CHAPITRE QUATRIÈME

DE LA VALEUR VÉNALE DES CHANCES OU DES PROBABI- LITÉS. — DU MARCHÉ ALÉATOIRE ET DU JEU EN GÉNÉRAL.

§ 40. — La valeur absolue des chances, telle que nous l'avons considérée jusqu'ici, doit souvent être associée à leur valeur vénale, c'est-à-dire au prix ou à l'importance des objets sur lesquels ces chances donnent des droits éventuels. Ce nouveau point de vue nous amène à la considération de Y Espérance inathématique : par cette alliance de mots assez bizarre, on est convenu d'exprimer « le produit qu'on obtient en « multipliant la valeur d'une chose, en unités corres- « pondantes, par la fraction qui exprime la probabi- « lité mathématique du gain de cette chose. » D. Bernoulli l'appelle sors ou lucrum, et les Allemands die Ericartutig.

Soit a le gain attendu et p sa probabilité ; l'espérance mathématique sera p X a, quantité qui représente la valeur actuelle du gain éventuel. Cette proposition peut être admise comme évidente par elle-même ; il est d'ailleurs à remarquer que si l'on faisait un grand nombre d'épreuves, m, de l'événement aléatoire, la

valeur moyenne du gain le plus probable réparti sur chacune des épreuves serait précisément égale à l'espérance mathématique. En effet, en m épreuves, l'événement composé le plus probable comprendra mp fois Tévénement simple qui fait gagner, le gain sera donc mp X <^ et la moyenne de mp X « divisé par le nombre d'épreuves est bien p X «, ou l'espérance mathématique. Mais on sait, d'après le théorème de Bernoulli, qu'on peut augmenter indéfiniment la probabilité que p représentera à très-peu près le rapport du nombre de répétitions de l'événement favorable au nombre total des épreuves ; par conséquent l'espérance mathématique représente presque avec certitude une approximation indéfiniment grande du gain moyen d'une épreuve, la moyenne étant prise sur le nombre le plus étendu possible d'épreuves. Nous aurons à revenir, d'une manière générale, sur la considération de la moyenne ; dans le cas présent, il est évident qu'elle donne la valeur la plus équitable du gain éventuel.

De ces considérations sur l'espérance mathématique résulte immédiatement la règle qui doit servir de base aux paris et aux jeux de hasard ; cette règle est que « les joueurs doivent toujours, au début, avoir la môme espérance mathématique ». Si deux parieurs, ayant respectivement en leur faveur les probabilités p et q, exposent les enjeux P, Q, il faut donc, pour que le pari soit équitable, qu'on ait :

DE l'espérance mathématique. 113

c'est-à-dire que « les enjeux doivent être proportionnels à la chance qu'on a de gagner » .

Ainsi, celui qui dans le jet d'un dé à six faces, parierait d'amener une face désignée, ne devrait engager que la cinquième partie de ce qu'y mettrait son adversaire, puisqu'il n'aurait en sa faveur qu'une chance, tandis que celui-ci en aurait cinq.

De la proportion précédente, on déduit :

d'où

on aurait de même

U^lP + Q)-/; (3)

c'est-à-dire que « la mise de chaque joueur doit être « égale à l'espérance mathématique qu'il a sur le fonds « du jeu ».

Enfin, si l'on met l'équation (1) sous la forme

pQ — qP = o... (4)

et qu'on regarde les pertes comme des sommes négatives, le produit ( — q P) de la somme ( — P) par la probabilité, q, du gain du second joueur, pourra entrer dans l'évaluation de l'espérance mathématique du premier, laquelle « se formera alors en multipliant le profit « ou la perte que lui apporte chacun des événements « possibles, par la probabilité de cet événement, et « donnant aux pertes le signe moins. »

C'est en appliquant la règle des jeux ou paris qu'on reconnaît les avantages réservés à la Banque dans la Loterie royale de Finance, dont il a été parlé § 14, page 40. Le joueur qui prenait un numéro n'avait pour

lui qu'une probabilité de gagner égale à — ; celle de la

Banque était, au contraire, de — . Quand le joueur ou

le ponte gagnait, il aurait dû, par conséquent, recevoir comme gain 89 fois sa mise ; or il ne recevait en tout que 70 fois celle-ci , soit un gain réel de 69 mises ; le bénéfice de la Banque, c'est-à-dire l'espérance mathématique résultant pour elle du jeu, équivalait donc aux 20 mises, différence entre 89 et 69, multipliées par la probabilité — du tirage qui faisait gagner le ponte.

Pour Yamhe, les probabilités respectives de gain du

loueur et de la Banque étaient -^ et ^^, et cepen-

dant le premier ne recevait que 270 fois sa mise quand ses deux numéros se trouvaient compris dans les cinq numéros tirés. Le bénéfice de la Banque était donc représenté par la fraction

(399,5 -«)Xjl2-|

de chaque mise.

Son avantage était plus considérable encore pour le terne, le quaterne et le quine, qui rapportaient respectivement 5,500, 75,000 et 1,000,000 de fois la mise; le bénéfice s'élevait, en effet, alors à 1^, ^ et:^ de

267 256 439 chaque mise. Au point de vue mathématique, on peut

donc appliquer à la loterie ce que Buffon dit des jeux

publics en général : « Le Banquier n'est qu'un fripon

avoué et le ponte une dupe, dont on est convenu de ne

pas se moquera »

* De crainte des coups malheureux, la Banque n'admettait pas le jeu sur le gwMte, et la mise sur le quaterne était limitée à 42 francs. La

§ 41. — Une fois la partie entamée, les joueurs peuvent désirer la cesser avant qu'elle soit terminée ; alors ils ne doivent pas, en bonne justice, retirer chacun son enjeu, mais " se partager la somme des enjeux « dans la proportion des probabilités de gain qu'ils ont « en leur faveur à l'instant où la partie est rompue »» . D'ailleurs, c'est une convention généralement admise dans tous les jeux, que le joueur perd la proptnélé de l'argent qu'il dépose, mais qu'il acquiert en revanche, sur le fonds du jeu, un droit proportionnel à la probabilité qu'il a de gagner ce fonds.

La règle de l'espérance mathématique, qu'on suit encore dans ce cas, prend ici le nom de règle des pa7His (compositio sortis (ou) aleae ^) : c'est à son occasion que Pascal entreprit les premières recherches sur la probabilité mathématique, et ce grand penseur ne songeait nullement aux applications immenses que sa Géométrie du hasai-'d^ comportait dans toutes les branches des connaissances humaines. Fermât, Huygens, Leibnitz, qui s'occupèrent du calcul des combinaisons et des chances en même temps que Pascal, ou quelques années après lui , n'avaient également en vue que la règle des partis.

§ 42. — Comme exemple de la règle des partis

Loterie, supprimée en 1793, fut rétablie en 1797 et définitivement abolie en 1839.

* Compositio alèse in ludis ipsi subjectis quod gallico nostro idiomate dicitur « faire les partis des jeux. » {Œuvres de Pascal, t. IV.)

' Stupendum hune titulum jure sibi arrogat « aleae geometria. » — {Ihid.)

combinée avec la règle des paris, supposons qu'une

personne parie d'amener deux fois le point 6 dans deux

jets consécutifs d'un dé à six faces : la probabilité de

cet événement étant seulement — . et celle de l'événe-

ment contraire —, cette personne ne doit mettre au jeu

que 1 fr. et son adversaire 35. Admettons que, le premier jet ayant eu lieu, le point désigné ait paru, et qu'alors les joueurs veuillent se séparer; celui qui a parié d'amener le point désigné aurait encore, au second jet, une chance pour lui et seulement cinq contre lui : son espérance est donc différente de ce qu'elle était avant le premier jet. Dans ce cas, la mise totale étant considérée comme appartenant au jeu, toutes les chances également ' possibles ont un droit égal au partage de cette somme, et celui qui réunit plusieurs chances doit avoir les parts correspondantes ; ainsi le premier joueur prendra le sixième de la mise

totale, ou 6 fr. . et son adversaire les -, ou 30 fr.

Deuxiè?ne exemple. Deux joueurs ont formé un fonds destiné à celui qui aura le plus tôt gagné trois parties : ils se séparent lorsque le premier en a gagné deux et le second une. On demande la part que chacun doit avoir sur le fonds du jeu, en supposajit que la probabilité de gagner isolément une partie soit - pour chaque joueur.

En examinant ce qui arriverait si le jeu était conti-

nué, on trouvera facilement pour réponse - et -.

Cette question est une de celles qui avaient été pro-

posées à Pascal par le chevalier de Méré. Il la résolut par un raisonnement très-simple, en se bornant à chercher ce qui arriverait si la 4^ partie était jouée. Fermât y appliqua d'abord la méthode des combinaisons, puis celle des probabilités composées.

Troisième exemple. Deux personnes jouent en rabattant, c'est-à-dire que la partie doit se terminer aussitôt que l'un des deux joueurs a fait n points de plus que l'autre. Ici, la séparation des joueurs avant la décision du sort, est quelquefois nécessaire, car la partie peut se continuer indéfiniment. Pour simplifier les calculs, supposons n == 2 ; le premier joueur ayant gagné un point, propose d'arrêter la partie : comment les enjeux doivent-ils se répartir?

On trouve, comme dans l'exemple précédent, - et -.

Quatrième exemple. Trois joueurs , jouant à qui aura le premier gagné trois points, se séparent sans terminer la partie, lorsqu'il manque encore au P'" un point, au 2^ deux, et au 3^ trois : on demande comment ils doivent se partager Fenjeu.

Nous extrayons cet énoncé du Dictionnaire de Mathématiques de Montferrier, article Probabilité; mais la solution donnée dans cet ouvrage est évidemment vicieuse ; et si l'erreur ne saute pas aux yeux, c'est grâce à une faute de calcul qui masque l'impossibilité du résultat.

Représentons respectivement par a, h, c, les événements correspondant au gain d'un point par le premier, le deuxième et le troisième joueur. Dans l'état où est arrivée la partie, elle doit être terminée en quatre coups

au plus : le nombre total des chances est donc 3^ = 81 .

Puisque le gain d'un seul point donne la partie au

premier joueur, les événements composés qui le font

gagner sont tous les arrangements quatre à quatre des

trois lettres a, h, c, renfermant au moins une fois la

lettre a, sauf ceux de ces arrangements dans lesquels

a est précédé de deux b ou de trois c. Ces arrangements

exceptionnels sont au nombre de sept, savoir :

D'ailleurs, le nombre des arrangements qui renferment au moins un a est 65 (c'est la somme des coefficients des termes de (a -|- & -|- cf renfermant a comme facteur à une puissance quelconque). Le nombre des chances favorables au premier joueur est donc 58,

et. sa probabilité de gagner — .

Les événements composés qui font gagner le troisième joueur sont les neuf arrangements renfermant au moins trois c, sauf les trois arrangements où la lettre a se trouve à la première, la deuxième ou la troisième place. Ce joueur a donc pour lui la probabilité — .

Donc il reste au deuxième joueur la probabilité — ; et l'enjeu doit être réparti dans le rapport des nombres 58, 17 et 6.

§ 43. — « Lorsque les mises P et Q de deux joueurs

« sont proportionnelles à leurs chances de gain, p, q, « l'événement le plus probable, après un certain nombre « de parties , est qu'aucun des deux n'ait perdu ni « gagné. »

Cela résulte immédiatement des considérations sur l'espérance mathématique, et de l'hypothèse P X 9 = Û X p.

Plus le nombre de parties augmente, plus croît la probabilité que les rapports des nombres de parties gagnées par chacun des joueurs au nombre total de parties, resteront voisins de p et de q. Il suit de là « qu'en multipliant suffisamment le nombre des parties, « la perte ou le gain de chaque joueur pourra être «* représenté par une fraction aussi petite qu'on voudra « de sa mise totale (comprenant la somme de tous ses « enjeux successifs). »

En eifet on peut, d'après le § 32, obtenir une probabilité absolue, de plus en plus grande, que le rapport du nombre des parties gagnées par le premier joueur au nombre total des parties jouées, sera compris entre les limites

j)+ et p .

Considérons, comme dans le paragraphe cité, un

nombre ar d'épreuves ou de parties. En déterminant

r comme il a été dit, il y aura une probabilité -7-^ que les nombres de parties gagnées par chacun des joueurs seront compris respectivement entre a.r.p -|- r et a.r.p — r, et entre a.r.q — r et a.r.q -\- r.

Dans les cas les plus extrêmes, le premier joueur

recevra une somme Q {a.7\p -]- r) et paiera une somme p {a.r.q — r , ou bien recevra seulement Q [a.r.p — r) et paiera P (a. r.ç -]- r). Par rapport à ce joueur, le gain sera donc :

■ (X.a.r.f + Q.r - V. a.r.q -\- P.r = o.r (Qp - ?q) + r (Q + Pj

ou bien :

Q.a.r.p — Q.r— P. a. r. ? — ?.?• = a.r {{Ip — Pc) — r(Q + P). Mais on a Qp = P^, donc ces expressions se réduisent

r(Q + P)ou-r(Q + P).

Or, la mise totale du joueur a été a.r.V; par conséquent son gain ou sa perte maximum s élèvera à la fraction

de cette mise totale. Remplaçons Q par ^ P, il viendra :

o.P ap

Pour rendre cette fraction aussi petite qu'on voudra, il suffit de prendre a assez grand.

On obtiendrait semblablement pour le rapport de la

perte ou du gain maximum du second joueur, à sa mise

totale, la fraction

la mise totale étant a.r.Q. Si l'on demande qu'aucun

des deux joueurs ne risque plus d'une fraction donnée

de sa mise totale, il faudra prendre pour a la plus

srrande des valeurs obtenues en égalant et — à

. . ap aq

cette fraction.

Remarquons qu'il ne s'agit pas ici de limiter ou la perte ou le gain des joueurs, mais seulement le rapport de cette perte ou de ce gain à la somme totale des enjeux pour chacun d'eux; au contraire, cette somme totale croissant avec le nombre de parties jouées, il est facile de voir que la perte ou le gain limite augmente presque dans le même rapport. En effet, cette perte ou ce gain limite est exprimé par :

a.r.P r.P ap p

mais r (§ 32) est égal à :

aloe;(i + i) — ^

P donc la limite devient :

« Jog 1^" + i) ^ p <? ^ jf p p p

et le premier terme de cette expression croît, comme on le voit, proportionnellement à a.

§ 44. — Les conséquences sont plus tranchées si, au lieu d'avoir j9 Q — qP = o, on a, pQ — qF= ± k^, quelque petit que soit^*, c'est-à-dire si l'un des joueurs a sur l'autre un avantage, même très-minime. En effet, il vient alors pour le gain ou pour la perte maximum du joueur qui a la chance p, et en supposant k^ négatif,

- a rk^ ± r (Q + P) = r {- a fc* dz (Q + P)j

Or, le nombre a, pouvant être pris aussi grand qu'on veut, on pourra toujours, quel que soit A*, faire en sorte que cette quantité soit négative aussi bien quand le second terme est pris avec le signe -\- qu'avec le signe — ; alors le premier joueur perd dans le premier

comme dans le second cas, et il s'ensuit que « quelque « petite que l'on suppose la différence entre les espé- « rances mathématiques des deux joueurs, on pourra « toujours, en multipliant le nombre des épreuves, « obtenir telle probabilité qu'on voudra que le joueur « favorisé sera finalement en gain, et l'autre en perte. » Dans les jeux publics, où les coups se succèdent très-rapidement, et sont par suite extrêmement nombreux, il suffit donc que le banquier se réserve un trèsfaible avantage pour être presque certain de réaliser des bénéfices. Ces bénéfices croissent d'ailleurs avec le nombre de coups joués, puisque dans l'expression

r \- ak* ± (P + Q)j le premier terme du second facteur tend alors à augmenter, de même que r, qui croît avec a. Ainsi, il arrivera presque infailliblement, les parties jouées se comptant par milliers et les enjeux étant considérables, que le bénéfice s'élèvera à une somme énorme. C'est ce que l'expérience a toujours vérifié, comme on sait.

§ 45. — La proposition du § 43, basée sur le théorème de Bernoulli, présente l'une des conséquences les plus importantes dans la pratique, de la considération de l'espérance mathématique. En montrant l'influence que le nombre d'épreuves d'un même hasard a sur la perte ou le gain que ce hasard peut amener, elle prouve indirectement que le temps doit entrer dans l'appréciation des éventualités soumises à une probabilité déterminée. Le temps permet, en effet, la répétition des hasards contraires qui doivent se contre-

balancer dans le rapport de cette probabilité. Ainsi il n'est pas conforme à la prudence de s'exposer sans nécessité aux chances d'une épreuve qu'on ne peut tenter un grand nombre de fois, car il est impossible alors de s'en reposer sur les probabilités favorables. C'est dans ce sens qu'on est en droit de contester avec d'Alembert et Condorcet, que deux conditions soient toujours égales lorsque les avantages de chacune d'elles sont en raison inverse de leur probabilité. « La probabilité -

« d'avoir 2 écus, dit avec raison CondorcetS n'est point «< égale à la certitude d'en avoir 1 ; le joueur qui a la « probabilité — de gagner 9 écus n'est point dans une

« position égale à celle d'un autre homme qui aurait la " probabilité — de gagner 1 écu. »

§ 46. — Dans l'exemple traité au § 34, nous avons vu que deux joueurs qui engagent un franc à chaque partie, gardent la probabilité 0,489 de ne pas perdre,

en mille parties, plus de 20 francs ou le — de leur mise totale. Si le nombre de parties était seulement de 100, la probabilité que la perte ou le gain ne dépassera pas la même fraction de la mise totale, se réduirait à 0,131, et ce serait la fraction -— environ de cette

iOO

mise totale, que les joueurs auraient la probabilité 0,489 de perdre ou de gagner. Mais il faut remarquer que dans le cas de 1,000 parties, le — de la mise

est 20 francs, tandis qu'il n'est que 2 francs dans le cas

* Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions, etc. Discours préliminaire.

de 100 parties : dans ce second cas, la fraction — de la ^ 100

mise, est seulement 9 fr., encore fort inférieure à 20 fr. On voit donc, conformément à la remarque finale du § 43, que la somme risquée avec le même degré de chances favorables ou défavorables, croît avec le nombre de parties jouées.

Si les deux joueurs ne sont pas dans des conditions d'égalité, c'est-à-dire si l'espérance mathématique de l'un des deux est supérieure à celle de l'autre, la chance de perdre du moins favorisé, devient de plus en plus grande, ainsi qu'il a été démontré, au § 44, à mesure que le nombre de parties jouées augmente. On peut rechercher en combien de parties un joueur qui engage

le — de son fonds à chaque partie, se trouvera avoir

99 chances sur 100 d'être ruiné, en admettant que son adversaire ait sur lui un avantage

19 ^ 50«' c'est-à-dire que les chances respectives soient — et —,

19 19 comme à la Roulette (en général). Le nombre cherché

étant a.r, on a pour déterminer a et r les deux équations :

r = a log 100

en représentant par l'unité chacune des mises, égales au — du fonds. On en tire :

a = 48 r=9o d'où a.?' = 4360.

Ainsi il y a 99 à parier contre 1 que le joueur qui n'a pour lui que la chance — sera ruiné en 4560 parties au plus. Ce résultat peut se vérifier ainsi : l'événement

composé le plus probable en 4560 parties, comprend

X 4560 = 2400 gains pour le joueur favorisé

(la Banque), et ^ 4560 =2160 gains pour l'autre joueur. Si l'on prend les r termes à droite et à gauche du maximum, l'événement composé le plus favorable à ce second joueur comprendra 2400 — 95 gains pour la Banque, et 2160 -{- 95 gains pour lui. Or, la différence entre ces deux restes est précisément 50, c'est-àdire le nombre de fois qu'il peut renouveler sa mise sans épuiser son fonds. On voit donc que tous les événements composés correspondants aux 191 (y compris le maximum) termes considérés du développement de

llQ + 49/

amènent sa ruine. Il suffit de se reporter au § 32, pour reconnaître que la somme de ces 191 termes est supérieure a-^.

La formule de l'espérance mathématique s'applique également au cas où il y a plus de deux événements possibles à chaque épreuve. Supposons, par exemple, qu'un joueur jette un dé ordinaire, et que son adversaire s'engage à lui payer autant de francs qu'il amène de points à chaque coup. On demande quel doit être l'enjeu du premier joueur.

L'espérance mathématique de celui-ci se forme évi-

demment en ajoutant celles que donnent tous les événements possibles, et qui sont égales au produit de chacun des six points par la probabilité - de l'amener. Le résultat est donc

L'enjeu cherché est donc 3 francs, 50 : c'est la moyenne entre les sommes que le second joueur peut avoir à payer.

§ 47. — En parlant de la valeur vénale des chances, nous avons supposé que l'unité monétaire représentait une quantité absolue, ayant le même prix pour tout le monde. En réalité cependant, elle n'a qu'une valeur de convenance, subordonnée à la position particulière, à la fortune et même au caractère du possesseur. Il faut reconnaître qu'un homme risque d'autant plus en achetant une chance, c'est-à-dire un bien incertain, que le prix certain qu'il en donne est plus considérable relativement au bien qu'il possède ; la raison dit aussi que l'importance d'une somme d'argent diminue pour celui dont la fortune s'accroît : mais n'est-ce pas abuser du calcul que de vouloir soumettre à ses lois les considérations morales relatives aux privations qu'impose une perte, aux jouissances que procure un gain? Comment apprécier numériquement cette valeur relative des chances que l'on a désignée sous le nom de valeur morale? Plusieurs auteurs ont proposé des règles à ce sujet : nous allons en indiquer quelques-unes, mais en déclarant d'avance qu'elles nous semblent plus ou moins arbitraires, et sans applications rigoureuses.

DE l'espérance morale. 127

Buffon [Essais d' aHthmétique morale) a proposé de prendre pour mesure de l'importance morale d'une somme, ajoutée à un bien quelconque, le rapport de Vune à Vautre; et d'admettre en conséquence que l'homme qui possède 1000 francs et qui en gagne 100, reçoit un avantage égal à celui qui, possédant 100000 francs, en gagnerait 10000, ou qui, n'en possédant que 10, en gagnerait un. L'illustre écrivain déduit de son hypothèse la conclusion, très-juste et très-morale dans tous les cas, qu'une même somme acquiert plus d'importance lorsqu'on la perd que lorsqu'on la gagne ; et que par suite le jeu le plus simple et le plus égal (celui de deux personnes également riches, jouant à chances égales) entraîne toujours une perte absolue d'aisance, puisque moralement l'événement diminue plus le bien du perdant qu'il n'augmente celui du gagnant. Si, par exemple, l'enjeu est la moitié de la fortune de chaque joueur, les valeurs morales de la perte et du gain sont exprimées respectivement par

- et -, et par conséquent la chance du jeu équivaut à 2 3

une perte morale d'aisance de -.

En général, soit A le bien antérieur, et a la somme

éventuelle ; l'importance morale de cette somme sera

exprimée par - comme perte et par— ^^ — comme gain; A A -j-a

la différence sera

A (A -f oj

Ceci conduit naturellement à chercher la valeur de la perte dont l'importance morale est équivalente à celle

du gain a. Soit x cette perte ; on aura

d ou a; ^

On voit que la valeur de x approchera d'autant plus

de celle de a, que la fraction - sera plus petite; en

sorte que, dans l'hypothèse deBufFon, le gain et la perte ne peuvent être d'égale importance que lorsqu'ils sont infiniment petits par rapport au bien antérieur.

§ 48. — Daniel Bernoulli développe une théorie qui diffère de celle de BulFon, en ce qu'elle fait croître bien moins rapidement l'importance morale des pertes [Spécimen theoriœ novœ de mensurâ sortis : Comm. Acad. Peérop., t. V, p. 175). Elle s'accorde cependant à diminuer le prix des sommes éventuelles, à mesure que le bien antérieur est plus considérable, et à donner plus d'importance à la perte qu'au gain. Bernoulli, qui le premier a soumis au calcul l'appréciation de la valeur morale des sommes éventuelles, part de trois propositions fondamentales, savoir :

1° Tout homme possède un bien physique quelconque, au moins équivalent à la subsistance qu'il peut tirer de son industrie, ou de l'emploi de ses forces vitales. Il n'y a que l'individu sur le point de mourir de faim, duquel on puisse dire qu'il ne possède absolument rien.

2° La valeur morale d'une somme infiniment petite est directement proportionnelle à cette somme, et

DE l'espérance morale. 129

inversement proportionnelle à la valeur absolue du bien physique de son possesseur.

3** La valeur physique totale peut être considérée comme une somme de valeurs physiques infiniment petites i et la valeur morale correspondante, comme la somme des valeurs morales des éléments infiniment petits de l'avoir physique.

Soit donc x un capital quelconque ; k une constante ; dx l'accroissement différentiel du capital : — £ sera la

valeur morale de cet accroissement (2°), et celle du capital entier sera (3°) :

Ç àx y = \ k — = A; log x + log /i

en représentant par log h la constante arbitraire. Pour la déterminer, il faudrait assigner la valeur de y qui correspond à une valeur donnée de x ; on n'oubliera pas, toutefois, que y et a; ne peuvent être supposés ni nuls, ni négatifs (l^).

Représentons par y' la valeur morale d'un nouveau capital x'; nous aurons

y' = k log X' + log /i ; et par suite

y' — y = k (log X' — log x) = k. log — .

Faisons donc x = A, x' = A±a : l'importance morale de la somme éventuelle a en présence du capital A sera exprimée par la|différence des valeurs morales y' et y :

comme gain ; et -

A — a k. log — —

comme perte. Naturellement dans ce second cas la différence est négative, mais sa valeur absolue est plus grande.

Pour déterminer, dans l'hypothèse de Bernoulli, la jierte, z, dont la valeur morale serait égale à celle du gain a, nous remarquerons d'abord qu'il s'agit ici de cette valeur prise d'une manière absolue, c'est-à-dire positivement ; et comme log ^~^ est négatif, nous

poserons

d'où ou enfin

— k. log— ^=Llog— ^

A — 2 Aa

valeur identique avec celle qui résulte de l'hypothèse de Buffon.

§ 49. — Supposons qu'un bien physique, ou absolu, A, soit dans le cas de recevoir des variations a, a', a"...., lesquelles peuvent être positives ou négatives; soient de plus jo, y, y.... les probabilités de chacune de ces variations, de sorte qu'on ait nécessairement

La fortune morale éventuelle du possesseur [fortune morale de Laplace; mensura sortis de Bernoulli; erwartetes moralisches Vermôgen, de Grunert) s'évaluera en multipliant, dans chaque hypothèse de variation, la valeur morale du bien physique résultant par la proba-

DE l'espérance morale. 131

bilité de la variation, et en faisant la somme de tous les produits. On aura donc

Y = p [A log (A + a) + log h] + p' [k log (A + a') + log h]-\- .... ==pklog{A + a)-^p'klog{X-i-a')+....-{-{p-{-p'+p"-\-....)logh = ;>^log(A + o) + p'/clog(A4-o')4-p"/clog(A-l-a") + ....+log/i.

Désignons maintenant par X la fortune physique éventuelle correspondant à la fortune morale éventuelle Y : d'après la première équation du paragraphe précédent, ces deux quantités seront liées entre elles par la relation

Y = ;tlogX + Iog/i;

égalant les deux valeurs de Y, on obtient, après quelques réductions faciles,

X = (A -f af (A + a'/' (A + a"f" .... pour la fortune physique éventuelle correspondant à la fortune physique A. La différence X — A est ce que Laplace nomme espérance morale, et elle a pour expression

X — A = (A H- af (A + a'/ (A + a"f'' .... — A ; tandis que Vespérance mathématique serait p a + f a' -\- p" a" -{- ....

Si l'on développe la valeur de X — A suivant les puissances de a, a', a"..., en négligeant les termes renfermant les puissances supérieures de. ces quantités, on obtient

^P+P'+P"+-^^P+P'+P"+--\pa+fa'+p"a"+...)-X mais

P + p' -h P" + .... = i; P + P' -]- p" + ....- i = 0; donc

L'espérance morale est donc toujours supérieure à l'espérance mathématique, ce qui se comprend, puisque la première est considérée relativement à un avoir nécessairement limité; on reconnaît d'ailleurs facilement que les termes négligés dans l'expression deX — A ne renfermant que les puissances supérieures des variations de fortune, l'espérance morale s'approche d'autant plus de l'espérance mathématique, que ces variations sont plus petites, et que même les deux valeurs se confondent lorsque la fortune A peut être considérée comme infiniment grande vis-à-vis des pertes ou des gains éventuels a, a\ a" ...

Ce qui précède confirme l'opinion de Buffon, que le jeu le plus égal est désavantageux aux joueurs. Si, par exemple, deux joueurs possédant chacun un bien physique 100, exposent 50 avec la probabilité - de gagner ou de perdre, on aura

A = 100 ; o = -h 50 ; a' = — 50 ; p = jo' = ^ :

par suite l'espérance morale de chaque joueur est 1 ]

(400 -1- 50)2. (100 — 50)2 — 100 = - 13,4 c'est-à-dire que l'aléa du jeu équivaut pour chacun d'eux à la crainte de perdre 13,4.

§ 50. — Dans le mémoire que nous avons cité plus haut, BernouUi donne plusieurs applications curieuses de son principe : nous nous contenterons de mentionner la suivante.

Un négociant possède une fortune physique A; mais un vaisseau qui est en mer doit lui rapporter un béné-

fice a s'il arrive au port. La probabilité de cette arrivée est p, d'après l'expérience. Quelle est l'espérance morale du négociant?

La probabilité que le vaisseau n'arrive pas au port est 1 — p; et cet événement laisse la fortune physique du négociant égale à A. Il s'ensuit que son espérance morale est

X — A = (A + af A ^ ~" ^ — A.

Quant à sa fortune morale éventuelle elle-même, son expression sera

Y = jo fc log (A + a) + (4 — p) fe log A + log h.

Si l'on veut prendre A pour unité, les deux formules précédentes se simplifieront et deviendront respectivement, le bénéfice a étant aussi exprimé en unités A,

X — 1 = (1 + o)^ — i Y = p fe log (1 + a) + log h.

Ce que nous venons de dire suppose que le négociant n'assure pas le vaisseau. S'il l'assure, il peut n'avoir à payer à la compagnie que (1 — /?) a, puisque la probabilité de perte du navire est (1 — p) ; et alors sa fortune morale éventuelle, après le payement de la prime d'assurance, est

y = fe log [1 + a — (1 — p) a] + log /i = /c log (1 -}- o p) + log h.

Or, comme p est une fraction proprement dite, on a "p.àa p. da

' p.da

îrpâ

Çp-da Ç] Ji+ap-^ Ji

OU enfin

log {i + ap)yp log (i + a).

' Il s'ensuit que y > Y, ou que la fortune morale éventuelle du négociant, lorsqu'il assure, est plus grande que sa fortune morale éventuelle, dans le cas où il n'assure pas. Il y a donc avantage à assurer le navire, dans le cas où la prime ne dépasse pas (1 — p)a.

Mais si l'on exige du négociant une prime plus élevée, par exemple (1 — p) a -\- a\ sa fortune morale éventuelle, après l'assurance, devient k\og[i -\- a — {i — p) a — a'] + log /i = fc log [1 — a' -\-ap\-\- log h.

Par conséquent l'assurance ne présentera ni avantage, ni désavantage, si l'on a

p k log (4 + o) + log /i = fc log (1 — a' + a p) 4- log h,

d'où l'on tire

a' = 4 + a jj — (1 + a) .

La prime à payer par le négociant doit donc s'élever au plus à

(l p)a-\-i+ap-H+af:=H-\-a)[i-H-\-af~'^l (P)

et il y aura pour lui avantage ou désavantage moral à assurer le navire, suivant que la prime sera inférieure ou supérieure à cette somme.

Soit, par exemple

a=40000fr.;;, = -;

A = la fortune du négociant : il doit payer au plus [l+j -(4+^j^JA=A + a-(A + a)^.A^~^

La prime limite P croît avec a, dont l'expression numérique est d'autant plus élevée que A. l'unité, est plus faible. Il s'ensuit que celui qui possède moins a un miévèi plus grand à s'assurer; on peut donc se demander quelle fortune au moins doit posséder le négociant pour qu'il ait avantage à renoncer à l'assurance, lorsque la compagnie lui demande une prime déterminée, par exemple 800 fr. Dans ce cas on a l'équation

d'où Bernoulli déduit A = 5043 à peu près. Si la fortune du négociant surpasse ce chiffre, il peut renoncer à l'assurance; s'il possède moins, la prudence exige qu'il assure le vaisseau.

Enfin on peut encore se demander quel est le capital minimum dont la compagnie doit disposer, pour pouvoir assurer sans désavantage au prix de 800 fr. dans les circonstances précéderïtes. '

Soit œ ce capital. Si le vaisseau arrive au port, événement dont la probabilité est —, le capital de la compagnie deviendra x -\- 800; si le vaisseau périt, événement dont la probabilité est —, la compagnie ne

possédera plus que a; -f 800 — 10000 = x — 9200. Donc, lorsque l'assurance a lieu, la fortune morale éventuelle de la compagnie est

> (x + SOO)^. (x — 9200j*<';

lorsque l'assurance n'a pas lieu, son capital reste x, et comme la compagnie est par nature vouée aux spéculations, on doit poser l'équation

d'où BemouUi tire approximativement x = 14243. Tel est le minimum de capital que la compagnie doit posséder, pour offrir l'assurance au taux de 800 francs. Dans le cas contraire, elle aurait tort de s'engager dans cette spéculation.

§ 51 . — Une question analogue à celle que nous venons de traiter se présente quand il s'agit de décider s'il convient d'engager une somme ou un risque donné sur un seul hasard ou sur plusieurs hasards de même ordre. Ainsi vaut-il mieux faire transporter une cargaison sur un seul navire ou la répartir sur plusieurs, mettant à part bien entendu les différences dans le prix du fret, dans l'aménagement, etc.; ou bien encore, vaut-il mieux dans un jeu, engager la somme qu'on consent à risquer en un plus ou moins grand nombre de parties?

La réponse à ces questions est facile. Les alternatives favorable et contraire ayant les probabilités p et 1 — p, les éventualités possibles dans le cas de ]a répartition en 2, 3, 4 ... n épreuves du même hasard, auront des probabilités exprimées par les termes du développement de (jo+(l — ^o)) élevé à la puissance 2, 3, 4 ... ou n. Par conséquent, l'espérance morale

correspondant à la répartition en 2, 3, 4 ... n épreuves, sera