RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS CONDITIONNELLES
et nos équations (r) deviendront
ou bien, en faisant
d¥io',o",o"' ...)
do'
dF(o',o",o"'...)
do"
dr{o\o",o"'...) ,
do' dF'(o',o",o"'...)
do'
= b" ...etc.
(r") ... 0 = n" + Vx' + h"x" + h'"x"' -\-
0 = n'" 4- dx' -f c"x" 4- c'"x'" 4-
Telles sont les équations de condition^ linéaires, qui existent entre les erreurs, et qu'il faut satisfaire rigoureusement. Elles sont en nombre c, et chacune d'elles contient m inconnues, c étant < m. Si d'ailleurs quelques inconnues manquaient dans certaines équations, il suffirait d'y supposer leurs coefficients égaux à zéro. Les m observations immédiates ont fourni les valeurs provisoires de o', o", o'"... o,^; et la somme des carrés des erreurs doit être un minimum, de sorte que
[x*] = x'* + x"* + ^"'* + ••• + ^^m = minimum; d'où
(r'") ... x'dx' 4- x"dx" + x"'dx"' + ... + XmdXm = 0.
S'il n'existait pas d'équation de condition entre les a?, le premier membre renfermerait des termes entièrement indépendants les uns des autres; le coefficient de chaque différentielle devrait être séparément égalé à zéro, et par suite les corrections les plus probables seraient
ce qui d'ailleurs est évident pour le cas du minimum absolu.
Mais il ne peut être ici question d'obtenir un pareil minimum : celui que nous cherchons est relatif et astreint à cette condition, que les seuls x admissibles sont ceux qui satisfont exactement aux équations (r").
Pour exprimer que les seconds membres de ces dernières équations conservent des valeurs constantes^ lorsqu'on y introduit les systèmes convenables de valeurs de a;, il faut égaler leurs différentielles à zéro. Nous aurons donc
a'dx' + a"dx" + a'"dx"' -\- ...4-a dx = 0 ;
(r") ... h'dx' + b"dxr' + V'dx'" -\- ...-\-b dx =0;
c'dx' + c"dx" + c"'dx"' +...-]- c dx =0.
Ces équations, en nombre c, montrent que e différentielles peuvent être exprimées au moyen des (m — c) restantes. Si l'on effectue cette élimination, et qu'on substitue dans (r'") les valeurs de ces c différentielles, il y restera encore (m — c) différentielles indépendantes, dont les coefficients seront des fonctions de a\ a", a'" ... y, h" , h'" ... etc. En égalant chacun de ces*derniers à zéro, on obtiendra (m — c) équations, qui, jointes aux o équations (r"), fourniront un système de m équations,
