DÉTERMINATION DES INDICES DE PRÉCISION

« croyons-nous , que la stricte • observance de cette « règle qui puisse bannir tout arbitraire de nos cal- « culs. D'ailleurs, si les observations faites par des « circonstances très-favorables présentent souvent un « remarquable accord, il arrive aussi parfois que cet « accord n'est pas plus grand que pour le cas de cir- « constances défavorables. 11 semble que le temps plus « long que l'on emploie, et que l'on doit employer aux « observations dans ce dernier cas, compense en grande « partie les influences extérieures ; et que souvent cer- « taines causes d'erreur, dont l'observateur ne se doute « pas, n'ont pas moins d'action que celles qui se mani- « festent ouvertement à lui. »

Quand on n'est pas libre de choisir les circonstances, comme cela arrive dans la plupart des observations astronomiques, il vaudra mieux, dans les modifications à apporter aux grandeurs /^, faire trop peu que trop. Si l'on ne juge pas certaines observations assez douteuses pour devoir être rejetées, il ne faut pas leur accorder des poids tellement faibles, qu'elles soient pour ainsi dire annulées par le fait. En ne laissant ainsi varier les h que dans d'étroites limites, on aura du moins l'avantage de n'altérer sensiblement ni les observations ni les conséquences qu'on en tire ; car, il faut le dire, cette altération se fait rarement avec une entière bonne foi; et l'on ne saurait trop se défier de la tendance ordinaire, et pour ainsi dire instinctive, qui entraine l'observateur et le calculateur vers les résultats qui paraissent leur offrir le plus de concordance.

THÉORIR DES PROBABILITÉS.

Le calcul des coefficients sommatoires [aa], [bb]... [ab], [ac], etc., est une opération très- laborieuse, qui exige beaucoup d'ordre. Voici la marche que Encke recommande pour cette partie du travail.

On commence par remplir le tableau suivant.

Valeurs de n

logn

log n'

logn"

logji'"

log «1^

Coeff. de a; ... a

log a

log a'

log a"

log a'"

log aïv

Cocff. dey ...b

logfc

logft'

log fc"

logé'"

log fc'v

Coeff. dez ... c

loge

log c'

log c"

log c"'

log c'v

Cocff. de i; . . . d

logd

logd'

logd"

log d'"

log d'v

Somme des coeff. ...s

log 5

log 5'

log 5"

log /"

log «iv

Puis, sur le bord inférieur d'une feuille de papier, on inscritles log w, logn'.., log n'^, de manière qu'ils puissent correspondre aux colonnes du tableau, log n au-dessus de logn; log n' au-dessus de log n' etc. Additionnant les deux logarithmes qui se correspondent verticalement, on aura log n'n' ;... log w'V.

On glisse ensuite le papier une ligne plus bas, log n du papier au-dessus de log a du tableau ; log n' audessus de log a' .... On obtient ainsi log anj log a'n' ;..^ log a'W. En continuant de même jusqu'à log dn ; log d'r^... on aura épuisé toutes les multiplications par n.

On inscrit ensuite sur le bord inférieur d'une feuille

de papier les log a, log a' ... log a^^\ on commence par placer cette feuille au-dessus de la ligne du tableau qui renferme les log a; on additionne, et on a les log aa ; puis, baissant successivement le papier, on va jusqu'aux log ad, ce qui termine les multiplications para. On continue ainsi jusqu'à la dernière ligne, qui donne les log dd.

Passant aux nombres, et additionnant ceux qui correspondent à une même position du papier mobile, on trouve les quantités que nous avons représentées par [nn\, [an], [bn\, [aa] jusqu'à [dd].

Faisons ici quelques remarques pratiques.

Lorsqu'on doit ajouter ou soustraire deux logarithmes, il est avantageux de faire l'opération de gauche à droite, et non de droite à gauche, comme on la fait ordinairement. De cette manière on obtient en premier lieu les chiffres les plus importants, et on écrit le nombre plus vite et plus régulièrement. Quant aux reports, un peu d'habitude permet d'en tenir compte à vue, tant qu'on n'opère que sur deux logarithmes.

Pour les signes des quantités, dans le calcul logarithmique, la meilleure méthode, employée par les calculateurs allemands et anglais, consiste à placer un petit n à droite du logarithme d'un nombre négatif. Un iiom\)TQ pair de n se détruisent dans la combinaison des logarithmes ; un nombre impair laissent subsister le n au résultat.

Le calcul des coefficients sommatoires, servant de base au reste de l'opération, a besoin d'une preuve facile et exacte. Dans ce but, on fera, pour chaque

équation, la somme algébrique de tous les coefficients

des inconnues.

a-\-b-\-c-{-d... =s ■ a'+b'-\-c' + d' ... =*'... etc.;

et on traitera les s comme les coefficients d'une cinquième inconnue (puisque nous raisonnons dans l'hypothèse de quatre inconnues, pour fixer le discours). Les plaçant à la dernière ligne du tableau précédent, on formera les nombres

S7i = an -\-bn -\- en -\- dn ... s'il' = a'n' + b'n' -f- c'n' -f d'n' ... etc-. ;

de sorte que

[sti] = [an] + \pn\ + [cw] -f- [<^«] [as] = [aa] -\- [afe] -j- [ac] + [«<i] [bs] = [aft] + m + Ibc-} + [bd] M = [oc-] + m + [ce-] + M [ds-] = [ad] + [M] + [cd] + [drf].

De cette manière, par la formation de cinq nouvelles sommes, on vérifie toutes les autres, à l'exception de [wn]; et cela, d'autant plus sûrement que la plupart d'entre elles se présentent deux fois, dans deux différentes sommations.

Apprécions enfin la longueur du travail qu'entraîne le calcul des coefficients sommatoires, dans le cas de m inconnues. Le nombre de ces coefficients est égal au nombre de combinaisons deux à deux de (m -f- 1) éléments (avec répétition) = -*(m -}- 1 ) (m -\- 2). S'il y

a X équations, chacun de ces coefficients renfermera

"k termes, de sorte qu'il faut faire - X (m -f- 1) (m -j- 2)

carrés ou produits, et les réunir en - (m -^ l) {m -{- 2) sommes.

Les coefficients primitifs <z, h, c... n; a', h\ c',... n'... peuvent être donnés directement, ou par leurs logarithmes. Dans le premier cas, on doit d'abord

chercher leurs logarithmes , et ensuite -"k [m -\- \)

(m -j- 2) nombres correspondants : on doit, par conséquent, ouvrir les tables un nombre de fois représenté par(m4-l)X-f iX(m + 1) (m + 2) = i-X (m + 1)

(m -f- 4). Dans le second cas, on est dispensé de la première partie du travail, et l'on ne doit ouvrir les tables

que -"k [m -{- \] [m -\- %) fois.

Pour procéder à Yélimination des inconnues entre les équations du minimum (équations normales), et pour calculer les poids, on doit former, avons-nous vu, les coefficients auxiliaires de Gauss, depuis [bb. 1] jusqu'à [dd. 3]- " En considérant leur forme, dit Encke, « on reconnaît facilement une loi simple, d'après « laquelle ces coefficients dérivent les uns des autres. « Tous ceux qui renferment dans la parenthèse le « chiffre 1 et la lettre b, sont formés par la différence « entre la parenthèse renfermant les mêmes lettres « sans chiffre, et un produit dont l'un des facteurs,

« —, est le même pour tous, tandis que l'autre facaa

« teur présente les combinaisons successives de la « lettre a avec toutes les autres lettres. — Une règle « analogue a lieu pour les lettres c, d,...

« Les coefficients qui renferment dans la parenthèse

rJ>

« le chiffre 2 se forment de la même manière, par le « moyen de ceux qui sont affectés du chiffre 1 . »

La disposition suivante se comprendra donc d'ellemême. On écrit d'abord sur une ligne horizontale les

quantités

[aa] [ab] [oc] [ad] ... [...] [as] [an],

et au-dessous leurs logarithmes.

Sous ces logarithmes, à partir du second, on place

les quantités

[bb] [bc] [bd] ... [...] [bs] [bn].

On prend alors le logarithme de i^, et on l'ajoute successivement aux logarithmes de [ab] , [ac] . . . [an] , c'està-dire à tous les logarithmes qui sont à droite du numérateur de cette fraction, y compris le numérateur même. On place le nombre correspondant à la somme de ces deux logarithmes sous la quantité qui lui correspond verticalement; en d'autres termes, on place le produit

^ [ab] sous [bb] [aa]

[ab]

^—4: [ac] sous [bc] ■ ■ [aa]

z.—i [ofTl sous [bd] ... etc.

[aa] L J "- j

On retranche ces deux nombres l'un de l'autre et on obtient les quantités

[bb . 1]; [bc . i]; [bd . 1]; ... [bs . 1]; [bn . 1],

sous chacune desquelles on inscrit son logarithme. On traite ensuite de la même manière les quantités

[ce] [cd] ... [...] [es] [C7i];

c'est-à-dire qu'on place le produit

j^-=L [ac] sous [ce] [aa]

[ac] „ ^ „ ~-é, [ad] sous [cd] lad]

M r n ri

^— ^ [as] sous [es]

[ad] •- J i- J

[oc] r T r n

^—4, [an] sous [en], [aa] -■ *■ -*

Puis, par une simple soustraction, on obtient les produits

[ce. 1]; [cd. 1]; [es . 1]; [c7i . 1];

et ainsi de suite.

Ici encore, le calcul se vérifie au moyen de la quantité s. En efiet, comme

[as] = [aa] -f [ab] + [ac] -f [ad] et que [bs] = [ab] + [bb] + [bc] + [ftd] ; on a

= [W.l] + [fcc.4]-|-[M.ll ...

L'analogie suffit pour montrer comment on calculerait les parenthèses renfermant les chiffres 2, 3... etc.