CCI

[ce. 2] =

[cn.2] = — 0",25

On aura donc pour équations finales :

x'-j y' - jz'-0",\ =0;

D'où x' = + 0",125

t/' = — 0 ,20 xf = J^O ,07.

En nous bornant au dixième de la seconde, les valeurs les plus probables des inconnues seront donc :

Si l'on compare ces éléments corrigés aux résultats

immédiats fournis par l'observation, on trouvera les

erreurs a = — 0",3

Av =-f 1 ,6.

La somme des carrés de ces erreurs est 7", 94 : le nombre des éléments à déterminer étant 3, on a donc, pour l'erreur moyenne d'une observation,

La forme des équations de condition suffit pour montrer que les trois inconnues sont déterminées avec une égale précision : les équations du poids sont d'ailleurs très-faciles à former; on aurait, par exemple, pour celles qui sont relatives à x^

3Qi — ît — 93 — i = 0 — Qi + 3îî— çs =0

-Qi- 9t + 3î8 =0.

Doublant la première et l'ajoutant aux deux autres, on obtient immédiatement

Q, =^, d'où P, = 2.

L'observation simple a été prise pour unité de poids; il s'ensuit que l'erreur moyenne de chaque détermina-

Nous traiterons plus loin le cas où les angles observés formeraient un tour d horizon.

2° On veut rattacher la position d'un point inaccessible, K, à la base AP : pour cela, on a mesuré les trois angles KAP, KBP, KCP, ainsi que les distances AB, AC. Il s'agit de trouver la valeur la plus exacte de l'ordonnée KP = y, et de l'abscisse AP = x.

Les données de la question sont

KCP = 0 =86° 27' 18",9 KBP = 0' = 73 22 43 ,4 KAP = 0"=61 4 38 ,7.

AC = D = 18"»,i256 AB ^ D' = 9 ,3793.

Nos équations primitives sont tang 0 = ^ •

tang 0" ^ ^

Au moyen de la première et de la troisième, calculons

les valeurs provisoires de a? et de ?/ : nous trouvons

ainsi x = + 20.414

Soient o, o\ o", les valeurs de 0, 0', 0" qu'on calculerait au moyen des éléments provisoires X et Y: nous avons

Vo = tang 0 = -iz ... 0 = 86» 27' 20" ,45;

V'o = tango' =— ^...o'=73 22 14,30;

V"o = tango" = -4— ..•«" = 61 4 39 ,94.

Diflférentiant la première de ces trois relations, nous avons

do dY YdX

dV„ =

^ cos« 0 X — D (X— D)«

On peut transformer cette expression en y introduisant les valeurs de CK = r; BK = r'; AK = r", qui

sont faciles à calculer, et qui ne sont autre chose que (X — D) cos 0 ; ( X — D') cos o' ; X cos o'\ Nous remplaçons en outre Y par r sin o ^ r' sin d = r" sin o", et nous multiplions le second membre par sin 1" pour réduire do en secondes. Il vient

sin 4" sin o sin 4" cos o „^ ,^ , . „^

do = dX A dY = ad\ + MY ;

, sin {" sin o' sin 4" cos o'

oo' = -; aX H -, dY = a dX+ & «Y ;

^„ sinr^^^ ^ ^^"^^^;^^^%Y =a"dX+ /,"dY.

Nous en déduisons

o = — 5864,6 ft =+ 344,5

o" = — 4277,4. fc" = + 2363,3.

Retranchant les angles observés des angles calculés, on trouve

Nos équations linéaires sont donc

A la rigueur, il était inutile de les transcrire ; il était même superflu de former les nombres a, &, etc. : leurs logarithmes nous suffisaient. Au moyen de ces logarithmes et de ceux des n, on formera les coefficients des équations normales, qui sont

\wix\ \pM\ [ai] [i?i] \W\

Si nous voulons que a^ et y' soient exprime's en millimètres, il suffira de diviser par 1000 leurs coefficients. Nos équations normales seront donc

et l'on en tire x' = -\- 0,24896

Nos coordonnées définitives sont donc

Voulons-nous subsidiairement voir quelles sont les corrections que devraient subir nos observations, remplaçons x' et 2/' par leurs valeurs dans les équations de condition, et nous trouverons

Valeurs que nous pourrions aussi trouver, en recommençant, avec les éléments définitifs^ le calcul de o.

Pour trouver la précision de notre résultat, formons les équations du poids au moyen des équations normales ; ce qui nous donne :

75498 Qi — 19871 oj— 1 =0 1 , .. , ,

- 19871 Q, 4- 8047 ç, = 0 j ?""'"• ^' P°'*^^ ^^ "^ ' 75498 îi — 19871 Q, = 0 1 , .^

Éliminant, on trouve

Qj =:^ = 0,0003^349917.

Remarquons que l'unité de poids se rapporte à la seconde pour les angles et au mètre pour les longueurs; Qi, Qj étant exprimés en unités correspondantes au millimètre, il faut commencer par les diviser par 1000. Cela posé, l'erreur moyenne de l'observation est

donc

L'abscisse est donc déterminée trois fois plus exactement que l'ordonnée, ce qui résulte géométriquement de ce que les angles mesurés sont ceux en A avec AP et non ceux en K avec KP.

§ 138. — Il nous reste encore une question importante à résoudre : c'est de trouver la précision de certaines quantités qui doivent elles-mêmes être calculées en fonction des éléments qui ont été déterminés par la méthode des moindres carrés. La solution ne présente aucune difficulté.

Soit u une fonction des éléments œ, y, z.... Cette fonction est connue, de sorte que l'on a

Nommons h' , h" , h'" les coefficients différentiels : nous aurons

du = h'dx 4- h"dy -\-h'"dz . .

et par suite, en nommant e^ l'erreur moyenne de w, et P son poids, nous aurons, comme au § 125,

Application. — Nous avons trouvé dans l'exemple

précédent a; = 20,414249; e' = d= 0,00008755 y = 36,946013; e" = =b 0,00026818.

Or notre but définitif était de calculer les éléments nécessaires pour réduire au signal K, comme centre, les angles observés à la station A : ces éléments sont l'angle de direction KAP=V, et la distance AK=R; et on a, pour les déterminer, les relations

tangV= — ...V = 61''4'38",91

sin V

Reste maintenant à calculer l'erreur moyenne de ces deux ^quantités : la différentiation des deux dernières

fonctions donne

„, sin i" sin V , , sin 1" cos V , dV = ^ dx -\ dy :

dR = cos V da; + sin V di/.

Appliquant les nombres, on obtient

Pour V Pour R

Les éléments de la réduction au centre ne comportent donc que des erreurs insensibles, et cet exemple nous autorise à conclure que, dans les opérations géodésiques, « la grandeur des réductions au centre n'a, « par elle-même, aucun désavantage, pourvu qu'on « mette tous ses soins à bien mesurer les éléments de «« cette réduction. »

§ 139. — La méthode du paragraphe précédent suppose que e', e", e'"... sont les véritables erreurs des inconnues, et que celles-ci sont indépendantes entre elles. Mais, dans la réalité, les inconnues dépendent, jusqu'à un certain point, l'une de l'autre, puisqu'elles sont fournies simultanément par les mêmes observations. Au lieu donc d'admettre les poids calculés (§ 133) pour a; , y, z..., il vaut mieux recourir aux observations, pour trouver d'un seul coup le poids de la fonction même.

Supposons cette fonction, qu'on peut toujours ramener à être linéaire (§ 136), représentée par :

u = mx -\- ny -\- rz -\- s

le nombre des inconnues étant trois, pour fixer les idées.

Si l'on ne peut appliquer k œ, y, z la formule du § 125, on peut le faire aux observations dont ces quantités sont fonctions. Or, en intégrant les équations ($), on trouve :

a; = R + «lO + asO' -f asO" -f ...

3/ = S + piO + P2O' + M" + ••• ;s = T-|-yiO + v20'+y50" -}-...

RECHERCHE DIRECTE DE LA PRÉCISION d'uNE FONCTION. 407

R, S, T étant des constantes. Substituons dans w, à Xy y, z, leur valeur en 0, 0', 0"..., il viendra : M = A: + (mon + 7ij3i + ryi) 0

+ (ma3 + «!33+rY3)0"

k étant une constante. Appliquons maintenant la formule du § 125, en supposant que le poids de 0, 0', 0".... soit pris pour unité. Nous aurons :

P^WoJ ^AdO'] "^U")

P étant le poids de u. Remplaçons les — par leur

valeur, il vient

- = w' [az] -{- 2mn [a|3] -|- 'imr [a-y]

+ ^* [yy]- Si nous posons maintenant pour abréger :

A = m [act] + n [ap] + r [ay]

C = m[ay] + n[y|5] + r[yy]

- devient

= mA4-nB-|-rC.

^ Les quantités [aa] , [a(3] . , . étant données par les équations du poids, (i), (il), (m) du § 133, la question est résolue.

On peut éviter de devoir résoudre ces équations du poids en résolvant celles-ci :

m = [aa] A + [afc] B + [oc] C \ n = [ab] A 4- \bb] P. + \bc] C ( (iv) r = [ac] A + [bc\ B + [ce] C ]

qui donnent évidemment pour A, B, C, les mêmes valeurs que celles écrites dans (t).

En résumé, on peut donc formuler la règle suivante : « Si des inconnues a?, y, z... sont données par les équa- « tions normales

\aa\ X -{- [aft] y -\- [ac] z ...-{- [an] = 0 [afc] X + [W] y -f [bc] t; ... + Ibii] = 0 lac] X + [bc] 3/ -f [ce] 2 ... + [ai] = 0 ;

« et qu'on cherche le poids P d'une expression

u = ax-\-Py-\-yz-]- ...

« tirée de ces équations, on le trouve par la formule

i=aA + pD + ïC+...

« dans laquelle A, B. C... sont des quantités qui « satisfont aux équations (iv), et qui peuvent en être « déduites. «

§ 140. — Lorsque les observations sont d'inégale précision, chacune d'elles a son poids particulier, p', p", p'"... et son erreur moyenne particulière e', e'^ e"'... Maintenant, la quantité à rendre un minimum sera, non plus [A^]. mais (§ 113) la quantité [pA"^] = [A [/'p. A J/^^)] ; et par suite les équations normales i seront, comme nous l'avons déjà fait pressentir dans la note du § 129,

[^aa\ x + ipab"] y -\- [pac] z ...-\- [pan] = 0 Ipab'] X + \pbh'] y + [pbc] z ...-\- {phii] = 0 [pac] X -\- [pk] y + [pcc] z ...-\- [pc7^] == 0 ... etc.

La légère modification à apporter au procédé gé-

OBSERVATIONS d'inÉGALE PRÉCISION. 409

néral, se traduit donc par cette règle pratique trèssimple :

« Lorsque les observations sont d'inégale précision, « on forme, pour le passage des équations de condition « aux équations normales, les produits individuels (p""), << comme dans le cas d'une égale précision; mais, avant « de les additionner, on multiplie chacun d'eux par le « poids de l'observation correspondante. »

Comme application numérique, reprenons le second exemple du § 137, en ayant égard à cette circonstance, que l'angle 0 a été observé 20 fois, l'angle 0', 35 fois et l'angle 0", 48 fois.

Comme la détermination pratique des poids laisse toujours un peu de vague, on peut les altérer légèrement, dans la vue de simplifier les calculs, et poser

p' = 22; J9" = 33; p'" = 44, afin, comme l'unité de poids est arbitraire, de pouvoir adopter p' = 2; p" = 3; p'" = A.

Les coefficients des équations normales deviennent alors :

[paa] [pdb'] Ipbn'] [pbb'] [?««]

Et l'on a pour équations normales :

d'où l'on tire par élimination

On a donc pour valeurs difinitives des coordonnées

Quant aux erreurs d'observation, elles deviennent, dans le cas actuel,

Pour trouver la précision des observations individuelles, nous devons d'abord calculer l'erreur moyenne, ri, de l'unité de poids. Il suffira évidemment, à cet effet, de remplacer, dans la formule de la fin du § 137, la quantité [A'j par [joA^J.

Quant à la précision des éléments, elle se calculera exactement d'après la règle du § 133, en se rappelant toutefois que les ^i. q-i,... se rapportent maintenant à l'unité de poids.

Pour continuer notre exemple numérique, nous avons ici

* [pA2] = 0,5825;

dou , = t/g=±„.,,e3.

Telle serait l'erreur moyenne de l'unité de poids, c'està-dire de l'angle obtenu par 11 répétitions. Quant à celles des angles 0', 0'^ .0'", elles sont respectivement ^

Ti3=-4==0",38.

Le poids des éléments cherchés s'obtiendra en formant

OBSERVATIONS d'iNÉGALE PRÉCISION. 411

les équations du poids au moyen des équations normales : on a

213855 Qi — 67804 ç^ — 1 = 0 )

- 67804 Qi + 29608 q, = 0 j P°"' ^^ P°^^' ^' "^ ' 213855 qi — 67804 Q^ = 0 )

On en déduit q, == JL = 0,00001707 ;

Q,=i-= 0,00042329; d'où, comme à la fin du § 137,

e' = db 0"»,00009971 ; e" = dr 0»",00026799.

On voit qu'on n'a rien gagné du côté de la précision à accorder aux trois observations des poids différents, et c'est ce qui arrive très-souvent dans la pratique. De là cette règle importante, que suivent scrupuleusement tous les bons observateurs : « Lorsque vous pouvez « disposer des circonstances, faites tout votre possible « pour que vos observations puissent être considérées « comme également précises. »

Si nous n'avions adopté que comme une simple %j3othèse la proportionnalité des poids aux nombres de répétitions, nous aurions dû, une fois arrivés aux valeurs de r.i, Tij, T|3, voir si elles étaient à peu près proportionnelles à celles de A', A", A'". Dans la négative, nous aurions cherché à corriger les poids au moyen de la relation

et, en conservant jp'^ 20, nous eussions trouvéy=10.

y'=56. Recommençant le calcul avec ces nouveaux poids, à partir de la formation des équations normales, nous eussions continué jusqu'à ce que nos -n fussent à peu près proportionnels aux A obtenus.

APPLICATION AU CALCUL DE l'eRREUR MOYENNE d'uNE BASE GÉODÉSIQUE.

§ 141. — Les erreurs que comporte la mesure d'une base géodésique peuvent provenir de trois causes distinctes :

P D'une erreur commise dans la comparaison des règles entre elles ;

2° D'une erreur commise dans l'étalonnage de la règle moyenne;

3° D'erreurs accidentelles commises dans le placement des règles.

Nous allons chercher les formules propres à calculer l'erreur moyenne due à chacune de ces trois causes séparément, pour en déduire ensuite l'erreur moyenne totale. Nous supposons d'ailleurs que la base soit mesurée d'après la méthode allemande, suivie en Belgique par le Dépôt de la guerre (voyez Bessel's und Baeyer's Gradmessung in Ostpreussen ; et Baeyer, die KHstenvermessung und ihre Verbindung, etc.).

Première cause d'erreur.

Soit m la dilatation linéaire d'une règle, i, pour chacune des divisions du thermomètre métallique ; a le

ERREUR MOYENiNE d'uNE BASE GÉODÉSIQUE. 413

nombre de ces divisions correspondant à la température actuelle de la règle; désignons ^par À la longueur (maximum) de celle-ci, pour la température marquée par a^O : on aura, en général, 1 = 1 — am;

et en particulier, pour chacune des quatre règles qui servent à la mesure,

règle n" I ... l' = X' — am'

— II ... r = X" — bm"

— m ... r = 1'" — cm'"

— IV ... /iv = liv d,„iv.

Posons X' + X" + X'" + X'v = 4L ... (1)

L sera la longueur de la règle moyenne, et nous pourrons écrire

X = L -J- a; I /gx

Xiv =L-\- xiv ;

d'où a/ 4- a;" + a/" + XIV = 0 ...(3)

Nos équations (a) deviennent donc :

règle n» I ... V = L -{- x' — am' \ '— II ... r = L 4- ^' — bm" I — III ... r = L + x"' — cm'" ■ '" ^ '

— IV ... iiv = L -h xiv — dm'v.

Dans ces formules on connaît a, b, c, d : ce sont les divisions des thermomètres métalliques, indiquées par le prisme en verre. Dès qu'on connaîtra les valeurs de

a/, a/' m', m" on aura les valeurs relatives des

quatre règles pour une température quelconque ; leurs valeurs absolues s'en déduiront facilement lorsqu'on aura déterminé L.

Le comparateur de Bessel donne, pour la longueur d'une règle, l'expression

dans laquelle C est une constante inconnue qu'il faut éliminer, et n un intervalle connu, mesuré par le prisme en verre faisant fonction de vernier. On a donc pour les quatre règles :