mXl.2.3...ttXl.2.3...p

NOTIONS PRÉUMINAIRES, ETC. 37

exprimerait en combien de manières distinctes ce partage peut s'opérer ; qu'il exprimerait pareillement combien de séries distinctes on peut former avec m lettres a, n lettres b etp lettres c.

§ 11. — Nous avons considéré jusqu'ici des combinaisons, arrangements, permutations, formés avec des éléments tous distincts. Lorsque quelques-uns sont identiques, ou, ce qui revient au même, lorsque les mêmes éléments peuvent être reproduits dans un môme groupe (comme les lettres dans les combinaisons alphabétiques, les chiffres dans les combinaisons numérales), les combinaisons et les arrangements sont dits : avec répétition.

Avec m lettres a, &, c,. .. A, l, on formera de la sorte m' arrangements deux à deux,

oa, afr, ac.., akfd; ba, bb, bc... bk, bl; etc.

qui tous diffèrent les uns des autres^ ou par les lettres employées, ou par Tordre dans lequel elles sont écrites. On formerait, avec les mômes lettres, m' arrangements 3 à 3 et, en général, m^ arrangements n kn. Donc

§ 12. — Pour les combinaisons, il est facile de voir que, lorsqu'on assemble les éléments 2 à 2, la faculté de répéter le môme élément revient à donner un élément de plus, ou à remplacer m par (m -f- 1) dans la formule des combinaisons sans répétition.

Lorsque Ton combine m éléments 3 à 3 avec répéti-

38 THÉORIE DES PRODABILITËS.

tion, c'est comme si Ton combinait (m -f- ^) éléments sans répétition, etc.

Donc, la formule qui donne le nombre des combinaisons de m éléments nkn avec répétition, se déduira de la formule (1) en remplaçant dans celle-ci m par m -{- n — 1 . On aura de cette manière :

mCCn = — - — . (7)

En multipliant les deux termes du second membre par 1, 2, 3... (m — 1), on obtient

Le second membre restant le même lorsqu'on y change (m — 1) en n et n en (m — 1), a donc aussi pour valeur (n -{- 1) CC(^ i,.

Donc « les combinaisons avec répétition de m élé- « ments n à n et de (n -f- 1) éléments [m — 1) à (m — 1) sont en même nombre. »

Par exemple : il y a 715 combinaisons avec répétition soit de 10 lettres 4 à 4, soit de 5 lettres 9 à 9.

Quand on projette deux dés à jouer, chacune des six faces du premier dé peut se présenter avec chacune des six faces de l'autre dé, aussi bien avec la face similaire qu'avec les autres ; ce qui donne un nombre d'arrangements exprimé par le carré de 6 ou par 36. Mais si l'on n'a égard qu'aux points amenés , par exemple detuv et trois, sans examiner si le point deux se trouve ]

sur le premier dé et le point trois sur le deuxième» ou

inversement, le nombre de coups distincts se rédaira à

i^ = 2i=(6 + i)CC2.

Avec trois dés le nombre d'arrangements différents 8*élèverait à 6^ = 216, et celui des coups distincts serait seulement de

-^I q" = ^^ = (^ + ^-*)C^- § 13. — La formule du binôme

donne, quand on fait a; = 1, a = 1, et quon transpose le premier terme du second membre,

Donc « la somme de toutes les combinaisons pos- « sibles entre m éléments, quand on les prend un à « un, deux à deux, trois à trois, etc., et enfin tous • ensemble, est égale à 2"* — 1 . »

Posons, dans la formule (8), a? = 1, a = — 1 ; transposons le premier terme du second membre et changeons tous les signes, il viendra

La partie additive du second membre de cette dernière équation est la somme des nombres de combinaisons d*ordre impair, ou un à un, trois à trois, cinq à cinq, etc. La partie soustractive est la somme des nombres de combinaisons d*ordre pair, cest-à-dire

deux à deux, quatre à quatre, etc. Or, si Ton ajoute membre à membre les équations (9) et (10), la somme des combinaisons d'ordre pair disparaîtra, et l'on trouvera le nombre des combinaisons d'ordre impair égal à la moitié de 2™ ou à 2"^ ~ ^ ; par suite, le nombre des combinaisons d'ordre pair sera 2°^ — 1 — 2^ "^

(c Le nombre des combinaisons d'ordre impair sur- « passe donc toujours d*une unité- celui des combinai- « sons d'ordre pair, quel que soit le nombre w, pair ou « impair. »

Il suit de là que, dans le jeu de pair ou impair, il y a avantage à deviner impair ; mais cet avantage est ordinairement trôs-faible, ainsi que nous le verrons plus loin.

§ 14 — Nous terminerons par quelques exemples numériques cette exposition succincte des principes les plus généraux de la théorie des combinaisons.

P Dans la Loterie royale de France, établie sous l'ancien régime, supprimé en 1793, rétablie en 1797 et définitivement abolie en 1839, on comptait 90 numéros dont on tirait cinq au sort ; il y avait donc :

90 extraits, ou combinaisons 1 à i, possibles; 90.89

= 4005 ambes, ou combinaisons 2 à 2 ;

= d 17480 ternes, ou combinaisons 3 à 3;

= 2555(90 quatemes, ou combinaisons 4 à 4; = 43949268 quittes, ou combinaisons 5 à 5.

Les cinq numéros composant un tirage offraient

d'autre pari 5 extraits ; ^ = 1 0 ambes ; ^^1 = ^ ^ ternes ; ^' ^' ^' ^ = 5 quaternes, et enfin 1 quine. Ce dernier

jeu était interdit.

Les chances du ponte ou joueur et celles de la banque

étaient ainsi respectivement ôô ®t giô P^^^ l'extrait;

On jouait aussi sur l'extrait ou l'ambe déterminé, c'est-à-dire formé par un ou deux numéros sortis dans un ordre indiqué par le joueur. Les chances correspondantes étaient i ^^ 1 >^ * *

Nous établirons plus loin que la règle d'équité n'était pas observée dans les rapports des mises et des gains éventuels; la Banque.se réservait de très-grands avantages. On sait d'ailleurs que l'institution de la Loterie avait un but fiscal.

2® L'opération qu'on appelle donner, au jeu de piquet, revient à distribuer 32 cartes en quatre groupes ; deux de 12 cartes qui sont pris respectivement par chaque joueur, et deux autres groupes, Tun de 5, l'autre 3 cartes, qui forment le talon. Le nombre de combinaisons auxquelles peut donner lieu cette distribution en quatre groupes partiels a pour expression :