DIRECTIONS COMPENSÉES

Station 1. Station 2. Station 3.

Lorsqu'il faut relier ce système à d'autres, il reste encore à faire une opération, étrangère, si l'on veut, au calcul des compensations : c'est Y orientation, ou la détermination de l'un des A précédents.

Supposons que, pour la station 2, on ait eu A = 273° 39^ 50" : les deux autres directions, pour cette station, s'obtiendront par la simple substitution de ce nombre. Pour la station 1 , il suffit (toujours dans l'hypothèse d'un système plan) d'ajouter 180° à la direction 2, pour avoir la direction |, qui est le A de cette première station. Enfin, la direction

On a donc :

'^3^ou bien =180" + 2 — ^3^.

DIRECTIONS DÉFIMTIVES.

Observons que , dans la pratique , lorsqu'on veut obtenir la précision de la seconde, il faut employer les tables à 7 décimales pour calculer les termes connus des équations de condition.

Si l'on avait pu stationner au point 4, on aurait fermé deux triangles de plus, et obtenu deux nouvelles équations de condition aux angles. Ce cas se présente fréquemment au commencement d'une triangulation : on relie la base mesurée ^ 1 . 2, à deux autres points, 3, 4, situés dans une direction à peu près perpendiculaire à la première; on ob-

serve tous les angles de la figure 1,2, 3, 4, et la longueur 3 . 4 forme la hase calculée. On la relie aux sommets adjacents de la triangulation par des triangles aussi bien conformés que possible.

La compensation du système 1, 2, 3, 4 offre donc ici trois équations aux angles, et une équation aux côtés; mais, sauf cette différence, le problème est identique avec celui que nous venons de résoudre. Nous traitons plus loin un cas de l'espèce, mais plus complet.

§ 155. — Prenons enfin un exemple facile dans lequel se rencontrent à la fois des mesures linéaires et des mesures angulaires.

On a observé les éléments suivants du triangle 12 3.

% ^ = ST-^o'

Ici, comme nous avons des quantités hétérogènes à traiter , il faut commencer par chercher l'erreur moyenne de chaque espèce de mesure. Supposons, pour simplifier, qu'elle soit de 1' pour les angles et de 0"^,1 pour les côtés : alors il nous suffira, comme nous l'avons vu déjà (§ 126), d'exprimer les grandeurs linéaires en décimètres, pour pouvoir traiter les erreurs comme de simples nombres inconnus.

Notre première équation de condition, par rapport aux angles, est

De plus, en divisant les côtés par les sinus des angles opposés, on devra obtenir des quotients égaux.

log 2 . 3 = 2, 84386 + 62,5 (2 . 3) log sin ^^^ = 9, 92803 - 7,5 f^J + 7,5 f^j

2,91583 -f 62,5 (2.3) + "^'^ (j ) - '^'^ (jjlog 3 . i = 2, 78i04 + 72 (3 . 1) logsin %^ = 9,86176- 12 (^j +12(1)

2, 91928 + 72 (3.1) + 12 (M 45 fl j.

logl.2 = 2, 90363 + 54 (1.2) log sin ^3^ = 9,98614 -3,5 M3) -f 3,5 (^j

Retranchant du second résultat le premier et le troisième, nous aurons deux nouvelles équations de condition, que nous multiplions par 2, pour chasser les décimales de la dernière; il viendra donc :

0 = -f 690+144(3. l)-125(2.3)+24(3J 24(^j-15(2J^15|3J 0 =+358+144(3.1)-108(1.2)+24(3j 24|^j-7(lj+7|2J.

Les équations corrélatives sont donc

h\=-ki-nh (^WA-i-24fr,-24t5 (1-2)= -108/fs

3J=+A.,+15/,, |lj=-A-, -Ik, (2.3)=-125fc,

h\=-k^+mi+mJ^]=+k^ +U, (3.1)=-hl44A-,+144/c3'

On a, d'ailleurs,

[aa] = + 6 [bb] = + 37963

[ab] = — 18 [bc] = + 21888

[ac] = — 34 [ce] = + 33650 ;

et les équations normales sont

0 = + il 4- 6A-1 — 18frj — 34A-3 0 = 4- 690 — 18A-1 + 37963Aj -f- 21888A-5 0 = -f 358 — 34A, + 21888Aî + 33650A5.

L'élimination donne a^ = — 1,8912 h = — 0,01894 ^5 = — 0,000203;

et la substitution dans les équations corrélatives

( ? )=-( l )-f 2'10",5.. .( 3 )=-( 1 Wl'25".9...( l y-[ l )^1'53",6 (1.2) =+0,0219 (2.3) =+2,3675 (3.1) =-2,7566.

Appliquant ces corrections, nous obtiendrons pour éléments du triangle compensé :

^ I 3 gyogo' 39" 2.3 = 70»«,0368

§ 156. — La compensation des observations conditionnelles mérite toute notre attention, à cause des applications fréquentes qu'elle trouve dans la haute topographie et dans la géodésie. Les exemples précédents nous ont montré comment on peut, dans les cas les plus simples, former les équations de condition et les traduire en nombres. Mais dès que le problème se complique, il arrive très-souvent qu'on omet certaines

équations nécessaires , ou qu'on en pose de superflues. Il est donc intéressant de savoir déterminer, à priori, quel est le nombre d'équations de condition, indépendantes les unes des autres, qui doivent exister en général entre un certain nombre de données d'observation.

La question comporte trois cas différents, suivant que les données d'observation renferment des mesures angulaires seulement, ou des mesures linéaires seulement, ou enfin des mesures angulaires jointes à des mesures linéaires. Nous ne nous occuperons que du premier de ces trois cas, parce qu'il est le plus important pour nous, et que les deux autres s'y ramèneraient facilement, au moyen de légères modifications.

Les observations angulaires peuvent ofirir trois classes d'équations de condition.

La 'première classe se présente lorsqu'on a observé tous les angles simples qui forment un tour d'horizon. Le nombre de ces équations est si facile à reconnaître, leur formation est si simple, que nous nous dispenserons d'en rien dire, renvoyant toutefois aux deux remarques faites (§§150 et 153).

On obtient des équations de condition de seconde classe, celles que nous avons nommées équations aux angles iWinkelgleichungen des auteurs allemands), lorsqu'on a observé les angles aux sommets d'un polygone fermé ; car la théorie permet de calculer la somme de ces angles. Le nombre d'équations de condition de cette espèce repose sur le théorème suivant, formulé par Gauss :

NOMBRE d'équations DE CONDITION. 479

« Lorsque p points formant système sont reliés réci- « proquement par l lignes, le nombre d'équations aux « angles qu'offre le système est égal à ^ — P + 1 • "

Supposons d'abord p points reliés deux à deux par p lignes : ils formeront un polygone fermé qui donnera une équation de condition, relative à la" somme de ses angles intérieurs.

A ces p lignes, que nous pouvons considérer comme formant le contour du polygone, ajoutons une diagonale quelconque : elle divisera le polygone en deux autres, et fournira deux équations de condition aux angles nouvelles; mais, par ce fait, la première équation sera annulée; car elle est évidemment satisfaite lorsque les deux autres le sont.

Chaque nouvelle diagonale amènera ainsi une nouvelle équation, de sorte que tout système linéaire, contenant u lignes de trop, offrira (m -|- 1) équations aux angles.

Soit donc l le nombre de lignes que présente le système ; p le nombre de points qu'elles relient deux à deux : on a m = ^ — ^ ; et le nombre d'équations de condition devient l — jo + 1 .

l est au moins égal à p^ et peut au plus être égal à

— 2 — • 1^ nombre d'équations aux angles est donc

au moins de une, et au plus de — ^ ^ ^'

Dans la figure ci-jointe, par exemple, on a jo = 10, Z == 21 : il y a donc 12 équations aux angles. Une fois leur nombre connu, on n'éprouvera pas grande difficulté à les former : ainsi, en procédant à partir de la

ligne 3.10, et en marchant circulairement vers la gauche, on trouvera, jusqu'à la ligne 4.9, une chaîne de huit triangles contigus, qui doivent se fermer à 180». Reste encore à découvrir quatre équations de condition.

Le petit quadrilatère 3.4.9.10, entre les sommets duquel il existe six lignes, en fournira trois, qui se déduiront de la fermeture à 180° de trois quelconques des quatre triangles ayant mêmes sommets que le quadrilatère.

I Enfin la dernière équation de condition est donnée par le quadrilatère 1.3. 4.5, dont la somme des angles doit former 360''.

L'expression numérique de ces douze équations n'offrirait rien de particulier.

Enfin nous avons dit déjà que les équations de condition de troisième classe (équations aux côtés, Seitengleichungen) ont pour but de corriger les angles observés, de manière à les rendre compatibles entre eux, sous le rapport des longueurs relatives des côtés que ces angles servent à calculer. Par ce moyen on

NOMBRE d'équations DE CONDITION. 481

obtiendra, pour une longueur relative quelconque, des valeurs identiques, quels que soient les angles qui aient servi à la calculer.

Pour trouver le nombre des équations aux côtés que présente un système linéaire, nous emploierons un second théorème formulé aussi par Gauss, savoir :

« Si jt9 points d'une triangulation sont reliés par « l lignes (dont les directions ne sont observées qu'à « une seule extrémité) , il y a l — 2/î -j- 3 lignes de « trop ; ce qui conduit à ^ — 2jo -j- 3 équations de con- « dition aux côtés. »

Prenons d'abord deux points du système : la direction de la ligne qui les joint est nécessaire pour orienter le système ou pour le relier à un autre.

Un troisième point, pour être relié trigonométriquement aux deux premiers, demande qu'on mesure deux nouvelles directions ; et chaque nouveau point exige deux directions nouvelles et n'en exige que deux (dont une au moins doit être rapportée, médiatement ou immédiatement, à la direction initiale).

Par conséquent, pour déterminer trigonométriquement un système de p points, il faut t (p — 2) directions, outre la direction initiale, qui sert à l'orientation ; donc 2p — 3 lignes.

Chaque ligne qu'on ajoutera maintenant aux précédentes donnera lieu à une équation de condition aux côtés, puisque sa longueur peut se calculer indépendamment de toute nouvelle donnée. Si donc on amené l lignes entre les p points, il existera l — 2p -]- 3 équations aux côtés.

Ce qui précède suppose que chaque ligne surabondante n a été observée qu'à une seule de ses extrémités : si elle l'avait été aux deux, elle donnerait lieu en outre, comme nous le savons déjà, à une équation aux angles.

Les trois premiers points du réseau exigent au moins trois directions, et les (p — 3) restants, 2 (p — 3); il s'ensuit que l est au moins égal à 2p — 3 : il est d'ailleurs égal au plus à ^^^~ \ donc le nombre des équations aux côtés peut varier depuis zéro jusqu'à

Posons ce dernier nombre égal à l'unité : il vient p ^= A (nous rejetons la racine p = \, qui ne peut s'appliquer à aucun système de points). Il faut donc au moins quatre points reliés par six lignes, pour qu'il y ait lieu à rechercher les équations de condition de la troisième classe. Il n'y a pas, en effet, deux moyens de calculer les côtés d'un triangle en fonction de l'un d'eux.

Après avoir calculé le nombre d'équations de condition de chaque espèce qui doivent exister dans un système de triangles, il faudra former chacune d'elles, ■ sans commettre d'omission ni de double emploi ; et ce travail ne laisse pas quelquefois de présenter des difficultés. La marche la plus sûre sera de parcourir le réseau, en partant de la base, et en suivant de proche en proche les observations qui ont été faites aux sommets consécutifs de la triangulation. On remarquera que, pour fixer la position d'un point N, il faut deux

NOMBRE d'équations DE CONDITION. 483

directions émanant de deux points connus, A et B. Si les observations fournissent plus de deux données, le nombre excédant exprimera celui des équations de condition, provenant de la jonction du point N au réseau de triangles. Ainsi l'angle entre A et B, observé du point N, apporte une troisiè?ne donnée, donc une ^remière équation de condition, qui est ici angulaire.

Le point N est-il observé de trois stations connues A, B, C, lesquelles, à leur tour, sont observées de N? Nous aurons dans ce cas cinq données; donc trois équations de condition (deux aux angles et une aux côtés) .

Et en général, si le point N est observé de m points connus, et que réciproquement ceux-ci soient observés du point N, il y aura (2m — 1) données, donc (2m — 3) équations de condition, savoir (wi — 1) pour les angles et (m — 2) pour les côtés.

Bessel a résumé ce qui précède dans la règle que voici : « Pour rattacher un point, il est nécessaire et « suffisant d'observer deux directions simples. L'obser- « vation d'une nouvelle direction introduit une équation « aux côtés ; et celle de l'angle fourni par deux direc- « tiens nouvelles, une équation aux angles. »

Nous reproduisons, comme exemple', la recherche des équations de condition que fournit la triangulation faite par ce grand observateur entre Trunz et Memel (voyez Gradmessung in Ostpreussen) , en faisant abstraction des petits triangles qui rattachent la base mesurée

' Voir plus loin une application complète avec tous les calculs, empruntée à la triangulation belge.

à la base calculée, et en partant du côté 1 . 2 (Galtgarhen- Condehnen).

A partir de ce premier côté, le sommet 4 est déterminé seulement par deux directions ; mais il a servi de station pour prendre l'angle ^ , ce qui donne une équation aux angles «j = 1.2.4, dans le triangle désigné par ces trois chiffres.

3 a été observé de trois points 1, 2, 4; ce qui donne une équation aux côtés entre ces quatre points : Cj = 1.2.3.4.

L'angle j est surabondant, d'où a2 = l . 2.3. — La direction 3 n'a pas été observée.

A Trunz l'angle observé est surabondant ; d'où «3 = 1.4.5.

Au nord du côté de départ, nous avons d'abord quatre triangles dont les trois angles ont été observés, et qui donnent :

Ensuite le point 10 est déterminé par quatre directions, au lieu de deux, et ces directions sont réciproques; ce qui donne trois équations aux angles et deux aux côtés : a^ = 7.8. 10; a^ = 8.9. 10; ajo = 1. 8.10; C2 =7.8.9.10; Cg = 1.2.6.7.10.8.

Viennent maintenant «n = 9.10.11; ^12 =10.11. 12; «13 = 10.12.14 (on n'a pas observé du point 13). Enfin ce dernier point, 13, ayant été recoupé de trois autres, on a C4 = 10.12.14.13.

Le nombre des équations de condition que nous venons de trouver s'accorde avec les deux théorèmes de Gauss, que nous avons énoncés plus haut. En effet, pour les équations aux angles, on a p =13 (le point 13 ne compte pas, puisqu'on n'a fait que rayonner vers lui); l = 25, nombre de directions observées réciproquement ; d'où l — p -|- 1 = 13.

Pour les équations aux côtés, on a ^ = 14; ^ = 29 (nombre des directions simples); donc l — 2^5 -}- 3 = 4.

DIRECTIONS LES PLUS PROBABLES DÉDUITES DES OBSERVATIONS FAITES A UNE STATION.

§ 157. — Si, lorsqu'on est en station, on pouvait toujours observer l'un après l'autre tous les signaux environnants, la moyenne de toutes les lectures conduirait bien simplement aux directions les plus probables. Mais il est rarement possible d'opérer ainsi : on doit n'observer que dans des circonstances favorables, et ne viser que sur les signaux qui sont nettement éclairés et qui ne paraissent pas ondulants. Voyons comment, dans ce cas, le calcul peut conduire au résultat le plus probable.

Soient le nombre des signaux 1 2 3.... m

— les directions observées 0 o fc....

— — les plus probables 0 A B....

retranchant les dernières des premières : 0; a — A; ft— B,....

Ces différences doivent être égales entre elles, puisqu'elles se rapportent à des signaux qui ont été observés un même nombre de fois dans des circonstances identiques : les égalant donc à une inconnue, x, on obtiendra autant d'équations qu'on a observé de signaux, savoir,

a = x; a — A = x; b — Yi = x ...

Pour un autre nombre de signaux, on obtient d'autres équations et d'autres valeurs pour x : ainsi, par exemple, pour 4 signaux, on a :

Supposons maintenant qu'on ait répété plusieurs fois

robservation des trois premiers signaux, et plusieurs fois aussi celle des quatre signaux : il résultera, de ces deux séries, deux groupes d'équations, savoir :

nx = 0; 7ix-\-nA.={a-\-a' ...); nx-\-nB =(b-\-b' -{- ...).

Ajoutant ces dernières équations , on obtient

mnx -- (a + a' -h ... + ft + fe' + ...)— « (A + B);

d'où

m représente ici le nombre des signaux observés, et n celui des observations du groupe.

Le second groupe sera

i a/=0; x'-\- A=a ; af-\- B= (3 ; af-\- C= y

2 af=0; x'-\- A= a' ; a/+ B= (3' ; a/+ C= y'.

3 a/=0; x'-\- A= a"; a/4- B= ^"; ai'-f C= y" ... (2)

JiV^O ; n'x'4-?i'A=[a] ; nV+?i'B= [S] ; nV+Ji'C=[r].

Additionnons et tirons la valeur de n'œ'; il viendra :

Le nombre des inconnues œ, œ'... est égal à celui des groupes que les observations ont fournis. Dans le cas actuel, il y a donc cinq inconnues, œ, a/, A, B, C; et pour les déterminer, nous avons les six équations du premier groupe et les douze du second, nombre que l'observateur pourrait encore augmenter à volonté.

C'est donc ici le cas d'appliquer la méthode des moindres carrés.

Représentons par 2S la somme des carrés des erreurs dans les deux groupes, nous aurons :

(*) La diiférentiation par rapport à a; et à a/ donne :

^=0 = +mna;+n(A + B) — (a4-a'+... + i; + ft'4-...)...(3)

g.= 0 == +m'nV-f n'(A -f B + C + ...) - ([«] + [P] + M) - (4)

De ces deux équations on déduit pour nx et n'x' les mêmes valeurs qui ont été fournies plus simplement par la somme des équations (1) et (2). De plus, en différentiant par rapport à A, B, C, on obtient :

^ = 0 = nA — (a + a' + ...) + nx + n'A — [a] + n'af ... (5)

^ = 0 = nB — (fc -1- y + ...) -\-nx-\- n'B — [|3] + jiV ... (6) do

^=0 = n'C[Y] + nV. ... (7)

Substituant dans ces trois dernières équations les valeurs précédentes de nx et de n'œ\ on obtient les équa-

{*) Dans cette recherche nous n'avons pas introduit la notion du poids des observations, parce que ce poids est supposé le môme pour toutes dans les circonstances ordinaires d'un travail régulièrement exécuté. Si cependant il arrivait qu'on dût reconnaître des poids différents aux observations, il suffirait de multiplier les termes des équations (1), (!'), (2), (2') par la racine carrée des poids correspondants, ou ceux de l'expression de 2S par ces mêmes poids.

tiens finales. Par exemple celle qui se déduit de (5)

sera

0 =nA-(a+o'-f ...)+^a + o'4- ... +fc+fc'+ ...)— -A— -B )

L J ^»Vl. J 1 Lrj 1 LU/ ^, ^, j^, j

ou bien, en additionnant et en désignant par [aa\, [aJ], [oc] les sommes des coefficients de A, B, C; et par \an\ le terme tout connu :

[an] = [aa] A — [cfc] B — \ac\ C.

Opérant de même sur les équations (6) et (7) on obtiendrait des résultats analogues ; de sorte que le système des équations finales est

[an] = + [aa] A — [ab] B — [ac]C)

[bii] = — [ab] A + [bb] B — [bc] C ... (9)

[en] = — [ac] A — [bc] B + [ce] C )

et l'élimination ordinaire fera connaître les directions les plus probables A, B, C.

Si l'on a chaque fois observé tous les signaux, le second groupe n'existe pas; donc n'=0, et par suite [aa] = [bb] = [cc] = n — —. Quant aux autres coefficients,

ils sont tous égaux entre eux et à — .

Pour simplifier les calculs, et n'avoir affaire qu'à de petits nombres, on peut attribuer aux directions observées des valeurs approximatives, qu'on exclut du calcul; de sorte, par exemple, que A, B, C ne représentent que les variations qui peuvent avoir lieu dans les unités de seconde. Ainsi, supposons que la direction du premier signal soit représentée par 0° ; celle du second par 56° 30' 24",5 : on posera celle-ci égale à 56« 30' 20" + A ;

et on obtiendra dans le groupe (1) l'équation correspondante œ -\- A = 4", 5. — De même pour les autres signaux.

Les équations (9) sont symétriques ; et on voit que pour déduire, par exemple, la seconde de la première, il suffit de changer dans celle-ci a et A en & et B. Par suite, on peut leur donner cette autre forme symétrique

A = [aJi] . [aa] + [bn] . [a^] + [en] . [ay] 1

B = [an] . M + [ft«] . m + [<^] . [?Y] - (iO) C = [an} . [ay] + [bii] . M + [ci] . [yr] )

dans laquelle [aa] , [a^] , [ay] . . . sont des coefficients qui se déduisent de ceux des équations (9) de la manière suivante.

Substituons d'abord à [an], [bn], [en] leurs valeurs tirées des équations (9) ; il vient

( [a«] (+ [«a] A — [aé] B — lac] C)

A = j + [otp] (— [ab] A + [bb] B — [bc] C)

( + [«r] (- lac] A - [bc] B 4- [ce] C).

( [aP] (+ [«a] A — [ab] B — [ac] C)

B = + [m (- [ab] A + [bb] B - [bc] C)

( + M (- [ac] A - [bc] B + [ce] C).

![«Y] (+ [aa] A — [ab] B — [ac] C) + [Pï] (- [ab] A + [bb] B - [&c] C) + [ïY] (~ [ac] A - [bc] B + [ce] C).

Ordonnons maintenant les seconds membres par rapport à A, B, C, nous aurons :

( A (+ [aa] . [aa] - [ab] . [a^] - [ac] . [ay])

A = 4- B (- [ab] . [aa] + [bb] . [a^] - [bc] . [ay])

| C (- [ac] . [««] - [bc] . [ap] + [ce] . [ay]).

( A (+ [aa] . [aS] - [ab] . [PP] - [ac] . [iSy])

B = + B (- [ab} . [a|3] + [bb] . [PP] - [k] . [^y])

( +-C (- M . [ap] - [te] . im + [a-] . [Pr]).

( A (+ [aa] . [ay] - [afc] . [^y] - [ac] . [yy])

C = + B (- [aft] . [ay] + [bb-] . [Py] - [k] . [-/y])

( + C (- [flc] . [ay] ~ [k] . [^y] + [ce] . [yy]).

Ces équations devant être identiques avec les équations (10), la valeur de A doit être indépendante de B et de C; celle de B, indépendante de A et de C... etc. Ce qui exige que, dans la première équation, les coefficients de B et de C soient identiquement nuls; que, dans la seconde, les coefficients de A et de C soient identiquement nuls, et ainsi de suite. Chaque équation en fournit donc trois pour la détermination des coefficients inconnus, savoir :

i = 4- [aa] . [aa] — [aô] . [a^] - [oc] . [ay] ;

0 = - lab] . [a«] -f Ibb] . [«?] - [bc] . [ay] ;

0 = - [oc] . [aa] - [bc-] . [aP] + [cc] . [ay] ;

0 = + [aa] . [ap] - [«*] . ipp] - [ac] . [Py] ;

^ =-[«*]• M + [6^].[P^]-[ftc].[Py];\ .... (H)

0 =. - \ac] . [«P] - \bc] . [(3P] + [ce] . [;3y] ;

0 = + [ao] . [ay] - [au»] • [?y] - [ac] . [yy] ;

0 = [afc] . [ay] + [bb] . [^y] - [bc] . [yy] ;

\=.-[ac]. [ay] - [bc] . [^y] + [ce] . [yy] ;

et à chacun des groupes on appliquera le procédé d'élimination de Gauss, que nous avons exposé au § 129.

§ 158. — La détermination de A, B, C. . . , au moyen des équations (9) ou (10), est conforme aux résultats des observations de direction faites à la station considérée. Mais, comme les observations de toutes les sta-

tions, combinées entre elles, doivent constituer un réseau satisfaisant exactement à de nouvelles conditions, il en résulte que les directions A, B, C... doivent subir de nouvelles corrections, encore inconnues, que nous représentons par (1). (2), (3)... Or, quand on remplace, dans les seconds membres des équations (9), A, B, C... par A + (1) ou A', B + (2) ou B', C + (3) ou C^.. les premiers membres subissent eux-mêmes des changements , et se transforment par exemple en [an] -}- [1], [bn] -\- [2], [en] -\- [3]. Faisant ces substitutions dans les équations (9) et réduisant, nous aurons

[IJ = + [aa] (1) - [ab] (2) - [ac] (3) . [2] = - [ab] H) 4- [bb] (2) - [bc] (3) ... (12)

|3]=-Kl(l)-[fec](2)4-M(3).

Si l'on fait les mêmes substitutions dans les équations (10), et qu'on y remplace ensuite A, B, C par leurs valeurs les plus probables, ces équations deviennent

(1) = [aa][i] + [aP][2]4-[aï][3]

(2) = [aP] [1] + [PP] [2] + [Py] [3] ... (13)

(3) = [ay] [1] + [py] [2] + [yy] [3].

Les équations (12) et (13) se rapportent donc uniquement à la compensation du réseau trigonométrique , et expriment la dépendance qui existe entre les corrections dç A, B, C... par suite de la manière dont ces directions ont été observées du point de station. Nous reviendrons plus tard à ces deux groupes.

Lorsqu'on suit la marche adoptée par le général Baeyer, les calculs qu'exigent les observations faites à chaque station consistent :

1° A résoudre les équations (9) pour déterminer les directions probables, A, B, C... ;

2° A résoudre les équations (11) pour déterminer les coefficients des équations (13);

3" A transporter dans le groupe (13) les valeurs numériques de ces coefficients.

§ 159. — Pour éclaircir ce qui précède, nous allons effectuer le développement des calculs, en traitant un exemple numérique fort simple. Les données sont extraites de la triangulation effectuée en 1850, sous la direction de feu le général Nerenburger, pour relier la petite base d'essai de Linthout à l'Observatoire royal de Bruxelles.

Dans la dernière colonne de ce tableau, on a, conformément à la remarque faite p. 489, attribué aux directions observées des valeurs approximatives, afin de n'avoir à chercher que de petites corrections. Il est bon de remarquer toutefois que cette marche revient (§ 136) à assimiler les corrections à de véritables différentielles, et à négliger les ordres supérieurs : il faut donc que les suppositions ne s'écartent pas trop des valeurs moyennes. Ainsi, par exemple, on a supposé, dans la première série, que la direction du signal B était de 94«,7670",00; ou, plus simplement, de 70",00, en n'ayant égard qu'à l'ordre des chiffi^es variables dans la série. Cette hypothèse donne 840",00 pour la somme des 12 observations; dans la réalité, cette somme n'est que de 793", 75 : la différence ( — 46,25) est le nombre porté dans la troisième colonne, sous la première série.

Station au terme B de la base.