LA THÉORIE DES ERREURS
1) La probabilité mathématique d'un événement est représentée par une fraction dont le numérateur est le nombre de cas ou de chances favorables à l'événement, et dont le dénominateur est le nombre de toutes les chances. — Celles-ci sont supposées également possibles.
2) La certitude est représentée par Vunité.
3) La somme de la probabilité d'un événement et de sa probabilité contraire est égaie à l'unité.
4) La probabilité ne varie pas lorsque, le nombre des chances variant, leur rapport reste le même.
5) Le nombre de combinaisons distinctes qu'on peut
former avec m éléments pris n à n est
m Ln = ;; ;; — ^ ^ *
Le nombre d'arrangements est
Le nombre de permutations de n éléments est
An = 1 . 2 . 3 ...n.
Remarque. — Les combinaisons de (m -|- n) éléments m km OMU k n sont en même nombre.
6) Le nombre à' arrangements avec répétition de m éléments pris « à n est
m AAn = m^ .
Le nombre des combinaisons avec répétition est
mCCn
Remarque. Les combinaisons avec répétition de m éléments n à n, et de (n-\-\) éléments (m — 1) à (m — 1), sont en même nombre.
7) La probabilité d'un événement qui peut arriver dans diverses hypothèses est la somme des probabilités prises par rapport à chaque hypothèse.
8) La probabilité relative d'un événement est le quotient qu'on obtient, en divisant la probabilité absolue de cet événement par la somme des probabilités absolues des événements que l'on compare.
9) La probabilité composée est le produit des probabilités simples. Ces dernières sont absolues, si les événements simples sont indépendants les uns des autres ; relatives, si l'un quelconque des événements dépend de l'arrivée des autres.
10) Soient A et B deux événements simples ayant respectivement p oi q pour probabilités. Dans le développement du binôme (p -f- ?)*", chaque terme exprime la probabilité d'un événement composé de A, répété autant de fois que le marque l'exposant de la lettre p.
et de B, répété autant de fois que le marque l'exposant de la lettre q.
La somme des termes du développement, depuis le premier jusqu'au terme général inclusivement, exprime donc la probabilité que, sur m épreuves, l'événement A n'arrivera 'pas moins de [m — n) fois (arrivera (m — n) fois, ou plus); ou, ce qui revient au même, la probabilité que l'événement contraire, B, n'arrivera pas plus de n fois (arrivera n fois ou moins).
11) Le pliLS grand terme du développement de (V-\-<ir 6St de la forme M jo*"^ g*"', et correspond par conséquent à la combinaison pour laquelle le rapport du nombre des événements A, au nombre des événements contradictoires B, est précisément le même que celui de la probabilité de l'événement A à la probabilité de l'événement B.
Il en résulte que l'événement composé le plus probable est celui dans lequel le nombre des événements simples A est au nombre des événements simples B, dans le rapport de la probabilité de A à celle de B.
12) A mesure qu'on s'approche des extrémités du développement de (p -j- qf, on arrive à des termes dont le rapport avec le terme maximum décroît; de manière qu'on peut toujours assigner à m une valeur assez grande pour que ce rapport devienne aussi petit qu'on voudra.
13) D'où il résulte qu'on peut toujours assigner un nombre d'épreuves tel, qu'il donne une probabilité aussi approchante de la certitude qu'on le voudra, que le rapport du nombre de répétitions du même événement, au
nombre total des épreuves, ne s e'cartera pas de la probabilité simple de cet événement, au delà de certaines limites données, quelque resserrées qu'on suppose ces limites.
14) Dans tout jeu équitable, les enjeux des joueurs doivent être proportionnels aux nombres de chances qu'ils ont en leur faveur.
15) La mise de chaque joueur doit être égale à Y espérance mathématique qu'il a sur le fonds du jeu. — L'espérance mathématique est le produit qu'on obtient en multipliant la valeur d'une chose, en unités monétaires, par la frafction qui exprime la probabilité mathématique du gain de cette chose.
Ï6) Lorsque l'on rompt une partie avant qu'elle ne soit terminée , les joueurs doivent se partager le fonds du jeu dans la proportion des probabilités de gain qu'ils ont en leur faveur, à l'instant où la partie est rompue.
17) Lorsque les mises de deux joueurs sont proportionnelles à leurs chances de gain, l'événement le plus probable, après un certain nombre de parties, est qu'aucun des deux n'ait perdu ni gagné. — Il s'ensuit qu'en multipliant suffisamment le nombre des parties, la perte ou le gain de chaque joueur pourra être représenté par une fraction aussi petite qu'on voudra de sa mise totale.
18) Mais il y aura une probabilité qui variera peu que la perte ou le gain surpassera une somme donnée, quelque considérable que soit cette somme.
19) Quelque petite qu'on suppose la différence entre les espérances mathématiques des deux joueurs, on
pourra toujours, en multipliant suffisamment le nombre des épreuves , obtenir telle probabilité qu'on le voudra que le joueur favorisé sera en gain et l'autre en perte.
20) Le jeu le plus égal entraîne toujours une perte absolue d'aisance.
21) Buffon prend pour mesure de l'importance morale d'une somme ajoutée à un bien quelconque, le rapport de l'une à l'autre.
22) D. BernouUi pose en principe que la valeur morale, dy, d'un accroissement, dx, du capital œ, est directement proportionnelle à cet accroissement , et inversement proportionnelle à la valeuî* absolue du bien physique de son possesseur. On a donc dy = — ; d'où
y =k\ogx-{- log h,
en représentant par k et log h deux constantes arbitraires.
23) La fortune morale éventuelle correspondant à un bien physique, A, susceptible de recevoir des variations a, a' y a'. . . dont les probabilités sont jo, y , p".. . est
Y = pk log (A + o) + p'k log (A + a') + ... + log h.
24) La fortune physique éventuelle correspondant au bien physique A, sera
X = (A + a)» . (A + aY . (A + a")»" ...
On n'oubliera pas que p -\-p'-\-p" + •••• = 1 ; et que, parmi les variations a, a', a"..., il peut y en avoir de positives, de négatives ou de nulles.
La dififérence X — A est Yespérance morale : sa valeur se confond avec celle de l'espérance mathéma-
tique^ lorsque la fortune A peut être considérée comme infiniment grande en présence des pertes ou des gains éventuels a, a' , a" ...
25) Les probabilités des causes (ou des hypothèses) sont proportiomielles aux probabilités que ces causes donnent pour les événements observés. La probabilité de l'une de ces causes ou hypothèses est une fraction qui a pour numérateur la probabilité de l'événement par suite de cette cause, et pour dénominateur la somme de toutes les probabilités semblables, relatives à toutes les causes ou hypothèses.
26) La probabilité d'un nouvel événement simple s'obtient en calculant, d'après les événements passés, la probabilité des diverses hypothèses possibles, et faisant la somme des produits de ces probabilités par celles de l'événement prises dans chaque hypothèse.
27) Soient A et B deux événements contradictoires, dont l'un a été observé m fois et l'autre n fois. La probabilité des hypothèses attribuant à A la probabilité x sera
a;"* (i — xY ^ ^ [x'^ {\ — x)nY
pour le cas de la discontinuité, et •
x'^^dx (i — x)n dx
x»^dx{i—x)^dx
pour le cas de la continuité.
On peut aussi dire que la probabilité de l'hypothèse est égale au rapport de la probabilité particulière de
l'événement, à sa probabilité moyenne, prise dans toutes les hypothèses possibles.
28) La probabilité de l'arrivée d'un nouvel événement
A est —P^-^
et celle de l'arrivée d'un nouvel événement B,
Si l'événement A a été observé m fois de suite, la probabilité qu'il se reproduise encore une fois sera ^^^^- et en général, la probabilité qu'il se reproduise encore p fois de suite sera -j---p^ •
29) La plus probable de toutes les hypothèses est celle où les probabilités simples des événements A et B sont égales au rapport du nombre de fois que chacun des événements estarrivé,aunombretotald'événements.
Elle peut être regardée comme s'approchant sans cesse de la véritable probabilité, à mesure que le nombre des observations (événements) devient plus considérable. .
30) Quand un événement a été observé m fois sans mterruption, la probabilité qu'il existe une cause facilitant sa reproduction est -^m+i "*
31) On regarde la moyenne de plusieurs quantités qui représentent des phénomènes ou des objets de même nature, comme exprimant le mieux ce phénomène quant à ce qu'il renferme de commun à tous ceux considérés, ou cet objet défini par les propriétés communes à tous ceux que l'on compare ensemble.
Si l'objet est une variable x dont les valeurs sont inégalement probables , la moyenne se formera en multipliant chaque valeur particulière par sa probabilité,?/, et en divisant la somme des produits par la somme des probabilités.
Si X varie d'une manière continue, l'expression de la moyenne sera
b X . y dx
y dx a
32) On admet que la moyenne arithmétique d'une série de valeurs observées pour une même quantité, exprime la valeur la plus probable de cette quantité, pour les conditions d'observation.
33) Si l'on admet en outre que la probabilité d'une erreur accidentelle est une fonction analytique de sa grandeur (absolue), qui diminue rapidement à mesure que Terreur augmente, l'expression
— -e~f^ ^ dx
(/tt
représente la probabilité que l'erreur soit comprise entre œ et œ -\- dx.
h est ce qu'on nomme Vindice de précision ; la probabilité pour une même erreur œ croît ou décroît avec lui.
On entend par courbe de probabilité des erreurs, la courbe dont l'équation est :
34) La probabilité que l'erreur ne dépasse pas la limite a, est la quantité finie
ou
I/'kJ-u
— - I e-i^ «^ dx.
35) Si l'on fait hx = t, il vient
•ah ^ - I e— '
P=-^ ^i dt.
qui exprime la probabilité qu'une erreur, t, tombe entre les limites 0 et ±iah.
36) Dans deux espèces d'observations :
1° Les erreurs qui ont des probabilités égales varient en"raison inverse de la précision des observations ;
2° Les liinites d'erreurs qui ont des probabilités égales varient aussi en raison inverse de la précision des observations.
. Autrement dit : lorsqu'une urne contient des boules blân'cnes et des boules noires en nombre égal :
1° Les écarts relatifs également probables varient en raison inverse de la racine carrée du nombre de boules qui entrent dans les tirages ;
2° Les limites relatives^ qui correspondent à des probabilités égales, varient dans le même rapport.
37) Pour deux genres d'observations, les mesures de précision sont inversement proportionnelles aux erreurs également probables.
