ICRC DE PRÉCISION DE LA MOYENNE

- La signification que nous attrib îus permet de concevoir la mo; oyennes, c'est-à-dire une valeur q enne arithmétique de toutes les sées faites par groupe, mais la tenant compte de la précision difif ipe. Chaque moyenne représentan la moyenne générale, peut être c< résultat d'expérience dont Terre qu'on exprimera suivant la loi té des erreurs. Quant à la mesure noyenue, il est évident qu'elle d iservations qui ont servi à la fom cette mesi^re, remarquons d'aboi la probabilité d'une erreur a; à o est, d'après la formule générale, h .1*. k . ..

— =«-»* ix : — T=(ic = <-'>*,

re part, on sait (§ 55) que la probe 1 est en erreur de u, est proporti ,té que cette hypothèse donne pou 'é. Cette dernière probabilité est :

erreurs d'observation sont alors ' -|- u, ... aïp -]- w.

< la probabilité que la moyenne a u i-dire comprise entre o et dx) est pi

Remarquons que l'exposant dans (1) se réduit à

en vertu de la relation a? '-{- ^' + ^" + • •• + ^p = ^» qui résulte immédiatement de 0 = — •

Le rapport de (1) à (2) est donc e—f^'^^*^ d'où, d'après la remarque faite § 105, on voit que la mesure de précision de la moyenne est k l/^p; la probabilité que cette moyenne soit en erreur de œ est donc :

y = __ £—hpx j

OU, en faisant h l/p = tî,

Si, au lieu de faire p observations, on en faisait p\ la mesure de précision de la moyenne arithmétique serait h [/f : les précisions des deux moyennes seraient donc entre elles comme [/f : [/f. On conclut de là que « la précision d'une moyenne arithmétique croît « comme la racine carrée du nombre d'observations « qui ont concouru à la former » . Nous avons déjà fait remarquer § 100 que la convergence de là moyenne arithmétique des erreurs vers leur moyenne absolue, qui est évidemment zéro, croît avec le nombre d'observations. On voit ici le rapport d'accroissement.

On nomme poids d'une valeur [Pondus; das Oewicht) le nombre d'observations également précises, requis pour que leur moyenne arithmétique ait la même précision que la valeur donnée, la précision de chaque

POIDS d'une moyenne. 287

observation simple étant prise ppur unité de précision. Dans le cas actuel, le poids de 0 est jp, quand on prend pour unité de poids celui de chaque observation simple. Si, dans l'équation n = hl/p ... (g)

on prend h = 1 , il vient

« Le poids de la moyenne est donc égal au carré de « sa mesure de précision. »

Si la moyenne provenait d'un autre nombre, jo', d'observations, on aurait

d'où p ; .p' = H« : H'8 ... (g")

« Les poids des valeurs les plus probables sont donc « entre eux comme les carrés de leurs mesures de « précision. »

De ce que les poids sont comme les carrés des mesures de précision, il résulte que si deux quantités 0?, y, étaient de précisions différentes, H, H', << on les (( ramènerait à la même unité de précision, en les « multipliant par les racines carrées de leurs poids, w

En effet, x étant rapporté à l'unité H , deviendra Ux si on le rapporte à l'unité 1 ; de même alors y deviendra H'y; et ces expressions, en vertu du rapport (g"), peuvent être changées en x {/J et y [/J'.

Soit R l'erreur probable de la moyenne arithmétique 0 = ^-^

on aura (c) ^

Donc « si r est Terreur probable de chacune des p observations, --7= sera l'erreur probable de leur moyenne arithmétique ». De même son erreur moyenne égale

Ppurp' observations, on aurait

H' donc H : H' = R' : R ;

OU bien p:/ = R'« : R« ... (h')

c'est-à-dire que « les poids sont réciproquement pro- « portionnels aux carrés des erreurs probables ».

D'autre part, on tire de la relation [t) combinée avec (p'')

Ainsi « les poids sont réciproquement proportionnels « aux carrés des erreurs moyennes ».

Si Ion suppose

il vient ;> = A- 0-)

C est par cette relation que Gauss définit le poids qu'il appelle « une quantité réciproque au carré de Terreur << moyenne ».

Remarque. Soit tjj Terreur moyenne de Yunité de poids : on tirera de (1")

Telle est l'expression de Terreur moyenne de l'unité de poids, p étant le poids de la moyenne.

BBE INFINI D OBSERVATIONS. 289

is l'expression (1) de h, on rem-

■, on obtient

est égal au double de l'excès de I du carré de la variable, sur le moyenne ».

9 des observations est infini, ou ssujettie à la loi de continuité, le y&ORe devient

yix . X \ ,

du carré

ydx . X* — il ydx ■x\\

sujettie à la condition connue

Ç yix = i.

raisonner dans l'hypothèse d'un jrvations, le carré de l'erreur sa définition.

Kî

Pour intégrer lé numérateur, observons que

d{e-^ , x) = e-^ dx — 2 ^~ « . x* dx ;

l ou I e-^ . x*dx = «~ * . ^ + r I <?" *

Le premier terme du second membre disparaît pour a? = dh 00 ; donc

mais

£«* = =. I er-^ dx :

— = e-^ dx = I t/dx = 4 ;