AA, AB, BA, BB

§ 27. — « Un joueur a reconnu que, dans une partie « formée de 3 points, il peut en céder deux à son adver- « saire pour établir entre eux l'égalité : on demande « la probabilité qu'a le premier joueur de gagner un « point. »

Il résulte de l'énoncé qu'il a la probabilité .1/2 de gagner 3 points de suite, puisqu'il perdrait la partie si son adversaire en gagnait un auparavant ; on a donc pour ce cas

p3 = -, doup == -^-— , |/2

ce qui revient à environ 0,79 ou un peu moins de -.

Si le premier joueur ne cédait qu'un point sur trois, alors les chances en sa faveur seraient de gagner les trois points de suite ou en quatre coups au plus ; car s'il manquait deux coups, son adversaire gagnerait la partie. Ainsi, l'on aurait

OU, en remplaçant q par (1 — ^),

Cette équation étant résolue donne p == 0,6443 environ.

§ 28. — La considération des événements composés qui peuvent arriver dans les épreuves répétées des mêmes hasards, mérite toute notre attention, parce qu'elle fournit les meilleures bases que l'on puisse donner à la philosophie du calcul des probabilités, pour fonder l'utilité de ses applications.

Chaque terme du développement du binôme (§ 23) correspond à l'une des hypothèses possibles sur le rapport du nombre des événements A au nombre des évé^ nements B, le nombre total des épreuves étant m. La somme de tous les termes, ou de toutes les probabilités correspondantes à ces diverses hypothèses, est égale à l'unité; et comme le nombre des termes ou des hypothèses est (m-j-1), on comprend que les valeurs absolues des divers termes doivent devenir de plus en plus petites à mesure que le nombre des épreuves devient plus grand. Mais pendant que ces valeurs décroissent, elles conservent entre elles certains rapports, dont la loi est ce qu'il y a de plus important dans le sujet qui nous occupe.

Le terme général du développement de (p +5-)*^, savoir :

m(rw— l)fm— 2)...(m— n + 2)(m— n+i) , , ..^

__1 . ^, .; — ^—^ !—^p»i-»»o«...(n+l/'w« terme

est précédé d'un autre qui a pour expression w(m — 4)(m — 2). . .(m — n + 2)

m — n + iqn—i,,,n^ terme.

En divisant la première de ces expressions par la seconde, on aura

pour le rapport d'un terme au précédent, valeur qui diminue à mesure que n augmente.

Mais il est clair que le terme renfermant q"^ sera supérieur, égal ou inférieur à celui qui le précède, selon

que le rapport

Dans le premier cas, on aura

dans le dernier.

q{fn-\-i)

Donc, si le second membre était un nombre entier, en le prenant pour la valeur de n, on rendrait le rapport (a) précisément égal à l'unité : il y aurait alors deux termes consécutifs égaux et plus grands que tous les autres, le n^ et le (n -\- If.

Dans le cas contraire, la plus petite valeur entière de n qui, substituée dans le rapport (a), le rendra plus petit que l'unité, correspondra au premier terme qui décroît. Il faut donc prendre pour premier terme

décroissant celui pour lequel l'exposant de q est égal au nombre entier immédiatement supérieur à l'expression fractionnaire

Le terme précédent, qui est le terme maximum, sera donc celui pour lequel l'exposant n de ^ est égal au nombre entier immédiatement inférieur à

Ainsi, n est compris entre les nombres fractionnaires

Comme nous prenons p et q pour les probabilités de deux événements contradictoires A et B, on a p -|- g = 1, et ainsi

Si le produit qm est un nombre entier, qm sera précisément le plus grand entier, n, contenu dans q [m-\-\)\ [m — n) sera donc un autre nombre entier égal kpm, et « le plus grand terme du développement « sera de la forme M p'^^ ^'"', et correspondra, par « conséquent, à la combinaison pour laquelle le rapport « du nombre des événements A au nombre des événe- « ments B est précisément le même que celui de la « probabilité de l'événement A à la probabilité de l'évé- K nement B » .

En tout cas, le plus grand nombre entier, n, contenu dans q [m -\- 1) différera de qm de moins d'une unité (puisque q est toujours une fraction); et on pourra dire qu'en général, « la combinaison la plus probable est « celle où le nombre des événements A est au nombre « des événements B dans le rapport de la probabilité « de A à celle de B. »

§ 29. — Après avoir reconnu le rang et l'expression du terme qui surpasse tous les autres, il faut encore examiner la marche de ses rapports avec ceux-ci. Pour cela faisons, dans le rapport (a), n = qm; m — n =^pm : ce rapport deviendra celui du terme maximum au terme antérieur, soit

pm-\-i q . , i

qm p mp

quantité qui approche de l'unité d'autant plus que le nombre d'épreuves, m, est plus considérable.

Dans le terme qui suit, le maximum n devient w -|- 1 ^ qm -}- 1 ; m — n devient m — n — 1 = pm — 1 , et le rapport de ce terme au terme maximum est

qm-^\ p ^ 1

mq

fraction qui tend sans cesse vers l'unité, à mesure que m augmente.

En passant ainsi à des termes distants de deux, trois ... places du terme maximum M, on reconnaîtra

sans peine que, de chaque côté de ce terme, le dëcroissement devient de moins en moins rapide à mesure qu'on fait croître le nombre f^. De là résulte l'agglomération dans le voisinage du maximum, de termes qui ont des valeurs diminuant lentement, et dont la somme doit faire la plus grosse part de la somme totale (runité) des termes du développement.

Il doit résulter de là aussi qu'à mesure qu'on s'approche des extrémités de ce développement, « on arrive « à des termes L, par exemple, dont le rapport avec M « décroît, de manière qu'on peut toujours assigner à m « une valeur assez grande pour que ce rapport devienne « aussi petit qu'on voudra. »

Voici à peu près comment Jacques BernoulU démontre cette importante proposition.

§ 30. — L'exposant de q, dans le terme maximum, doit être compris, venons-nous de voir, entre

p-hq p + q faisons m = r {p -\- q) : il viendra

Donc, le terme maximum du développement de (p | qyp+rq ggra :

M = {rp + rq){rp~^rrq-\)...{rp+\)