CAUSES FAVORABLES A L UNE DES ALTERNATIVES

§ 69. — En général, la probabilité qu'il existe des influences favorisant la reproduction d un événement observé plusieurs fois de suite, croit beaucoup plus rapidement que la probabilité du retour de cet événement à une épreuve subséquente.

En effet, cette dernière probabilité, quand l'événement a été observé x fois de suite, est (§ 62)

Cette équation est celle d'une hjrperbole, dont la forme est représentée en traits pleins dans la figure ci-jointe. Pour a? = oo on a y==l; c'est-à-dire qu'après un

nombre infini d'observations, la probabilité se

^ change en certitude.

Pour a? = 0, c'est-à-dire avant d'avoir commencé les épreuves, la probabilité est -, ce qui

caractérise l'état de doute sur ce qui va arriver. Pour la probabilité que l'événement n'a pas été produit au hasard, mais qu'il a été facilité par des influences , on aurait (F')

aa;+« — i

c'est l'équation d'une logarithmique, qui est ponctuée dans la figure précédente. Pour a? = oo on a y = l.

ou

172 THÉORIE DES PROBABIUTËS.

Ainsi, après la reproduction indéfinie de révénement, il j a certitude que cette reproduction n'est pas fortuite.

Pour a? = o on a y = -, ce qui caractérise encore le

doute où Ion se trouve, avant la première épreuve, sur Texistence ou la non-existence d'influences favorables à la reproduction de Tévénement.

Les deux probabilités convergent donc vers la certitude, à mesure que l'événement se répète, mais d'une manière inégalement rapide : la dernière probabilité croît le plus rapidement.

En efiet, pour une même valeur de y, on a

d'où

2*' ■•■* = a: + 2; 00 bien x = 2 (2*' — i);

ce qui démontre que les x positifs sont toujours plus petits que les œ correspondants. L'équation entre ces deux variables est encore celle d'une logarithmique. Le calcul montre que les probabilités sont égales.

Fur TeiisleiM i'iiflieKcs hTtnbiet Piir le reMireUemil 4e PéT^uBCit

après i événement. après 2 événements.

§ 70. — Avant de terminer ce chapitre, nous répéterons que la probabilité de chaque valeur particulière de X est infiniment petite, y compris celle de sa valeur la

plus probable — ^î — Pour les applications pratiques,

CAUSKS FAVORABLES A l'uNE DES ALTERNATIVES. 173

c'est donc le degré d'approximation de cette valeur qu'il importe de connaître. Or, il résulte de la forme de

la limite ^ v -^ que l varie inversement à la racine

carrée de r. Par conséquent, c'est une condition préalable que le nombre d'épreuves ou d'observations déjà faites soit considérable.

A la vérité, l'expression de la limite a été trouvée pour le cas où m et n sont de grands nombres ; mais la conclusion subsiste à fortiori si m et n sont petits et il n'y a pas cercle vicieux. En effet, on pourrait démontrer, comme pour les termes du développement du binÔDtie, que le rapport de m à n restant le même, les probabilités infiniment petites de deux valeurs consécutives de X diffèrent d'autant moins l'une de l'autre que m et n sont plus faibles. Il en résulte que les éléments de l'intégrale qui exprime la probabilité d'une même limite, ont une prépondérance d'autant moindre sur les autres éléments, et par suite que cette probabilité tend à diminuer.

On peut d'ailleurs remarquer que la probabilité du renouvellement de l'événement auquel correspond a?, deviendra après l'épreuve nouvelle,

7W -|- i Vli

La différence entre ces deux fractions exprime en quelque sorte l'incertitude qui existe sur cette probabilité. Or, on voit que cette différence est à

très-peu près inversement proportionnelle au nombre d'épreuves antérieures (w -j- ^) ou ^-