CHAPITRE PREMIER

ET DE l'ordre.

§ 1 . — Rien dans la nature n'est livré au hasard. Tous les événements, ceux même qui nous paraissent les plus fortuits, sont une conséquence nécessaire de lois primordiales et éternelles. La courbe irrégulière décrite par une simple molécule de vapeur flottante est déterminée d'une manière aussi certaine que les orbites des corps célestes.

Sans aborder des considérations d ordre moral, qui sortiraient de notre sujet, nous posons donc en principe que l'existence de tout phénomène physique est liée à celle d'une catise antérieure qui le produit; de sorte que Vétat actuel de l'univers entier, jusque dans ses parties les plus imperceptibles, n'est que Yeffet de son

état passé, et la cause de son état futur. Une intelligence supérieure qui, pour un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des éléments qui la composent, pourrait (si d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l'analyse) embrasser dans une même formule les mouvements des plus grands corps de l'univers et ceux du plus léger atome : pour elle, tout événement à venir serait certain ou impossible.

Mais pour l'homme dont les facultés sont limitées ou tout au moins simplement progressives, Véquivalent du hasard existe : c'est l'ignorance où il se trouve relativement aux causes. Incapable de remonter aux conditions premières qui concourent à la production des événements, de les démêler entre elles, de les énumérer et de les combiner, il reste dans le doute. Mais lorsqu'il récapitule les circonstances connues qui sont en relation évidente avec les causes, ainsi que tous les indices qui peuvent donner quelque connaissance du mode d'action de ces causes, la vu'î de son esprit est portée plus fréquemment, selon les cas, sur un événement que sur tout autre possible, et alors il est amené à croire à l'arrivée de cet événement qui devient ainsi probable pour lui.

Pour pouvoir évaluer la probabilité, il convient, d'après cela, de décomposer, comme dans toute méthode de numération, les événements du même genre en un certain nombre de cas également possibles, c'està-dire tels que nous soyons également indécis sur leur arrivée, et de déterminer le nombre de ces cas qui corres-

pondent à révénement dont on cherche la probabilité. « Le rapport de ce nombre à celui de tous les cas pos- « sibles est la mesure de cette probabilité. »

Chaque cas possible est ce qu'on nomme une chance. Le tirage d'une carte déterminée hors d'un jeu ordinaire présente 32 chances, puisqu'on peut, au moins à nos yeux, prendre indifféremment Tune quelconque des 32 cartes dont le jeu se compose.

Dans cet exemple, les chances sont réputées égales entre elles et Ion ne doit considérer que leur nombre. Si on les jugeait inégales, on devrait avoir égard à la fois à leur nombre et à leur valeur, c'est-à-dire qu'il faudrait chercher à décomposer chacune d'elles jusqu'à ce qu'elles soient toutes ramenées à la même unité de possibilité ; or, une chance deux fois plus forte qu'une autre équivaut évidemment, dans le dénombrement des chances, à deux chances égales à cette autre ; il y a donc moyen, si l'on parvient à déterminer la valeur relative des chances, de ramener le cas des chances inégales à celui des chances égales. Dans ce dernier cas, il est évident que la probabilité d'un événement peut s'exprimer numériquement par « une fraction dont « le dénominateur est le nombre total des chances, et « dont le numérateur est le nombre de ces chances qui « correspondent à la production de l'événement » . Cellesci sont ordinairement appelées les chances favorables.

§ 2. — Il arrive fréquemment que la question posée ne comporte pas l'énumération des chances, parce qu'elles ne constituent pas autant d'unités discrètes ou que leur nombre est infini. L'expression de la probabi-

lité s'obtient alors par des procédés indirects, basés sur le principe que cette probabilité est égale au « rapport « de Yétendue des chances favorables à l'étendue totale tf des chances ». Ce principe embrasse évidemment la formule, donnée ci-dessus, de l'expression numérique de la probabilité dans le cas où toutes les chances peuvent être énumérées.

Quand toutes les chances sont favorables à un événement, le numérateur de la fraction qui représente la probabilité devient égal à son dénominateur ; la probabilité se change en certitude et son expression numérique devient égale à l'unité. « L'unité est donc le symbole de la certitude. »

Lorsqu'on jette un dé à six faces, marquées chacune de l'un des nombres depuis 1 jusqu'à 6, l'arrivée d'un point déterminé a donc pour probabilité -. Lorsqu'on

jette à la fois deux dés, chacune des faces de Tun peut se montrer avec chacune des faces de l'autre ; en sorte que, si l'on désigne le premier dé par A et le second par B, on aura les trente-six chances indiquées dans le tableau suivant :

Toutes les combinaisons de points marquées dans ce tableau sont des chances également possibles. Ainsi, amener 5 avec le dé A et 2 avec le dé B, est une chance pareille à celle d'amener la combinaison 6 et 6, ordinairement nommée le sonnez. Mais si Ton considère les points obtenus sans distinguer le dé avec lequel chacun a été amené, il est bien évident que la combinaison 5 et 2, par exemple, pouvant se faire avec 5 par le dé A ou par le dé B, correspond à deux des chances inscrites au tableau, tandis que le sonnez ne correspond qu'à une seule chance. Par conséquent, suivant la définition donnée ci-dessus, la probabilité d'amener

la combinaison de points 5 et 2, est '^^^l[â* ©t celle d'amener 6, 6 est seulement — .

Si l'événement désiré était, non pas l'arrivée de points considérés chacun à part, mais celle de la somme des points pris collectivement, on trouverait des possibilités très-diverses. Par exemple, le nombre 2 ne peut s'obtenir que d'une seule manière, savoir par la combinaison 1, 1; le nombre 7, au contraire, résulte de six combinaisons différentes, savoir :

et suivant ces conditions, la probabilité d'obtenir la

somme 2 serait seulement —, tandis que celle d'obtenir

. 6 i la somme 7 serait ^ o^ g-

§ 3. — La probabilité contraire à un événement

[die Ergânzung derWahrscheinlichkeit ^) s'estime par un procédé analogue au précédent, c'est-à-dire en divisant le nombre des chances dé favorables ^av le nombre total des chances. Elle représente d'ailleurs la somme des probabilités de tous les événements possible sautres que celui considéré.

Soit m le nombre des chances favorables à un événement ;

Soit n le nombre des chances défavorables.

La probabilité de son arrivée sera

et celle de sa non-arrivée

« La somme de ces deux probabilités doit évidemment être égale à l'unité. »>

§ 4. — La principale difficulté du calcul des probabilités réside dans l'énumération de toutes les chances possibles. Quelle que soit la question posée, il est avantageux de chercher à la ramener, par des assimilations, au cas de l'extraction d'un certain nombre de boules hors d'une ou de plusieurs urnes qui renferment des boules de couleurs diverses, ou au jet de dés présentant un certain nombre de faces numérotées.

^ Le complément de la probabilité.

Supposons qu'on nous présente une urne remplie de boules qui ne diffèrent entre elles que par la couleur, et qu'on nous demande la probabilité que la première boule tirée sera blanche. Pour pouvoir répondre, il nous faudra des renseignements préalables sur le contenu de l'urne. Si, par exemple, on nous dit quelle renferme deux boules blanches, trois noîres et quatre rouges, en tout neuf boules, la probabilité que la première boule

tirée sera blanche est - .

Il n'est môme pas nécessaire qu'on nous dise combien il j a de boules en tout, et qu'on nous indique le nombre des boules de chaque couleur : il suffit que nous connaissions le rapport de ces derniers nombres. Il est clair, en effet, que la probabilité de tirer une boule blanche resterait la môme, si l'urne renfermait :

4 boules blanches, 6 noires et 8 rouges; ou , 6 — — 9 — i2 — etc.

Cette proposition, que Laplace a démontrée directement {Essai philosophiqvie sur les probabilités), résulte suffisamment de l'égalité des fractions, qui ne diffèrent entre elles que par un facteur commun au numérateur et au dénominateur.

Ce genre de questions, dans lequel le nombre des chances de chaque espèce (ou du moins le rapport de ces nombres) peut ôtre déterminé et se déduit à priori de l'énoncé de la question, se rattache à une branche particulière du calcul des probabilités, qu'on nomme détermination des probabilités à priori : c'est la partie

purement mathématique de la science, et celle qui fait l'objet de notre première section.

En général, dans les différents jeux qu'on nomme jeux de hasard, le nombre des chances est limité et leur nature est connue ; mais il n'en est pas de même dans ce qui se rapporte aux sciences d'observation. L'urne qui renferme le secret de la nature est ouverte devant nous ; il nous est permis de faire autant de tirages que nous le voulons ; c'est-à-dire de multiplier les épreuves ou les expériences; mais l'urne est inépuisable : nous ne compterons jamais le nombre de4boules qu'elle renferme, et ce n'est que par induction que nous pourrons nous donner des lumières sur son contenu. La détermination des probabilités à posteriori a pour objet cet autre genre de questions : le nombre total des chances y est illimité, et ses rapports avec le nombre des chances de chaque espèce sont inassignables.

On entrevoit déjà que, dans la détermination des probabilités à priori, qui est ordinairement ramenée au tirage d'un certain nombre de boules <le couleurs désignées, on a souvent besoin de calculer le nombre des combinaisons d'une certaine espèce qu'on peut former avec n éléments, distincts ou non. Nous allons donc rappeler ici, en peu de mots, les principales formules de la théorie des combinaisons numériques.

§ 5. — Soient des éléments distincts en nombre m à combiner entre eux; et, pour fixer les idées, désignons-les par les lettres :

NOTIOiNS PRËLI>JINAIRES^ ETC. 29

Pour former toutes les combinaisons 2 à 2 dont ces éléments sont susceptibles, on pourra combiner l'élément a, avec chacun des {m — 1) restants, b, c, ... k,l; puis l'élément b, avec chacun des (m — 1) autres éléments, a, c, ... kyl; et ainsi de suite; ce qui donnera en tout un nombre de combinaisons exprimé par le produit m (m — 1). Mais de cette manière il est évident que chaque combinaison (celle de a et de &, par exemple) aura été obtenue deux fois, savoir : en combinant d'abordé avec a ; puis en combinant a avec b : le nombre des combinaisons proprement dites, c'est-à-dire qui diffèrent entre elles au moins par un élément, sera donc exprimé par

Les combinaisons ternaires se formeront en associant successivement chaque combinaison binaire {a b) avec chacun des (/n — 2) éléments restants c, ... A, i. Par là on obtiendra trois fois la même combinaison [a b c), savoir : en combinant (a b) avec c ; [a c) avec b ; ip c) avec a. Le nombre des combinaisons ternaires sera donc

On conclut, par une induction évidente, que le nombre des combinaisons distinctes entre m éléments pris nkn a pour valeur

mC ^ ^ (^^-^ ^) (ffl— ^) • " {m — Il + i) (^j

tt 1. 2. 3 ... n

§ 6. — Si Ton associait à l'idée générale de combinaison celles de certaines relations d'ordre ou de position, en sorte que la combinaison (6 a) dût être réputée différente de [a ô), les combinaisons regardées comme identiques dans le raisonnement précédent cesseraient de Têtre; par suite les m éléments fourniraient m(m — 1) arrangements binaires, m(m— 1) [m — 2) arrangements ternaires, et en général un nombre d'arrangements nkn représenté par

§ 7. — Puisque le nombre des arrangements entre m éléments pris n à n est exprimé par le produit (2), tandis que le nombre des combinaisons se trouve exprimé par le quotient (1), il est évident que le dénominateur de cette dernière expression ou le produit

représente le nombre de tous les changements d'ordre ou de toutes les permutations possibles entre n éléments . C'est, du reste, ce qu'il serait facile de prouver par un raisonnement direct.

Si les n éléments à permuter devaient être rangés dans une série circulaire, et qu'on ne dût pas avoir égard aux lieux absolus qu'ils occupent, mais seulement à l'ordre suivant lequel ils se succèdent, le nombre des permutations distinctes se réduirait à

En effet, comme on peut rompre le cercle à la place occupée' par un quelconque des n éléments, chaque

combinaison circulaire donne lieu à n combinaisons rectilignes ; autrement dit, le nombre des premières est n fois moindre que le nombre des dernières.

§ 8. — Il est bon d'observer que le nombre de combinaisons de m éléments n à n est le même que le nombre de combinaisons de ces m éléments (m — «) à (m — n). En effet, à chacune des premières correspond une combinaison (m — n) à (m — n) fournie par les éléments qui n'entrent pas dans la combinaison considérée, et réciproquement.

§ 9. — Applications. — 1® Sur m éléments proposés on en désigne m' : Quel est le nombre X de toutes les combinaisons i; à v, dont chacune renferme v' des éléments désignés et non plus?

Exemple : dans combien de combinaisons 4à4formées avec les dix premières lettres de Talphabet, la lettre a entre-t-elle?... m' = t?' = 1 ; d'où X = 84.

Combien de ces combinaisons contiennent a sans b 0U& sans a?... m' = 2; t?' = 1 ; d'où X = 112.

Combien renferment a et & ensemble?... m'=t;'=2; d'où X= 28.

Combien ne renferment ni a ni bf... m! = 2; t?' = o; d'où X = 70 = 8 C4. (Ici m' Co = /n' C (m' — 0) = 1 .)

Combien renferment deux des trois lettres a, &, cf.,. m' = 3; t/ = 2; d'oùX = 63.

2® Parmi tous les arrangements de m éléments v kv.

quel est le nombrS x de ceux qui commencent par v' éléments sur m! désignés, et ne renferment que ces v' là sur les m'?

x = m' X Um — m') A , \,

Ainsi, sur les 840 arrangements de 7 lettres prises 4 à 4, il y en a 72 qui commencent par deux des trois lettres a, b, c et ne renferment pas la troisième.

Si Ton demandait simplement que v' (au moins) des m' éléments désignés commencent les arrangments considérés, le nombre de ceux-ci serait :

Pour Texemple traité plus haut, œ est égal à 120.

3^ Quel est le nombre y des arrangements de m éléments V k V dans lesquels se trouvent Tun prés de l'autre, v' éléments sur m! désignés, ces v' étant aussi les seuls parmi les m' dans un môme arrangement ?

Ainsi, sur les 24 arrangements de 4 lettres 3 à 3, il y en a 18 où la lettre a se trouve; 4 qui commencent par les deux lettres a et & ; et 8 où a et 6 sont voisins.

De même sur les 360 arrangements de 6 lettres 4 à 4, il y en a 240 qui contiennent la lettre a et 108 où se trouvent Tune à côté de l'autre deux des trois lettres a, b, c, la troisième n'y étant pas.

Si l'on ne demande pas que les v' éléments voisins soient les seuls des m' dans un môme arrangement, le

NOTIOxNS PRÉLIMINAIRES, ETC. 33

nombre cherché est représenté par une somme dont chaque partie est de la forme :

m'A ,j(fn — m')A , )(m'— vOA X(v— v — n + i).

n étant le nombre des éléments m' contenus, en dehors dest?', dans les arrangements considérés ; n peut varier, par conséquent, de o kv — v\

Parmi tous les arrangements de 6 lettres 4 à 4» le nombre de ceux où deux des trois lettres a, &, c sont voisines, la troisième étant ou non dans les arrangements considérés, est égal à :

4° Quel est le nombre r des arrangements de m éléments V kv qui renferment v' éléments sur m' désignés et non plus?

Dans ce cas, les i?' éléments ne doivent plus être nécessairement voisins.

r=XxA .

Remarque générale. — On pourrait demander dans chacun des cas que nous avons traités, que v' fût le nombre minimu7n des éléments désignés qui se trouvent dans les combinaisons ou les arrangements répondant à la question; les X, a?, ^, ... se changeraient alors en SX, Sa?, 2y ... (somme de X, a?, y ...) et ces sommes seraient formées de valeurs de X, a?, y ... pour

t/ égal successivement à t?', t?' -f* It t;' -f- ^ •••» ^• Ainsi dans les arrangements de 6 lettres 4 à 4. le

nombre de ceux qui renferment au moins deux des trois lettres a, J, c (voisines ou non), est égal à :

Sr^ 3=216 + 72 = 288.

5** Dans un jeu de 52 cartes contenant 13 cœurs, on tire 4 cartes au hasard. Quelle probabilité y a-t-il que ces 4 cartes renferment 3 cœurs ?

Le nombre total des chances est

Le nombre des chances favorables est représenté par X, en faisant m = 52; t? = 4 ; t?' = 3; m' = 13; d'où

La probabilité demandée se réduit donc à 0.041. Si Ton avait demandé qu'il y eût au moins 3 cœurs parmi les 4 cartes tirées, la probabilité eût été :

0,041 H liLlll±- == 0,0436.

Remarque. — La question pourrait être traitée en partant de la formule r, si, par exemple, on considérait subsidiairement l'ordre dans lequel les cartes se présentent dans les tirages. Il est facile de reconnaître d'ailleurs que le résultat serait le même, puisque A4 est alors facteur commun au numérateur et au dénominateur de la probabilité.

6° Six personnes doivent se ranger sur un banc dont les places sont tirées au sort : trois amis désirent

être voisins. Quelle probabilité y a-t-il que cela arrivera?

Le nombre total des chances est 6 A5 = 720.

Le nombre des chances favorables est y, en faisant m == r = 6 ; w' = t;' = 3 ; d'où y = 144. La probabilité

cherchée est donc - == 0,2. ♦

7^ Même question, en supposant les amis rangés autour d'une table.

Le nombre total d'arrangements est ici L 2. 3. 4. 5.

Si nous regardons le système des trois amis comme ne formant qu'un seul élément, les quatre éléments du cercle pourront s'arranger de 1. 2. 3 manières distinctes; mais pour chacune de ces manières, les trois amis peuvent permuter entre eux. Le nombre des chances favorables est donc ici 1. 2. 3 X L 2. 3 et la probabilité 0,3.

La réponse à cette question aurait pu se déduire

^ du 6*^, en supposant que l'on ploie le banc en forme

circulaire. Le nombre des chances favorables devient

alors 144 + 2 a?, en calculant œ par la formule (2'')

dans laquelle m = 6; r = 5; m' = 3; v' = 2; d'où

œ = 36. La probabilité est donc -^ = 0,3.

Si l'on demandait que l'un des amis, B, se trouvât entre les deux autres, A et C, la probabilité se réduirait à 0,01. En effet, il est évident que dans les arrangements considérés précédemment, chacune des lettres A, B et C occupe le même nombre de fois le milieu du groupe des trois ; par conséquent, le rapport des deux probabilités est 1 à 3.

§ 10. — Le nombre d'arrangements que peuvent présenter (m -f- n) éléments distincts pris ensemble est

Supposons qu'on identifie m des éléments, le nombre d'arrangements se réduira à

OU

(m + n)(yn+yi — i)(m + n--2)... 4.3.2.1

car les arrangements primitifs, qui ne diffèrent que par des transpositions d'ordre dans le groupe des m éléments identifiés, deviennent eux-mêmes identiques entre eux.

Si dans les nouveaux arrangements on identifie encore n éléments, il ne reste plus que

mk Xnk n

arrangements distinctifs, qui sont formés de deux éléments pris l'un en nombre m et l'autre en nombre n. Ces éléments peuvent représenter des événements de même ordre, mais de nature différente et qui se succèdent ; alors la formule (5) indique le nombre de modes de succession distincte possible.

L'analogie indique suffisamment que, s'il s'agissait de partager un groupe total de (m + n -[- P) éléments en trois groupes partiels, comprenant respectivement m, neip éléments, le quotient