ERREUR MOYENNE

Fehler] *, «« la quantité qu'on obtient en divisant la « somme des carrés des erreurs réelles par le nombre « des observations, et en extrayant ensuite la racine « carrée du quotient y».

Désignons-la par e^ ; nous aurons, pour le cas actuel :

OU bien p t^ = [o«] — I^ = [e«] ... (k')

Cette dernière équation nous donne une seconde définition de l'erreur moyenne : on voit que c'est «« une « erreur telle, que si elle existait la même dans cha- « cune des p observations indistinctement, la somme « des carrés de ces p erreurs égales équivaudrait à « la somme des carrés des p erreurs inégales e', e", « e'" etc. »

§ 109. — D'après cela, la probabilité de la coexistence des p erreurs d'observation, quelque hypothèse qu'on veuille faire sur la valeur de A, peut être (e') exprimée par

P = -^ e~ ^^p ^* dj^ ... (e'")

De cette expression, on peut maintenant déduire aisément la valeur la plus probable de h ; car, comme les p erreurs d'observation déterminent e|, le maximum de la fonction P dépend uniquement de la valeur de h; et

* On rappelle aussi quelquefois Terreur à craindre {der zu befurchletide Fehler).

on sait que la valeur la plus probable de h est celle qui rend cette fonction un maximum (§ 99).

Cherchons d'abord ce maximum par le procédé du calcul différentiel : passant aux logarithmes népériens, nous avons :

Log P = p Log h p Log n-^h^t^ .,, ifi^)

La condition du maximum sera donc

h doù ^^-JL ... (1)

Telle est l'expression de la mesure de précision en fonction de Terreur moyenne.

Pour une autre espèce d'observations on aurait

et par suite h^ : h'^ = eV : e»* ... {!')

La formule (1) nous permet d'exprimer Terreur prohahle en fonction de Terreur moyenne, et réciproquement. On sait en effet (c) que

e 0,476936 d'où r = 0,476936 X h |/ i ;

OU enfin r = 0,674489 €« = - 6, en nombres ronds ;

e == 4,482604 r = ^ r en nombres ronds. Appliquant les logarithmes, on a

log r = 9,6784604 — log A log r = 9,8289749 + log e.

log e,= 0,4740254 + lbgr.