u — u' = —VI — x

al a

I 'ib'\ 26'

— î/+ 2 + — lu"-u'" = — -m" ;.

la/ a

— M M- Hl H ]u = m'-\-x;

et enfin ^ ^ « ru^«),,) = 0.

Supposons que les lectures aient été- faites après 0, h, i, l, . .. m, n

observations, et qu'elles aient donné les nombres

correspondant aux divisions

On pourra faire, dans les équations générales qui précèdent,

égaux entre eux, et les autres b égaux à zéro. Les équations pour lesquelles cette dernière circonstance a lieu, par exemple, celles depuis le rang 2 jusqu'au rang (h — 1) inclusivement, deviennent :

—u + 2m' — te" = 0 ; ou m' — îi = ti" — u' . —m' + 2m" — u'" = 0 ; ou «" — u' = u'" — m".

— U +2m — u =0 ; ou u — u =u —u

On en déduit que

u, u\ v!\ u'"... forment donc une progression arithmétique de (h -j-i) termes, dont la raison est (u' — u), et le dernier terme m'"'. Celui-ci est donc égal à

Il -\- h (v' — II) ;

On aurait d'une manière analogue

= u ' — u . . . etc.

Par suite de ces conditions, les équations restantes, c'est-à-dire celles qui correspondent aux rangs 1, h, i, l... se changent en celles-ci :

a \a ni — hj i — h a

(") ( 1 ^n) , /2fe , 1 . 1 \ (i) i (j; 2& (i) / -\- — \- — -. 4-r — ■. )u — . — : U' = — m ':

.i^'-l- — + - H — ^ W' u"" = — nC'

\ n — m \a n — ml a

Ces équations permettent d'exprimer très-simplement M-^^et II en fonction de œ et des lectures faites. Car, si

l'on divise la première par f i, et qu'on ajoute le

quotient à la seconde, la somme ne contiendra plus u. Si l'on divise cette somme par le coefficient dont le terme W*^ y est affecté, et par (^ — h), et qu'on ajoute le quotient à la troisième équation, la somme obtenue ne renfermera plus u^"^ ; et ainsi de suite jusqu'à la dernière équation qui sera de la forme

Appliquant le même procédé en sens inverse, c'est-àdire en commençant par la dernière équation et finissant par la première, on aura

Vu = W -\- Wx.

Substituant les valeurs de u^"'^ et de u, déduites de ces deux expressions, dans l'équation

/t7\ an a [n) , „

(K) ... Y^~^ ' — ii) = 0,

on aura l'équation finale

d'où M!r

le poids de cette détermination étant

On peut simplifier ces expressions générales de x et de P. soit en supposant que les lectures aient été faites à des intervalles égaux, soit en regardant comme nulle l'une des erreurs moyennes a ou p.

La première hypothèse peut toujours se réaliser dans la pratique : soient donc 7ih observations pour lesquelles on ait fait n lectures également espacées ; on aura h = i — h = l — i... = 771 — n. Multipliant par h., et faisant — \-i = k, on transformera donc les équations (H) en celles-ci :

(2i — 1) u — w^'" = 2 (it — 1) m — hx;

,/n/.-n; ^ ^2fc 1) „('»'') = 2 (A - 1) m"*"^ + to.

On déduira de ce système la valeur de m^**"^ — m, et on la substituera dans l'équation

(K) - ~2"^~"2^ — wj = 0,

pour en conclure la valeur et le poids de x.

Dans le cas où l'on n'emploie que les deux lectures faites au commencement et à la fin de l'opération, les équations (H') se réduisent à deux ; et en supposant n répétitions, elles deviennent

(2Jt —\)u — u^'^ = 2 (/£ — 1) m — nx ; — u -\- {1k — \) u""^ = 1 {k — \) m*''^ + nx.

Soustrayant la première de la seconde, on a

(ni {k — 1) (m — m) + nx u -u = ;

ce qui permet de calculer immédiatement la valeur et le

poids de œ. Ce dernier, dont nous aurons besoin plus

loin, est égal au coefficient de x dans l'équation (K'),

après y avoir remplacé nh par n et u^^^ — u par sa

valeur; ou à...

an an ab n'

2 U 2 (bn + a)' Quant à la valeur la plus probable de a;, on trouve ici

c'est-à-dire la différence des lectures au commencement

et à la fin des observations, divisée par le nombre d'observations. Cette méthode est très-souvent employée : elle a été suivie dans la grande triangulation française et dans plusieurs autres.

La valeur de x fournie par la formule précédente est précisément celle qu'on déduirait d'un nombre quelconque d'équations (H'j, en supposant nulle l'erreur de lecture. Dans ce cas, en effet, on a è = oo, d'où A = oo, et ces équations donnent

2fr u = 2/: m ;

Donc le^""^ — w = m^^^^ — m; et l'équation (K') devient -^ « = 2 ^ — m) ;

Si l'on suppose nulle l'erreur de pointé^ soit oJ(„) la différence entre la première et la dernière lecture; d^n-i) Isi différence entre la seconde et l'avant -dernière, etc., l'équation du minimum du carré des erreurs sera évidemment

d'où, en différentiant et en égalant à zéro,

formule un peu moins simple que la précédente, mais beaucoup plus commode que la formule générale qu'on déduirait de l'élimination entre les équations (H').

Pour décider laquelle des deux formules (K''' ou K'^) on emploiera de préférence, il faut voir si, pour un instrument donné, l'erreur moyenne d'un pointé est supérieure ou inférieure à l'erreur moyenne d'une lecture.

Dans la pratique, on obtient séparément chacune des deux erreurs moyennes a et |3 par une suite d'expériences propres à donner directement l'erreur moyenne d'un pointé, a, ainsi que l'erreur moyenne |/^2a- -}- 2(3^ de la mesure d'un angle, due au concours des erreurs de pointé et de lecture.

Cette dernière s'obtiendra aisément en mesurant un grand nombre de fois l'angle entre deux objets terrestres qui puissent s'apercevoir avec une très-grande netteté. Car si l'on désigne pari?" la somme des carrés des erreurs qui répondent à cette série d'observations, au nombre de n, on aura l'erreur moyenne correspondante, m, par la formule

n — 1 d'où « I fi* ^ ^t

Pour déterminer a, on pointera le fil vertical du théodolite sur celui d'une lunette méridienne douée d'un fort grossissement ; puis, regardant à travers la lunette méridienne, on trouvera généralement que la coïncidence des deux fils n'existe plus, l'écart étant rendu sensible par la supériorité optique du second instrument. On mesurera cet écart à l'aide du système micrométrique de la lunette méridienne, et on aura une première différence.

Cette différence provient de trois causes, savoir : les erreurs de pointé de l'une et de l'autre lunette, et l'imperfection de la lecture du microscope. On peut tenir compte de cette dernière cause en appréciant son erreur moyenne par des lectures réitérées; quant aux deux premières, on peut les séparer, en admettant que la précision du pointé est proportionnelle au grossissement de la lunette.

Supposons qu'on ait répété p fois l'expérience précédente, et soit c^ la somme des carrés des écarts observés;

- sera le carré de l'erreur moyenne d'une observation;

le diminuant du carré X^ de l'erreur moyenne due à la

lecture du microscope, il restera ^ X^ pour le carré

P de l'erreur moyenne provenant de l'incertitude des deux

pointés réunis.

Soient a^ le carré de l'erreur moyenne d'un pointé de la

lunette du théodolite ; g son grossissement ;

Soient a'* et G les mêmes quantités pour la lunette

méridienne :

on aura ... ■^ = — ; d'où a* == — — — -(a« + a'«).

Mais (a^ -|- a'*) est précisément la quantité X^;

P donc enfin

1 G' le* et par suite P* = ^ >«* — ,.^ , , X*

^ 2 G* 4- Êf* \p

C'est en suivant cette marche que Bessel a déterminé les erreurs moyennes d'un pointé et d'une lecture, pour un théodolite de 12 pouces, muni de 4 verniers.

dont chacun donnait les 5" : la lunette de cet instrument avait 16 pouces de foyer, 16 lignes d'ouverture, et grossissait 27 fois. Il a mesuré un angle 53 fois, en employant différentes parties de la graduation : la somme des carrés des écarts de la moyenne a été de 397",60 ; donc le carré de l'erreur moyenne = 7",6461 = m' ; d'où a« + |3« = 3", 8231.

Il a pris ensuite 23 pointés réciproques sur le fil d'une lunette méridienne grossissant 280 fois : la somme des carrés des différences a été 9", 3041; d'où le carré de la différence moyenne = 0",4045. L'erreur moyenne d'une lecture micrométrique lui avait donné )* = 0",0842 : il restait donc 0",3203 pour le carré de l'erreur moyenne des deux pointés combinés ; et pour un pointé du théodolite on a, par conséquent,

Retranchant cette valeur de celle de a* -f- p^, il reste

Les erreurs moyennes d'un pointé et d'une lecture du théodolite sont donc respectivement

Dans les observations géodésiques , le pointé n'est jamais entouré de circonstances aussi favorables que dans les expériences que nous venons de citer. Aussi Bessel a-t-il porté à 0,2 le rapport |^, qui n'est en

réalité que de 0,09. Conservant pour la lecture le nombre p = 3", 5058, il en déduit pour le pointé, a^ = 0'',701, d'où a = 0",837. Nous doutons que cette correction soit suffisante ; car l'expérience montre que.