dire, toute signification déterminée; et tel est l'empire des mots sur l'esprit des hommes, que toute application des probabilités leur parait entachée d'un vice originel, le manque

de réalité. Changez le titre de cette science, elle ne tardera pas à dépouiller le caractère conjectural qu'on lui attribue dans le monde, et elle prendra rang, sans aucune difficulté, parmi les applications les plus curieuses et les plus utiles des mathématiques. Si des objections sérieuses ont quelquefois été faites au calcul des probabilités, c'est dans ses applications aux sciences judiciaires, politiques et morales : ces objections cependant ne sont pas sans réplique; et l'on pourrait, à l'autorité des Dupin, des Poinsot, des Cousin, opposer celle de Condorcet, Laplace, Poisson, Quetelet, etc. Mais comme cette espèce d',application des probabilités

n'entre pas dans le cadre de mon ouvrage, je n'ai pas à la justifier ici.

Considérée comme un simple exercice intellectuel, l'étude des probabilités est éminemment propre à donner à l'esprit de la pénétration et de la flexibilité; elle nous apprend à analyser les causes, à les combiner, à leur assigner leur juste degré d'importance; elle nous met en garde contre une foule de préjugés vulgaires ou d'illusions captieuses qui naissent le plus souvent, soit de l'irréflexion, soit d'une énumération incomplète des circonstances qui accompagnent les phénomènes; enfin, s'appliquant à des sujets aussi nombreux que variés, elle fortifie le sens pratique et corrige cette sécheresse d'idées qu'on remarque souvent chez les hommes qui se sont absorbés dans des études fortes et sérieuses, mais dirigées vers un but unique.

Aussi, depuis Pascal et Fermât, un grand nombre de géomètres et de philosophes ont-ils fait une étude spéciale de la science des probabilités. C'est à elle que Laplace a été redevable de ce tact particulier, qui lui faisait si bien juger du degré de certitude avec lequel les phénomènes naturels paraissaient ressortir de l'observation : il avoue

lui-même (Essai philosophique sur les probabilités) que la considération des probabilités lui a servi de base et de point de départ pour ses plus belles découvertes astronomiques. Avant de reconnaître les deux inégalités du mouvement lunaire^ dues à Fellipticité du sphéroïde terrestre, il commença par s'assurer que leur existence, au milieu de Tincertitude des observations, était indiquée avec une probabilité assez forte, pour qu'il crût devoir en rechercher la cause. C'est encore en suivant la même marche philosophique qu'il fut amené, dit-il, à trouver la cause de l'équation séculaire de la lune, celle des grandes inégalités de Jupiter et de Saturne, et enfin celle de la loi remarquable qui régit les mouvements moyens des trois premiers satellites de Jupiter.

Par contre, combien l'histoire des sciences n'at-elle pas enregistré de mécomptes, dus à l'oubli de cette règle prudente! Combien de théories spécieuses n'a-t-on pas laborieusement enfantées, pour chercher à expliquer des phénomènes qu'on croyait suffisamment établis par l'observation, et qui, soumis plus tard à une saine critique, ont été trouvés n'avoir qu'une existence imaginaire!

.Le calcul des probabilités prit naissance, avons-

nous dit, entre les mains de Pascal et de Fermât. En 1634, un joueur, le chevalier de Méré, proposait à Pascal deux questions relatives au jeu, savoir : « 1® En combien de coups peut-on espérer d'ame- « ner un sonnez au jeu de trictrac? 2*> Dans quelle « proportion doit-on répartir les enjeux, lorsqu'on « cesse de jouer avant que la partie soit ter- « minée? »

Le grand géomètre résolut facilement ces deux questions; mais en même temps, il vit dans cette étude une science toute nouvelle et pleine d'avenir : il en jeta aussitôt les fondements et lui donna le nom de géométrie du hasard [aUœ geometria). Fermât, sur l'invitation de Pascal, tourna ses réflexions vers ce sujet, et c'est lui qui, le premier, appliqua la théorie des combinaisons au calcul des probabilités.

Huygens suivit immédiatement la voie ouverte par les deux géomètres français : il publia, en 1658, un petit traité sur les jeux de hasard, intitulé : De ratiociniis in ludo aleœ.

On voit que, dans l'esprit de ses inventeurs, le but de la théorie des probabilités se bornait aux spéculations aléatoires. Le premier qui ait songé à l'appliquer aux sciences économiques est le

grand pensionnaire Jean de Witt, illustre disciple de Descartes. Il exposa (1671) la manière de fixer le taux des rentes viagères, d'après les chances de vie qu'indiquerait une table de mortalité. Nous ignorons de quelle table il se servait à cet effet, car la plus ancienne qui fut répandue en Europe est celle que Halley a publiée en 1693 dans les Transactions philosophiques . — Un autre géomètre hollandais, initié comme Jean de Witt au maniement des affaires, Hudde, écrivit aussi sur le môme sujet, au rapport de Leibnitz.

Les grandes découvertes qui signalèrent la fin du xvii^ siècle, la création de la mécanique céleste, de l'optique, du calcul infinitésimal, éclipsèrent pour un moment le nouveau calcul des hasards. Mais enfin Jacques Bernoulli vint lui donner une constitution définitive dans son important ouvrage intitulé : Ars conjeetandi. Cet ouvrage, imprimé en 1713, huit ans après la mort de son auteur, contient en germe toute la philosophie du calcul des probabilités; mais elle y est demeurée presque ensevelie, jusqu'à ce que Condorcet l'ait rappelée, perfectionnée et étendue. Bernoulli se proposait même tfy montrer l'application du calcul des probabilités aux sciences morales et économiques:

la mort Tempôcha de mettre la dernière main à son travail.

Depuis lors, l'importance de cette science s'est rapidement accrue : elle a été cultivée et étendue successivement par de Montmort, Moivre, Leibnitz, Jean, Nicolas et Daniel Bernoulli, Buffon, Hume, Euler, Condorcet, d'Alembert, Lagrange, Làplace, Gauss, Lacroix, Legendre, Poisson, Cournot, Quelelet, etc., et l'on peut signaler comme un fait remarquable que les philosophes les plus illustres, les géomètres les plus distingués se sont tous portés vers l'étude de cette science avec une singulière prédilection.

Aussi, la théorie des probabilités a-t-elle pris aujourd'hui une si grande extension, qu'il faudrait des volumes pour présenter un aperçu complet de ce vaste sujet et des applications nombreuses qu'il a reçues. Forcés de nous restreindre, nous tâcherons de ne laisser que les lacunes les moins regrettables dans l'ouvrage que nous publions aujourd'hui; nous nous attacherons principalement, dans la partie théorique, à Yespnt des méthodes, et, dans la partie pratique, aux questions dont Yutilité nous paraîtra incontestable.

Nous diviserons cet ouvrage en trois sections :

La première traite des probabilités théoriques ou à priori : on y part des causes, supposées connues, et on les combine pour arriver à la probabilité des événements. Les auteurs allemands désignent cette espèce de probabilité par la dénomination de Wahrscheinlichkeit aus Griindefi.

La seconde section embrasse les probabilités physiques ou à posteriori (Wahrscheinlichkeit aus Beobachtung) : on y part de l'observation des événements y pour remonter aux causes qui les ont produits; elle établit donc un lien, une transition, entre les probabilités pures et les probabilités appliquées.

Enfin la troisième section présente les applications du calcul des probabilités aux observations et aux expériences; elle indique la manière la plus avantageuse de combiner les équations de condition et de répartir les erreurs fortuites; elle apprend à trouver les résultats moyens les plus probables et à en estimer la précision, etc. L'analyse qu'exige ce genre de questions est des plus délicates, et c'est un des principaux objets du grand ouvrage que Laplace a publié sur la théorie des probabilités. Les auteurs allemands en général, et en particulier Gauss, Bessel, Baeyer, Encke,

Gerling, nous ont laissé à ce sujet d'admirables modèles théoriques et pratiques.

Lorsque j'ai entrepris mon travail, j'avais en vue un double but :

1^ Montrer comment, dans une série d'observations, on doit traiter les inconnues et répartir les erreurs, si l'on veut obtenir le résultat le plus plausible et pouvoir en même temps apprécier la grandeur de l'erreur à craindre;

2^ Appliquer la théorie des moindres carrés à des exemples tirés de diverses sciences, l'astronomie, la météorologie, la statistique, la physique, l'artillerie, etc., mais particulièrement à la haute topographie et à la géodésie.

Pour exposer convenablement ce sujet, je devais m'appuyer sur les principes fondamentaux du calcul des probabilités; et mon ouvrage aurait manqué d'ensemble et offert une lacune, si je n'avais commencé par les rappeler : tel est le motif pour lequel je me suis hasardé à présenter, à mon point de vue, la théorie élémentaire des probabilités, quoique, dans notre langue, plusieurs auteurs aient déjà traité cette matière avec une grande supériorité. Du reste, je leur ai emprunté largement, et j'ai des obligations particu-

lières à Lacroix, Cournot et Quetelet. Si je ne les ai pas nommés plus souvent, non plus que les auteurs allemands auxquels je dois beaucoup, c'est uniquement pour ne pas devoir à chaque instant interrompre le discours par des citations qui intéressent peu le lecteur. Je pense, d'ailleurs, que Fauteur d'un ouvrage destiné à l'enseignement ne doit pas ambitionner le titre dUnventeur : ce qu'il doit rechercher, c'est l'unité dans la conception de l'ensemble, l'ordre dans la disposition des parties, la simplicité dans le choix des méthodes, et enfin la clarté dans l'exposition du sujet. Heureux lorsqu'il peut réunir quelques-unes de ces qualités.

Il me reste à expliquer, en terminant, pourquoi j'ai choisi dans la géodésie le plus grand nombre de mes applications. Les observateurs et les savants français sont certainement les premiers qui aient placé cette science au rang élevé qu'elle occupe aujourd'hui; et tout le monde rend justice aux beaux travaux pratiques ou théoriques de Delambre, Biot, Arago, Puissant, Brousseaud, Corabœuf, etc. Mais depuis ujne vingtaine d'années, la géodésie, entre les mains de Schumacher, Gaiiss, Struve, Bessel, Baeyer, a pris en Allemagne une

forme nouvelle, basée entièrement sur l'application de la théorie des moindres carrés. Les procédés d'observation et de calcul, employés aujourd'hui chez nos voisins de l'Est, sont encore peu connus en France et en Belgique; et cependant ils sont susceptibles d'un si haut degré de précision, que notre Dépôt de la guerre leur a accordé la préférence sur les méthodes françaises : ils sont exclusivement suivis dans la triangulation qui s'exécute actuellement dans notre pays, sous la direction d'un de nos officiers supérieurs les plus distingués. C'était donc une œuvre d'actualité, que de chercher à vulgariser les procédés géodésiques usités en Allemagne.

Gand, !•' juin 4852.