POIDS DE LA DÉTERMINATION

Il y a quelque chose de forcément arbitraire dans la fixation du poids d'une série d'observations, faites dans le but de déterminer la valeur de A, par des distances zénithales.

Si k, en effet, était une grandeur constante, dont l'erreur ne pût dépendre que des erreurs d'observation dz, l'erreur probable d'une détermination fondée sur un nombre a d'observations serait (§ 125)

et l'erreur probable déduite de a observations faites à une station, et de b observations faites à la station réciproque, serait

Le poids correspondant serait donc p 1 «^ s^ ^"^

D'ailleurs, comme les poids sont simplement des quantités relatives, on p prendre pour poids

tités relatives, on peut supprimer la constante — — , et

ab

Mais, d'un autre côté, si l'inconstance de k était la seule cause d'incertitude, le poids P serait indépendant

de la distance, et on aurait - proportionnel à - -f -, ou

bien

« Il n'est pas douteux, dit Bessel, que l'incertitude « provenant de l'inconstance de k ne soit plus à craindre u que les erreurs commises dans la mesure des distances . zénithales ; ainsi, pour avoir égard à la fois aux deux « causes d'erreurs, nous admettrons

ahi/s a-\-b

Dans le cas où les observations sont réciproques et simultanées, on a nécessairement a = 6 ; le poids d une série est donc alors

c 168 — L'opinion de Bessel est aujourd'hui bien établie par l'expérience, et le nivellement trigonométrique, reconnu peu exact par suite de cette incertitude des réfractions, ne s'emploie plus que dans des circonstances exceptionnelles, quand le nivellement topographinue (ou géométrique) est absolument impraticable L serait trop long; il n'en a pas été fait usage en Belgique, et en Suisse, en France, etc., on a repris, à l'aide des niveaux, la détermination des cotes faite premièrement avec le théodolite.

L'Association internationale de géodésie, ne considérant que le nivellement géométrique, a décide, dans la Conférence de Berlin en 1864. que l'erreur moyenne ne pouvait dépasser 3"™ par kilomètre, avec une tolérance jusque 5- pour les cas les plus défavorables. Il résulte de cette donnée que l'erreur moyenne d un nivellement étendu sur m kilomètres a pour limite

ERREUR MOYENNE d'uN NIVELLEMENT GÉOMÉTRIQUE. 537

0'°,003 y^. Le même chiffre s'appliquerait naturellement aux opérations avec le théodolite, qui se font généralement à de grandes distances; mais, comme nous l'avons dit, l'incertitude des réfractions le rend dans ce cas presque illusoire.

Dans la pratique du nivellement topographique, on • mesure deux fois chaque différence de niveau partielle : ' de l'avant à l'arrière et de l'arrière à l'avant. La moyenne des deux différences obtenues donne la valeur cherchée; l'erreur de chacune des deux déterminations est donc supposée la même, mais leur signe est inverse.

La somme des carrés des erreurs a par suite la

forme :

et l'erreur moyenne d'une observation est :

yX 2 [8^] iX^m^

D'ailleurs, comme chaque différence de niveau est la moyenne entre deux observations, son erreur moyenne est : y—-

Ej.

Si le nombre n de points nivelés correspond à une longueur de k kilomètres, on doit avoir, d'après ce qui précède :

O'n.OOS [/ïî limite de t^^fs*] ou t^ [/H.

Le poids du résultat d'un nivellement opéré par l'intermédiaire de n différences de niveau partielles, est. en prenant le poids d'une différence pour unité, - , c'est-

à-dire qu'il est inversement proportionnel au nombre d'observations; et, comme normalement ce nombre dépend de la distance entre les deux points à niveler, on peut dire que le poids du nivellement est inversement proportionnel à la longueur de la ligne nivelée. La compensation d'un nivellement géométrique se fait comme celle d'un nivellement trigonométrique. Si l'on suppose, par exemple, un quadrilatère dont on ait mesuré les différences de niveau h^, k^, ^3, h^ d'un sommet au suivant, on aura comme équation de condition :

Soient 5', 5", s'", 5'^ les longueurs des côtés ; nous prendrons pour poids des nivellements

Les équations corrélatives seront :

c'est-à-dire que les corrections à faire sont en raison directe de la longueur des côtés. Soit [h\ = A, on aura : '

ci oii «m 5IV

Cherchons maintenant Terreur moyenne du nivellement après la compensation faite. Si l'on suppose que d, d' , d"... représentaient les erreurs du nivellement

COiMPENSATION d'uN NIVELLEMENT GÉOMÉTRIQUE. 539

pour les différents kilomètres du côté s^ par exemple, après la compensation, ces erreurs deviendront :