ar

Considérons un terme L éloigné de r places du maximum ; il sera de la forme :

(arp + arq) (arp -\-arq — \)... (arp ±. r + 1) ^^^., ^^„ , ^.

L' (arp — r-\-\) (arp — r + 2) ... arp 9'*

après la suppression des facteurs communs.

On voit, d'ailleurs, que le second rapport ne diffère du premier que par le changement de p en g et réciproquement .

Démontrons, maintenant, que ces deux rapports peuvent être rendus aussi grands qu'on le veut. A cet effet, décomposons p" et g*" , afin de joindre p om q k chacun des facteurs du numérateur ou du dénominateur ; il viendra :

M (arpq + rq) (a7yq + rq — q).. .(arpq + q) L (arpq — rp -f- p) (arpq — rp-\-^lp). . . arpq'

eut considérer - comm

dont le k^ a pour expression :

On peut considérer ^ comme le produit de r facteurs

I /I J^ apq -\- q q

arpq -\- rq — (k — \) q t- 1 \ ^ ^.

arpq — rp -\- kp , k

apq—p-\--p

Chacun des r facteurs est > 1, car si l'on retranche le dénominateur du numérateur, le reste

est toujours positif, puisque la plus grande valeur de Â est r.

On voit, en outre, que pour une même valeur de k, le numérateur croît, tandis que le dénominateur décroît lorsque r augmente, d'où il suit que la valeur des facteurs augmente avec leur nombre et que, par conséquent, leur produit devient de plus en plus gfand.

Enfin, pour une même valeur de r, le numérateur diminuant lorsque k augmente, tandis que le contraire a lieu pour le dénominateur, il est évident que les facteurs forment une suite décroissante, dont le premier et le dernier terme,

apq-\-q . q

apq -{--

apq—p-\-~ »

^ r apq

comprennent entre eux la quantité

apq -\-q ap -\- i apq ap

Or, il est toujours possible d'assigner la valeur d'un —— — J égale ou surpasse un nombre donné C ; il suffit de poser

log {ap +1) — log ap

si le second membre est fractionnaire, on prendra pour k le nombre entier immédiatement supérieur.

Maintenant, on peut faire en sorte que le facteur

placé au rang marqué par k dans la valeur de y;, de-

vienne égal à ; il suffit, pour cela, de poser

l'équation

arpq -{-rq — (k — \) q ap -\- i ai-pq — rp -\- kp ap

et de déterminer r en conséquence. Cette équation donne

ap -{- i

d'où

arip-\rq)=m = a\k-^"' ^ ~~ ^\{p-h Q)-

Pour cette valeur de r, lesk — 1 facteurs pris sur la

111 1 1 M ap-\-i . , , ^

gauche de la valeur de ^ surpassant , qui est égal

au facteur de rang k, le produit des premiers par ce

dernier surpassera nécessairement [ — — — ) , c est-a-dire

le nombre C. Enfin, les facteurs qui suivent étant tous

;> 1, le produit complet, ou la valeur de j^ surpassera

à plus forte raison le nombre C.

Par ce qui précède, on a donc déterminé le nombres, de manière qu'en élevant le binôme {p -\- q) èi la puissance ar {p -\- q), le rapport y surpassera tel nombre

qu'on voudra.

M Pour traiter de même le rapport p, il suffira de

changer p en q et réciproquement dans la formule précédente, ce qui donnera

logC

log {aq + i) — log aq

.. " ar{p + q)^m = a\k'+"L(!^^—p\ip + q).

i aq -f- \ )

Lorsque cette valeur différera de la précédente, il faudra employer la plus considérable des deux, qui rendra en même temps