RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS CONDITIONNELLES

d'où l'on pourra déduire les valeurs des m inconnues. Le problème est donc théoriquement résolu.

Mais cette marche, assez longue en général, aurait en outre l'inconvénient de laisser purement arbitraire le choix des c différentielles que nous considérons comme surabondantes et dépendantes des autres : ici encore, comme au § 133, on remplacera avec avantage le procédé ordinaire d'élinMnation par celui des coefficients indéterminés.

Dans ce but, prpnons c coefficients arbitraires, k\ h",

Â'" par lesquels nous multiplierons respectivement

les c équations (r'"") ; ajoutant ensuite ces équations entre elles, et identifiant chacun des coefficients des dx au coefficient correspondant de l'équation (r"') (puisque les dx sont indéterminés), nous obtiendrons, entre les c coefficients k, m équations que nous nommons corrélatives et qui sont :

x' =a'k' -{-b'k" +cT" -^f'k^ (rv) ... x" =a"k' 4-fc'T' -\-c"k"' -\-f'\

x'" = a"'k' + b"'k" + c"'k"' +f"'k^ ... etc.

Jusqu'à présent , les k sont exprimés simplement en fonction linéaire des œ encore inconnus; mais on les déterminera en substituant aux a?, dans les équations de condition, leurs valeurs tirées des équations corrélatives : nous obtiendrons ainsi c équations normales entre les c coefficients corrélatifs : ce sont

(rV') ... 0 = 7i" + [at] k' 4- [bb] k" + [k] k'" + ... + [/'/] k^ 0 = n'" H- lac-] k' + [bc] k" + [ce] k'" + . •• -f [c/] /

Déterminant par voie d'élimination les valeurs numé-

riques des k, il ne nous restera plus qu'à les substituer dans (r"), et nous aurons ainsi les corrections œ' , x" , x'" ... qui donnent la plus petite somme de carrés qu'il soit possible d'obtenir, en satisfaisant aux équations de condition.

§ 144. — La somme des carrés de ces corrections nous donnera \x^] ou, pour suivre la notation que nous avons adoptée jusqu'ici, [A*J. Nous en avons besoin pour calculer, comme au § 132, la précision des observations ; Verreur moyenne sera donnée par la formule (k'') de ce paragraphe, en remarquant qu'on doit ici prendre (e — i) = c, nombre des équations de condition, de sorte qu'on a

= l/tA^.

§ 145. — Premier exemple. — On a mesuré un tour

d'horizon au moyen de cinq angles, et on a obtenu les

valeurs

La condition nécessaire que nous avons à remplir est que la somme de ces cinq angles forme exactement 360". Or, l'observation a donné 360° -|- 35". Nous avons donc ici une équation de condition, qui est