S'-LAMBERT
T«rme A . . . . 0,0000",00
Woluwe-S.-1'ierre 66,2800 ,00+A
W8luwe-S'-Limbert94,7670 ,00-f B
APPLICATION A UiNE TRIANGULATION. 495
On conçoit, d'après cela, la formation des équations inscrites dans la dernière colonne : elles correspondent aux équations (1'), (2') du § 157.
Nous avons maintenant à former les équations finales, d'après (5), (6), (7) et (8) du même paragraphe. Remarquons que, pour A, nous avons à faire dans la formule (8)
Il vient donc
ou bien
Pour la direction B, Aous avons en outre n' = 12, m' = 2 et ^+^'+^"4-....= — 26,25. Il vient donc
OU bien
Les équations à résoudre, (a) et (b), comparées au type (9), donnent :
[an] = + 33,7500; [aa] = -{- 8,0000; [ab] = — 4,0000 ; [bn] = — 53,1256 ; [bb] = + 14,0000.
Les calculs numériques sont exposés dans le tableau suivant.
os
Il suit de là que les directions probables sont
Terme A = Oo,0000",000
Woluwe-Saint-Pierre. . . . = 66 ,2802 ,708 + (1) Woluwe-Saint-Lambert . . . = 94 ,7666 ,979 + (2).
On n'oubliera pas que les corrections (1) et (2) résultent des conditions ultérieures, dues à la liaison réciproque des diverses lignes de la triangulation. — Les équations (12) deviennent donc
et les équations (13)
Pour la compensation générale du réseau trigonométrique, Baeyer {die Kûsienvennessung , etc.) n'emploie que les équations (13'), et les équations (12') lui sont inutiles. Bessel, au contraire (Gradmessung m Ostpreussen), n'emploie que le groupe (12') et ne fait aucun usage de l'autre. Nous suivrons la méthode de Baeyer, qui a été adoptée en Belgique par le Dépôt de la guerre (Institut cartographique militaire).
L'avantage des équations (11) est subsidiairement de donner immédiatement les poids des inconnues. Ces
poids sont, en effet, d'après le § 133, — pour A, î—
[aa] [pS]
pour B, etc Dans l'exemple numérique que nous
avons traité, on trouve
Fa = 6,85 Pb = 12.
l'unité d'erreur étant la seconde (centésimale).
THÉORIE DE LA COMPENSATION d'uN RÉSEAU TRIGONOMÉTRIQUE .
§ 160. — Lorsque les directions et les angles, pris à une même station, peuvent être considérés comme des grandeurs observées immédiatement, et indépendantes les unes des autres, le calcul de leurs corrections n'offre aucune difficulté. En efPet, les observations des diverses stations étant reliées entre elles de manière à former des triangles, des quadrilatères, etc., il en résulte un système polygonal qui présente plus ou moins d'équations surabondantes ; de là naissent des conditions qui doivent être exactement remplies, pour que le réseau soit mathématiquement formé, et la solution du problème tombe dans le cas que nous avons traité, §§ 143 et suivants. Cette marche est celle qu'ont suivie Gauss, Hansen, Gerling, etc., dans leurs calculs géodésiques.
Mais il en est autrement lorsqu'on regarde, avec Bessel et Baeyer, les directions observées à chaque station comme liées entre elles par des équations (9) : c'est dans cette hypothèse que nous allons exposer la théorie de la compensation d'un réseau trigonométrique.
Soient les équations de condition suivantes, tirées de la constitution polygonale du réseau :
u =0 = 3 + aA' + a'B' + a"C^..
w' = 0 = 6+ PA' + P'B' + P"C' (14)
n" = 0 = C -f yA' 4- y'B' + y"C' ...
COMPENSATION GÉNÉRALE d'uNE TRIANGULATION. 499
Multiplions-les successivement par les coefficients corrélatifs ï, II, III... (pour suivre la notation de Bessel et de Baeyer); dilférentions-les par rapport à A, B, C..., en remarquant que d(\), d(2), d{3) sont des différentielles de 2* ordre, et ajoutons-les aux équations (5), (6), (7); il viendra
Comme les valeurs de —,—... ne sont autre chose que
dX dB
lesexpressions(9),etqu'enoutre^ = a;^-a';^=a"...,
le système précédent se transformera en
+ [aa] A'— [ab] B' — [ac] C ... = [an] + a I + p II -j- y III -
— [ab] A'+ [bb] B' — [bc] C ... = [b7i] + a' 1 + P' Il + f III ... (16)
— [ac] A'—[bc] B' 4- [ce] C ... = [en] + a"I + P"I1 + y"III ...
Éliminant A', B', C... de ces équations, et les exprimant en fonction des coefficients indéterminés I, II, III..., on trouve une expression de la forme
B' = Q + ç' I + J-' II + / III ... ... (17)
c = R + 9"I + ?-"Il + 5"llI ...
Si maintenant on substitue ces valeurs dans les équations (14), on fera disparaître A', B', C'..., et on obtiendra autant d'équations que de coefficients corrélatifs : -leur solution donnera donc les valeurs de I, II, III...; et ces derniers, remplacés dans (17), permettront de calculer les directions les plus probables A', B', C... qui satisfont à l'ensemble des conditions.
Telle est la marche la plus simple en théorie : mais lorsqu'on veut l'appliquer, on doit attendre, pour commencer les calculs, que toutes les observations soient terminées. Or, ces calculs sont si longs que, pour une triangulation un peu considérable, leur accumulation présente un travail effrayant. Baeyer a cherché à éviter cette accumulation, en disposant les calculs de telle sorte qu*on puisse opérer par parties successives, sans nuire à l'exactitude de la solution.
Dans ce but, on commence par calculer, comme nous l'avons fait (§ 157), les directions probables A, B, C..., eu égard seulement aux observations faites à la station; puis on forme les expressions (12) et (13) relatives aux équations de condition qui résulteront plus tard de la constitution géométrique du réseau. Jusqu'ici donc, les calculs peuvent être conduits indépendamment les uns des autres, pour chaque station individuelle, et se faire d'année en année, après la campagne d'observations.
Dans les équations (14), les valeurs de A', B', C^.. embrassent toutes les conditions ; mais si l'on veut séparer les directions probables fournies à chaque station, des corrections dues à la forme polygonale du réseau, il faudra remplacer A', B'... par A -\- (1), B -|- (2)... Les équations de condition (14) comprendront de nouvelles inconnues (1), (2), (3).... En effet, puisqu'on part, pour leur formation, des valeurs probables obtenues à chaque station, la première de ces équations devient
0 = :H + a [A + {{)] + a' [B + (2)] + a" [C + (3)]; OU bien o = 2l' + a(4) + a' (2) + a" (3) ...
