DES LOIS DE LA PROBABILITÉ MATHÉMATIQUE

qu'on voudra. La courbe de possibilité aura donc une forme telle, que la somme des ordonnées entre I' i et L' l! soit devenue une plus grande partie de la somme totale prise de A à B ; et même, quelqu'étroites qu'on suppose les limites K' I' etK' L', on pourra toujours, en prenant a suffisamment grand (§ 32), faire en sorte que la somme partielle diffère aussi peu qu'on voudra de la somme totale, les branches i ol et t b' s'abaissant indéfiniment.

§ 34. — Un cas très-important à considérer à cause des applications nombreuses qu'il présente, est celui où les probabilités p ei q sont égales. Il est facile de voir que la courbe de possibilité présente alors une forme si/mé/riqiie à droite et à gauche de l'ordonnée maximum, laquelle passe par le point milieu de l'axe des abscisses ; les propriétés de cette courbe méritent en outre d'être envisagées de plus près.

Il arrive fréquemment dans la pratique qu'un événement composé est la résultante d'un grand nombre d'événements simples d'importance uniforme, et dont la probabilité égale 1/2 ou, du moins, dont nous devons prendre la probabilité égale à 1/2, vu l'état d'ignorance ou d'incertitude absolue où nous sommes sur les conditions de production de ces événements" simples. Par exemple, supposons deux joueurs qui entament une longue série de parties; leurs mises sont égales, ce qui implique qu'ils ont chacun la probabilité 1/2 de gagner; admettons en outre que ces mises soient constantes ; l'évaluation de la probabilité pour l'une ou

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l'autre joueur de gagner finalement une somme égale à un certain nombre, c, de fois la mise, sera évidemment

représentée par le terme du développement de |- 4--]'"

dans lequel la différence des exposants de - est c,

m étant le nombre de parties jouées. Par rapport à la courbe de possibilité, ce terme est l'ordonnée du point dont l'abscisse diffère de celle de l'ordonnée moyenne,

de±|.

Dans l'hypothèse p = q^=-, l'équation de la courbe de possibilité devient :

n, qui indique le rang du terme dans le développement, étant la variable. Le facteur [-]'" existe dans chaque

terme ; on peut donc en faire abstraction dans la représentation graphique de la marche des valeurs des différents termes, c'est-à-dire dans le tracé de la courbe de possibilité ; mais il ne faudrait pas perdre de vue que, pour exprimer la probabilité d'une valeur particulière de n, on doit multiplier l'ordonnée correspondante par j-j , fraction d'autant plus faible que 7n est

plus considérable.

D'après le théorème de Bernoulli, quand m est trèsgrand, la majeure partie de la somme des probabilités se trouve dans le voisinage de la probabilité maximum, pour laquelle n = -. On peut donc, dans l'équation de la courbe de possibilité, considérer en général n

DE LA RÉPjiTITION DES ÉVÉNEMENTS. 95

aussi comme très-grand, sauf à n'avoir pas égard aux branches de la courbe éloignées de l'ordonnée maximum.

Si l'on fait abstraction du facteur 1^^ l'équation (1)

devient

c'est-à-dire qu'elle représente la suite des nombres de combinaisons qu'on peut former avec m éléments pris successivement 1 à 1, 2 à 2. .. m à m. Or, l'expression

mC = ^-— ! — '-

est formée au numérateur et au dénominateur du produit d'une suite de nombres entiers consécutifs. Les produits de l'espèce s'évaluent au moyen d'une formule de Stirling qui, si le nombre extrême est considérable, se réduit à :

1.2.3.4. ..(?H — 'l)m = ^27rm ^^e =m\ Pour appliquer cette formule à l'expression de mC^, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le produit