EXEMPLE NUMÉRIQUE
§ 132. — Voulons-nous voir maintenant quelles sont les corrections les plus probables que devraient subir nos observations? calculons les valeurs des A, en remplaçant X, y, z... par leurs valeurs numériques dans les équations (p) : nous aurons ainsi
Ces corrections servent à calculer terreur moyenne des observations. Soit e le nombre des équations (ou des observations); i celui des inconnues. Si nous connaissions à priori les véritables valeurs des inconnues, nous pourrions calculer immédiatement les erreurs réelles lA, jA', jA"... de x,y,z, ... et égaler [jA^] à e fois le carré de l'erreur moyenne, pour en déduire celle-ci ; ' nous aurions donc, dans cette hypothèse,
|/[lA^
Recherchons la valeur la plus probable de [lA^]. Acet eiFet, multiplions d'abord les équations [p') respectivement par A, A4, A"... et faisons leur somme; nous aurons :
[,A2]=a;(aA + a'A' + a"A"+...) + t/(i)A4-&'A'+fc"A"+...)+ % (cA + c'a' + c"A" + ...)+... + nA + n'A' + 7i"A" ...
Les A, A', A"... qui entrent dans cette expression ne sont pas ceux que nous avons calculés dans l'hypothèse du minimum de la somme des carrés des erreurs : nous
supposons que ce sont les véritables erreurs des observations. — Posons :
oA4-a'A'H-a"A"4- ... =(1 fcA + fc'A'-f fc"A"+... =[x' cA + c'a' + c"A" 4- . . . = (x" ^^ '
il viendra :
[i A»] = XIX + j/[x' + zii" 4- . . . + nA 4- n'A' + n"A" + . . .
Mais les valeurs de x, y, z... peuvent, en appliquant la série de Maclaurin aux équations linéaires (p), se mettre sous la forme :
expressions dans lesquelles nous négligeons comme insensibles les termes en A^, A'^ A"^...., A^, A",
A"^ , etc. En éliminant les A entre les équations
(p"^') et (p^"], qui sont en même nombre, nous pourrons
obtenir œ, y, z.... en fonction des p., jjl' Ecrivons
donc :
substituons dans ces expressions à [t., i*.' leurs
valeurs (p^% il viendra en posant :
m = 0^1 + bqi' -\- cqi" -\- ...
m' = a'qi -{- b'qt' -{- c'qi" -]- ... m"=a"qi+p"qi' + c"qi"-]-...
CALCUL DE l'erreur MOYENNE. 373
nu = aqi -\- hq^ -\- cqt + ...
a; = A + mA + m'A' + m" A" + ...
y = B+miA + mi'A' + 7ni"A"4- ...
D'autre part, en portant les valeurs de x, y, z.... de (^^'") dans (p') et ordonnant par rapport à ja, /, [i."...., on trouve :
A = m i». -\- nii \l' -\- nii \t." -\- ... -\- 8 A' =TO'{i + mi[x'+m,'ji"4-... + 8 A"= . . .■
et enfin ces expressions donnent pour [lA^J :
[,A»]=(^+nm+»'m'+n"m"+...)|x+(y-t-nmi4-n'm/4-n"m4"+...){x' +(2+nmî+^'mj'+. . .)[jl".. .4-[n8].
Mais on a évidemment :
nm 4- ^'^' -\- n"m" ... = — A
nnii -{- n'm% + n"mi" ... = — C
car, en remplaçant dans (^*"") A, A', A".... par leurs valeurs (p'), nous devons, pour obtenir t identité j poser, en ce qui concerne x :
om 4- o'^' + of'm" . . . = 1
hm + b'm' + b"m" .. . = 0 (p^^v)
cm -\- c'w! + c"m" ... = 0
et A4- mn 4- n'm' 4- n"m" . . . = 0 .
Dans la sulDstitution pour y, nous devrons poser sem-
blablement : '
amK ^- o'm-,' + a"mi" + . . . = 0
B \.nm^ + «'^i' + H"m," + ... = 0.
et de même, par rapport à z..., etc.
11 restera donc :
,-^^,3 =. (^ A) H^ + (y - B) 1-' + (^ - Q f-" + - + M- Remarquons que A, B, C... sont précisément les valeurs les plus probables deo^, y. ^.... et que [^SJ est le [A*] correspondant à ces valeurs les plus probables. En effet, pour celles-ci, on a (p'") :
^ = 0, ix' = o, {x" = o...
et [n8] = [A'].
Remplaçant [,A^] par e e!,e étant Terreur moyenne cherchée, il vient donc :
,,,=.(^A)ix + (y-B)ix' + (^-C)^"4-- + [A^]-
Considérons ce que vaut (x-A) ^ par exemple ; on a
a,A = mA + m'A' + m"A" + -
l. = aA + «'A' + a"^"+-
d'où (^ A) IX = an, A^ + aWA'* + a"m"A"' + -
plus des termes en±AA',AA",...A'A"...., qui s'annulent
dans la moyenne. Prenant enfin pour les vrais A qui
nous sont inconnus. Terreur moyenne s, il vient
(^ A) fx = (cwn + a'm' + a"m" + ...) ^^
OU en vertu de (p^'')
