CHAPITRE IX

PRÉCISION DU RÉSULTAT (lE PLUS EXACT) DÉDUIT DE PLUSIEURS OBSERVATIONS. — APPLICATIONS.

(une seule inconnue a déterminer.)

§ 107. — Recherchons maintenant l'expression de la prohabilité de lexistence des erreurs simultanées a/,a/\a/" ... Xp résultant de Thypothèse de la moyenne arithmétique, valeur la plus probable. Soient encore o\ d\ d^^ ... Op les quantités numériques fournies par Tobservation. Si 0 représente la moyenne, on aura :

0 — o'" = x'" 0 — Op = Xp.

La probabilité de chacune des erreurs a/, a/', a/"'... â7p a pour expression :

«-»•»"* ix

«-* *, <tt

dUM DE LA SOMME DES CABRÉS DES ERREU

>ilité de leur coeiistence est :

;e expression que la moyenne arithi um eu vertu de la forme même, h ,t 1

) probabilité des erreurs (§ 102). î

larquons qu'on doit avoir :

'« ^x"* + x'"*... .-\-Xf*'^ mtntmum ,

. (0 - 0-')* + (0 - o-'f ... (0 - o^f = minû ant une notation très-commode, doi lavant un fréquent usage, et qui coi

ns l'expression précédente sous la f< lc écrire

'il faut rendre un minimum est donc

. et égalant à zéro, on trouve enfin

La probabilité cherchée a donc pour expression :

(c')... P= ^e î^^ p 'rfa:P.

Le principe du minimum des carrés des erreurs est souvent regardé comme admissible à priori : il sert alors de point de départ à la détermination de la fonction qui représente la probabilité d'une erreur, à l'exclusion de la plupart des hypothèses, à la vérité plus simples, que nous avons faites. On regarde dans ce cas chaque valeur de Terreur comme le rayon d'un cercle tracé autour de la vérité comme centre : ce qui exprime qu elle peut être due à une infinité de causes différentes. Pour la compensation des erreurs, il faut évidemment rendre minima la somme des surfaces des cercles, et, par conséquent, la somme des carrés des erreurs.

§ 108. — Puisque la valeur la plus probable de

0 est l^, de même les différences P

doivent être considérées comme les erreurs d observation les plies probables, et nous les admettons comme les erreurs réelles, aussi longtemps que nous n avons pas de moyen nouveau d'approcher davantage de la véritable valeur. La somme des carrés de ces erreurs

doit être un minimum. Pour exprimer commodément cette somme, nous aurons recours à une nouvelle notion, celle de Terreur moyenne. Avec les auteurs allemands, nous entendons par erreur moyenne [de^^ mittlere