APPLICATION A LA MESURE DES ANGLES GÉODÉSIQUES
§ 142. — La mesure de l'angle simple compris entre deux signaux A et B se compose de quatre opérations à exécuter dans l'ordre suivant :
P On fixe l'alidade : l'index du vernier correspond à un point [u) de la division du limbe, pour lequel la lecture donne m. Le poids de cette opération est h.
2° Sans changer le point (u), on amène, par le mouvement général du limbe, la croisée des fils sur le point A : la distance angulaire de ce point à l'origine (y) des graduations est donc égale à (u). Le poids de ce pointé est a.
3° On fixe le point (y), et on tourne l'alidade de
manière à la pointer sur le signal B : l'index est donc amené sur un autre point de division (m'), dont la distance angulaire à l'origine des graduations est y -]- x. Le poids de cette troisième opération est a, comme celui de la précédente.
4° Enfin on fait une seconde lecture, m', dont le poids est égal à b, comme celui de la première.
On aura donc, pour déterminer la valeur de l'angle simple, quatre équations correspondantes aux quatre opérations précédentes, savoir :
u = m ... poids = b ; erreur moyenne = p
Elles renferment quatre inconnues et donnent, pour valeur déterminée de a;,
ic = m' — m.
Si nous voulons trouver le poids de cette expression, observons que l'équation du minimum du carré des erreurs est
Égalant à zéro les différentielles prises par rapport à chacune des quatre inconnues, on obtient les quatre équations normales
Say — au — au' -\- ax = 0
— ay -\- (a -{- b) u' — ax — bm' = 0 ay — au' + ûx = 0
Éliminant successivement toutes les inconnues à l'exceptioii de x, on trouve pour équation finale,
ah ^ I , \ IX
2 (a -f- fc) 2 (a + t)
Ainsi le jioids de x est le coefficient
et Xerreur moyenne correspondante est
\/lo.^ + 2|3i.
Conclusion à laquelle on aurait pu parvenir immédiatement, en se rappelant (§ 122) qu'un résultat soumis à ditférentes causes d'erreur indépendantes l'une de l'autre, dont les erreurs moyennes sont respectivement a, [^, y... a lui-même pour erreur moyenne l'expression
Nous venons de considérer une observation unique et indépendante de toutes les observations de même espèce qu'on pourrait faire. Mais ce qui caractérise la ré'pétition des angles, c'est que chaque observation dépend de celle qui précède, le (w'j de celle-ci servant de (w) pour celle-là. Peu importe d'ailleurs que la quatrième opération, la lecture, ait été faite ou omise. Dans ce cas, nous aurons, conformément aux notations précédentes,
Poids = a
Poids = a
.. Poids =b
C'est pour la généralité de la discussion que nous accordons des poids différents b, h', h"... aux différentes lectures : nous nous réservons d'égaler plus tard à zéro ceux qui correspondraient à des lectures qui n'auraient pas été faites, et d'égaler tous les autres à h.
Le système précédent renferme toujours plus d'équations que d'inconnues, sauf le cas où l'on n'aurait fait que deux lectures, l'une au commencement, l'autre à la fin de l'opération.
Si l'on différentie, par rapport aux y, l'équation du minimum du carré des erreurs, on a :
2ay -\- ax = a{u -j- ic' ) ; 2aY' -\- ax = a {u' + u'') ;
n in-i) I / (n— 0 I (n\
2oY ' -\- ax = a (u^ + u ).
La différentiant par rapport aux (w), on obtient :
{ a -\- b) u = ay -^ bm ;
(2a + b) m"^*) = a (r^"-*' + Y'""'^ 4-^)+ f»'""'^ m^'^"^' ; {a + b)ir^ =a{y"'-'^ + x) +b^''^ n,^'*> .
Enfin la différentiation par rapport à x donne
nax + a (y + Y' + - + Y^""'') = a {u' -^ u" + ... + u-"").
Si des n premières équations on tire les valeurs de T' ï' ï"--- y'**"^^ pour les substituer dans toutes les autres, et qu'on divise celles-ci, à l'exception de la dernière, par 1/2 a (ce qui est permis, puisqu'on cherche seulement le poids de (x), et non celui des divers (wj), on obtiendra :
