ERREUR MOYENNE D'UNE BASE GÉODÉSIQUE

résolues par la méthode des moindres carrés. Éliminant les C entre les 16 équations normales, et introduisant ensuite la relation (3), il obtient entre les 8 inconnues ce , x'\ x"\ œ^'', ni\ m" , m'" , m^^, 8 équations de la forme

ki = aix" + Yim' + Yim" + ysm'" + -^^my ... etc.

Les résolvant, et substituant dans (4), il trouve les valeurs de l' , l'\ l"\ r, exprimées en règle moyenne. Les neuf valeurs Ci, Cg... Cg seraient inutiles à calculer, si l'on ne voulait apprécier l'erreur moyenne d'une comparaison individuelle ; mais cette donnée est nécessaire, pour en déduire plus tard l'erreur moyenne de la base. On calculera donc les C, et on les substituera, avec les m et les œ, dans les neuf systèmes (6); ce qui fournira 36 erreurs, Aj, Ag..., etc. On fera la somme [A*] des carrés de ces erreurs, et comme 36 équations ont servi à déterminer 16 inconnues, l'erreur moyenne de chacune de ces équations sera (§ 132)

ou, plus généralement,

E=lX i^!l ...(10)

Pour apprécier l'influence de cette première cause d'erreur sur la mesure de la base, nous avons maintenant à exprimer la longueur de cette base, de manière à y mettre en évidence les quantités x', x" ... m', m"...

Si les quatre règles ont été portées respectivement

M', M", M'", M''' fois, la longueur de la base sera représentée par

( (M' + M" + M'" + M>v) L + M V + M' V + M" V + Wx^^) ^ ^ j __ [fl] m' — [b] m" — [c] m'" — [d] m'v + R )'

formule dans laquelle [a], [b], [c], [d] expriment la somme des indications des thermomètres métalliques, pour chacune des règles en particulier ; et où R englobe toutes les autres corrections, telles que la réduction à l'horizon, les intervalles entre les règles, et les distances des deux règles extrêmes aux points de départ et d'arrivée.

Si l'étalonnage a donné pour la règle moyenne la valeur L = R' — .x' + aim', la longueur de la base deviendra

(M'-f M"+ M"'+ M'v) R'— (M"+M'"+ M'vy+ M"x"+ M"V"+ M'va;iv +î (M'+ M"4- M'"+ M'v) ai— [a] j m'— [fc] m"— [c] m'"— ld]m'^+ R .

On pourra donc, en faisant abstraction des termes extrêmes, mettre sous la forme NV+N"x'"+ N'"a;'"+ Niva;'v— A' m'— A"m" — A"'»i'"— A'^w'^,

l'expression qui indique de quelle manière les quantités œ', x" ... m' , m"... ont influencé la mesure de la base. Par conséquent, l'erreur moyenne de cette expression sera en même temps l'erreur mojxnne de la base, due à la première cause que nous envisageons. — Calculant, d'après le § 139, le poids, P, de cette fonction, on aura pour son erreur moyenne

E étant l'erreur moyenne fournie par la formule (10).

ERREUR MOYENNE d'uNE BASE GÉODÉSIQUE. 417

Deuxième cause d'erreur.

Pour trouver la longueur de la règle moyenne, L, en toises du Pérou, on compare l'une des quatre règles, par exemple, l' , à la double toise étalon 2T, à l'aide du même appareil qui sert à comparer les quatre règles entre elles. Dans ce cas, on a, par une première comparaison, les équations

mais comme on a aussi, par les formules (4),

V = h-\- x' — am', on trouvera, en retranchant les deux premières, et substituant ensuite cette valeur de l',

L = 2T — a;' + am' + n — n'. ... (42

Si l'on répète p fois les expériences qui ont conduit aux formules (11), on trouvera, pour L, p valeurs dont on prendra la moyenne; puis on calculera les différences A', A"... entre cette moyenne et chacune des p valeurs de L : nommant e l'erreur moyenne d'zme comparaison de la règle avec la double toise, on aura

Maintenant, soit k le nombre de règles moyennes contenues dans la base : comme la valeur de L repose sur un nombre, p, de déterminations, on aura (§ 123) pour Terreur moyenne due à la 2® cause

Troisième cause d'erreur.

L'influence des erreurs accidentelles commises dans le placement des règles s'apprécie en comparant entre eux les résultats de la double mesure de chacune des deux parties de la- base.

Soit d la différence entre les deux mesures de la