W r + W S"- + <li,6,v+W

' 5I 'si SI SI

et la somme des carrés des erreurs pour ce côté, sera :

Pour chacun des côtés s", s"\ s'""', on aura une somme analogue ; l'expression de la somme totale des carrés des erreurs sera par conséquent de la forme :

donc a' + (^ + ^i^ + ^ = A*fi±i:^+r^^ = ,4

si s» 5I" si^ [s]* [s]

La somme des carrés des erreurs est donc égale à :

Avec les m observations et l'équation de condition on a m -i- 1 équations pour n points à niveler, l'erreur moyenne est donc finalement :

§ 169. — Les observations conditionnelles, que nous avon^ appris à compenser (§ 143), servent en général à calculer d'autres quantités qui en sont des fonctions connues : il nous faut apprécier la précision

de ces fonctions qui ne renferment pas nécessairement toutes les observations compensées ensemble. Cette question doit être envisagée sous un point de vue tout particulier. Comme, par hypothèse, les observations sont en nombre surabondant, la quantité à calculer ne doit renfermer extérieurement, dans son expression, que les observations strictement nécessaires, et les observations surabondantes n'y apparaîtront pas : cependant, puisque la compensation a été opérée au moyen de toutes les observations, les résultats surabondants se trouvent implicitement dans la fonction.

Soit donc u la fonction à calculer, liée à un certain nombre d'observations (non à toutes) par la relation directe

On a calculé exactement

en remplaçant les V par des [o -\- œ).

Si ces V seuls avaient été observés, et s'ils étaient indépendants les uns des autres, nous n'aurions qu'à poser (§ 125)

du = V dY + l" d V" + /'" dW .... ... (s')

et, en supposant les observations également exactes, nous en déduirions immédiatement

en prenant pour unité de poids l'observation ellemême.

Mais tel n'est pas le cas. Nous ne pouvons employer

FONCTIONS d'observations CONDITIONNELLES. 541

réquation (s') que pour déduire, des variations données des V, les variations corresjpondantes de u. : elle n'est donc plus applicable ici, dans le sens du § 125, parce que lesrfVne sont plus indépendants les uns des autres, mais sont liés aux V et dV qui n'apparaissent pas dans la formule (s), et, par conséquent, liés aussi entre eux, par les équations

0 = c'dV + a"dV" + o"'dV'" + a'^dViv...

0 = b'dV + fe"dV" 4- b'"dY" -f ft'vdV'v. (s")

0 = c'dV + c"dV" 4- c"'dV'" + ci^dViv...

qui ne sont autre chose que les différentielles des équations (r) du § 143, dans lesquelles nous faisons les df= 0, puisque les équations de condition (r") sont satisfaites par la compensation que nous supposons avoir été effectuée. N'oublions pas d'ailleurs que nous ne pouvons admettre pour les dV que des valeurs qui rendent [A*] un minimum pour toutes les observations. Si donc nous voulons, de l'erreur moyenne des observations, conclure l'erreur moyenne de la quantité u, nous ne pouvons pas opérer sur les équations (s) et (s') ; nous chercherons d'abord à former une autre équation

M=r(V', V", v", yiv...) ...(s'")

qui jouisse de la double propriété : 1" de renfermer toutes les quantités observées et compensées ; 2° de donner pour u, lorsqu'on y remplace les V par les (o -]- x), la même valeur que l'équation (s).

On peut trouver un nombre infini de pareilles équations : il suffit pour cela d'ajouter à l'équation (s) les équations (r), après avoir multiplié chacune de ces der-

nières par un coefficient arbitraire, r; on obtient ainsi

Or, si l'on remplace dans cette équation les V par des (o -\- x), les derniers termes s'évanouiront d'euxmêmes , par le fait de la compensation supposée effectuée.

Nous verrons tout à l'heure comment il faut déterminer les r convenables : pour le moment, remarquons que l'équation (s'^), étant différentiée, donnera une équation de la forme générale

du = UdV + L"dV" + L'"d V" + L'vdV>v . . . , . . . (sv )

qui diffère de l'équation (s') en ce qu'elle contient tous les V. Si donc nous pouvions déterminer tous les L, le problème serait résolu, car nous aurions

e = e' 1/ÏL2]

qui nous feraient connaître l'erreur moyenne ou le poids de la fonction.

Or, en égalant (s"") à la différentielle de {s'"'), on a

Vdr + V'd\" + L'"dV'" + L'vdViv...

= df (V, V", V" ...) + r,dn + r,dU + r,df,...;

ou bien, d'après (s) et (s"),

= l'dY + l"d\" + rdV" 4- nia'dV + a"(Z V" + a'"d\'" + a'vrfViv. . .) + rJib'dY + b"d\" + b'"d\"' + b^MW^^...) + r^ic'dY + c"d\" + c'"dV'" + c^H\^. . .)

Égalant les coefficients des différents c?V, on a L' = r + o' r^ 4- fc' n -{- (f n + ...

L"'= r-\- a'"n + b'"ri + ^"'7-3 + ... •'• ^^ ^ Liv = /iv^ a^v r^ -\- b^^ 1\ + c'^ 7-3 + ... etc.

Reste à déterminer les valeurs convenables des r.

FONCTIONS d'observations CONDITIONNELLES. 543

Pour cela, nous savons que les seuls dY admissibles sont ceux qui, dans le cas particulier où dN' = — cd^ dN" = — a^' ... rendent [œ^] un minimum pour toutes les observations. Pour exprimer cette condition, nous avons donc à différentier de nouveau (s^) en regardant du comme constant, et en faisant d . dY = — dœ. Il vient ainsi

0 = Udx' + U'dx" + V'dx'" + V^dx^'' (s^n)

Comparant cette expression avec l'équation (r'") déjà satisfaite ,

0 = x'dx' + x"dx^' + x"'dx"' + x'^'dx^'' (r"')

nous en conclurons que les L jouissent de l'importante propriété d'être proportionnels aux œ; en d'autres termes, que [L'J doit aussi être un minimum. Telle est la condition qui doit nous servir à déterminer les r.

Nous emploierons à cette détermination les équations (s^'), en posant

^m 0,^fi!L 0;im-0...e.c.;

drj dri dr

et elles deviendront

[aL] = 0

[fcL] = 0 ...(s^">)

[cL] = 0 .. etc.

Substituant dans ces dernières expressions les valeurs des L, tirées de (s^'), nous obtenons en définitive, pour déterminer les r (qui sont en nombre c), les équations suivantes qui sont aussi en nombre c.

[al] 4- [aa] ''i + [a^] r^ + [«c] ?'s ... == 0 [W] + [aft] n + [W] rj 4- m ra ... == 0 [cl] + [ac] ri + [bc] r^ + [ce] rj ... = 0 ... etc.

Ces équations, que nous appellerons, avec Gerling, équations de transport [Ueherttmgungs-Gleichwigen), sont bien faciles à former; car elles ont les mêmes coefficients que les équations normales, et n'en diffèrent que par le terme constant. Ayant trouvé les valeurs numériques des r [coefficients de transport), on les transportera dans les équations (s^'), et on en déduira les valeurs des L. Il ne restera plus alors qu'à calculer

§ 170. — Comme exemple de calcul, reprenons le

triangle ABC [§ 145, 2^ exemple], et calculons le

côté A C = w, en fonction du côté connu B C = a

= 50000'", et des angles compensés. Nous avons ici

La formule (s) est maintenant

o sin o"

sin o'

D'après la remarque qui termine le paragraphe précédent, nous savons déjà que cette valeur de u est la plus exacte ({Vion puisse tirer des observations données. Pour estimer son degré de précision, calculons son erreur moyenne.

a sin o"

L'équation "^^-iîiT?"'

PRÉCISION d'un côté DE TRIANGLE COMPENSÉ. 545

étant diâférentiée, devient

du sin 1" = — u cotg o' do' + u cotg o" do". Il faut maintenant traduire en nombres cette équation différentielle : nous avons

los; -^—rr= 9,64087 ' sin 1

logcolo' =0,01392 ... log/' = 9,62479,, ... L' = — 0,421491 log cot o" = 8,02484n ... log l" = 7,63571n ... l" = — 0,004322

Comme nous n'avons ici qu'une seule équation de condition, dans laquelle a' = a" = a"' = -|- 1, il s'ensuit que [al] :=: — 0,425813. Notre équation normale du § 145 nous conduit donc à l'équation de transport

— 0,425813 + 3r, =^; d'où ri = 4- 0,141938.

Nos équations (s''') deviennent par là :

D'où [L«] = 0,117234,

par élévation au carré et addition.

Comme nous avons trouvé, dans le § 145, l'erreur

moyenne d'un angle = ± 6",93, il vient

e' = db 6,93 |/0,117234 = ±2'^,37.

Telle est l'erreur à craindre sur le calcul d'un côté : elle provient uniquement de ce que les angles employés à ce calcul sont affectés d'erreurs inévitables, et de ce que la compensation n'est pas absolument rigoureuse ; mais la base a est supposée parfaitement exacte. Nous avons ici, en petit, ce qui se passe en grand dans une

triangulation : la base, adoptée comme exacte, est transportée par le calcul sur tous les autres côtés du réseau, et on obtient pour ces côtés une précision plus ou moins grande, suivant le nombre et la qualité des angles intermédiaires ; mais si la base est affectée d'une erreur, cette erreur se transporte sur les côtés calculés, proportionnellement à leur grandeur, et s'ajoute à la première.

Voulons-nous nous convaincre, d'une manière pratique, de ce que nous avons gagné en précision par l'observation des trois angles et par la compensation? Calculons le [l^] que nous aurions dû employer, d'après le § 125, s'il n'y avait pas eu d'observations surabondantes : on a dans ce cas

[iî] = 0,477679,

d'où e' = rb 6,93 y 0,477679 = d= 2'",92.

Ainsi, la compensation des deux angles indispensables, au moyen du troisième angle surabondant, a augmenté de près de 1/5 la précision du côté calculé.

Une marche analogue à la précédente permettrait de calculer, dans le 3® exemple du § 145, le côté 4 . 5 = w, en fonction du côté 1 . 2 = 6ï, au moyen de la chaîne de triangles qui réunit ces deux côtés. L'équation (s)

serait ici

sin Oi sin 04 sin 09

sin O3 sin Og sin o^-

§ 171. — Lorsque les observations sont de diverses précisions, les formules à employer pour calculer l'er-

OBSERVATIONS d'iNÉGALE PRÉCISION. 547

reur moyenne et le poids de la fonction u seront (§125,

reste à savoir comment il faut déterminer, dans ce cas, les coefficients de transport. Or, l'équation (s^'"), qui ne change pas, doit maintenant être comparée à

0 = p'x'dx' + p"x"dx" + j)"'x"'dxi" ... ; d'où il résulte que les L doivent être proportionnels aux px, les 1} aux p^x*, et les ■- aux pa^. Ceci nous montre que les r doivent maintenant être déterminés de manière que |— I soit un minimum : on en conclut facilement que les équations (s'''") doivent être remplacées par

Transportant dans ces équations les valeurs des L, tirées des équations (s"'') non modifiées, nous trouvons, pour les nouvelles équations de transport,

gl + [7]"' + [7]-'+[7]^=+-»--

Reste à éliminer les r et à les substituer dans (s"") . On voit qu'il n'y a rien de changé à la marche tracée dans le § 169, sauf l'introduction du diviseur^.