X HH
l mj
puis
on développe
chacun des facteurs.
Soit
on aura successivement :
, /m lW'2t 4 4» 8 1' \
)n 7?i ??i m \ Jn/
en négligeant les termes qui ont m à la puissance 2, ou à une puissance plus élevée, au dénominateur; ces termes sont évidemment d'autant plus petits que m est plus grand, car la fraction -, d'après le théorème de BernouUi, est au plus égale, pour la portion de la
courbe que nous considérons, à - (§ 32).
On a donc finalement :
r , 2fr\ 2 2 m '^V'^mj
mi k*
2 fr\ 2 ~ ~ 2 ~ m = e
et on trouverait de même
Par suite, l'expression de l'ordonnée correspondante à l'abscisse k, dans le nouveau système d'axes passant au point milieu des abscisses, est : .
Y X e '" ou Y X e '" en exprimant l'abscisse par x au lieu de k. On sait que l'expression Ae~^'' peut être envisagée comme type algébrique des fonctions qui décroissent symétriquement, avec une grande rapidité, de part et d'autre de l'origine de la variable ^ ^; de sorte que la valeur numérique de la fonction, sans jamais devenir rigoureusement nulle, est déjà excessivement petite pour des valeurs de œ tant soit peu considérables. C'est bien l'allure de la courbe de possibilité telle qu'elle résulte du théorème de BernouUi.
Quant à l'expression de la probabilité d'une valeur particulière de œ, elle s'obtiendrait en introduisant de
nouveau le facteur (-]"* dont il a été fait abstraction
dans la recherche de la forme de la courbe de possibilité. Si, en outre, on remplace Y par sa valeur, on aura :
Supposons 2 joueurs qui engagent chacun 1 franc à chaque partie; la probabilité qu'au bout de 1000 parties aucun des deux n'aura gagné ni perdu, sera
^/ A(\f\(\^ ^l^^r^ = ^'^^^ environ;
' Voir la table n" 1 , à la fin du volume.
et celle qu'ils n'auront gagné ni perdu plus de 20 francs sera :
1/ JL X c m \ = 0,489 environ;
Tcm y -^ 1 0
ainsi, il y a près de 49 chances sur 100, qu'au bout de 1000 parties le gain de l'un ou l'autre joueur ne dépassera pas 20 francs. On trouverait facilement qu'il y a plus d'une chance sur deux (50 sur 100), que ce gain n'atteindra pas 21 francs. Ce résultat paraîtra étonnant, en présence des faits d'observation personnelle que chacun peut avoir eus sous les yeux ; mais il faut remarquer qu'il est rare que deux joueurs soient exactement de même force, c'est-à-dire que la chance de gagner soit
réellement - ; en outre, il n'arrive presque jamais que
l'expérience soit poussée jusqu'au nombre de lOOOparties, qui est cependant indispensable ici.
Dans la valeur de y, la fraction —est un véritable
paramètre ; si on la représente par h^, il vient
cette forme se retrouvera plus loin dans la recherche de la probabilité d'une erreur accidentelle d'observation. Le paramètre, toutefois, aura une autre signification.
§ 35. — Le théorème de Bernoulli est applicable au cas où les événements possibles, à chaque épreuve, sont en nombre quelconque. Si l'on représente par p.
q,r,s... la probabilité de chacun d'eux, levénement composé le plus probable dans m épreuves, est formé de pm répétitions du premier événement simple, de qm répétitions du deuxième, de nn du troisième, et ainsi de suite. Les termes du développement de [p -{- q -\- r 4-5...)"* se rangent par ordre de grandeur dans le voisinage du terme maximum, et l'on peut encore calculer le nombre d'épreuves pour lequel on aura une probabilité aussi approchante de la certitude qu'on voudra, que les rapports des nombres de répétitions de chaque événement simple, à ce nombre d'épreuves, ne s'écarteront pas des probabilités^, q, r, s... en plus ou en moins, d'une fraction quelque faible qu'elle soit.
La démonstration de ces propriétés se fait par le procédé que nous avons suivi dans le cas de deux événements simples : mais les opérations sont beaucoup plus compliquées.
§ 36. — Poisson a recherché la loi suivant laquelle les événements simples dont la probahilité nest pas nécessaireinent constante pendant la durée des épreuves, se répètent dans un grand nombre d'épreuves; mais il n'est pas parvenu à trouver l'expression rigoureuse de cette loi, qu'il appelle loi des grands nombres. Cependant il a réussi à étendre le théorème de Bernoulli à ce cas général. Pour les usages pratiques, on peut conclure de cette extension, que si l'on connaît les valeurs par rapport auxquelles la probabilité de chacun des événements simples varie le plus régulièrement dans les deux sens, l'événement composé le plus pro-
bable sera celui où les événements simples seront répétés des nombres de fois proportionnels à ces valeurs. Cette conclusion est très-importante pour les applications du calcul des chances aux Assurances, ainsi qu'aux lois de Mortalité, etc.
§ 37. — Comme appendice à ce chapitre, nous examinerons le cas où chaque expérience influe sur les conditions des épreuves ultérieures. Alors donc que jusqu'ici nous avons assimilé les épreuves à des tirages successifs dans une urne où l'on rejetait à chaque fois la boule extraite, nous admettrons maintenant que cette boule n'y soit plus rejetée.
Supposons qu'une urne renferme a boules blanches et b boules noires, et recherchons la probabilité d'en retirer dans m tirages, n boules blanches et (m — n) boules noires.
Continuons de désigner par A l'événement simple qui consiste dans la sortie d'une boule blanche, et parB l'événement contraire, ou la sortie d'une boule noire; de sorte que AB indique l'événement composé qui consiste dans la sortie d'une boule blanche suivie de la sortie d'une boule iwire; et ainsi de suite. Il est clair, par le principe des probabilités composées (§ 18), qu'un événement composé, tel que AAB, a pour probabilité
a 0 — 1 h aia— \)h
a | fc '^ a + & — 1 a + ft — 2 {a -\- b) {a + b — \) {a + b — "!)'
tandis que la probabilité de l'événement composé ABA, qui ne diffère du précédent que par l'ordre de succès-
sion des événements simples, est
o b ^ ~ ^ ^ ah {a — \)
a + è a + ft— 1 a + &— 2 (a + <?) (a + è — d)(a + ft — 2)'
fraction qui, elle-même, ne diffère de la précédente que par l'ordre des facteurs du numérateur. Il suit de cette remarque, dont la généralité est évidente, que la probabilité cherchée a pour valeur la fraction
a{a — \){a — 1)...{a — n + \)xh{b—\)(h — 'î)...{h — m-\-n-\-i) (o + fe) (c + 6 — 1) (a + fc — 2)... (a H- 6 — m + 1)
prise autant de fois qu'on peut faire de permutations distinctes dans l'ordre des événements. Donc la valeur de la probabilité cherchée est
a(o— l)(o— 2)...(o— n+4)Xfe(fe— l)(fc— 2)...(fe— m+n+i) (a + fc) (a + 1 — i) (a + 6 — 2).. . (a + fe — m 4- d )
Si l'on fait successivement, dans cette expression générale, n = \, 2, 3, ... (m — 1). on aura les probabilités d'amener en m tirages, 1, 2, 3, ... (m — 1) boules blanches, et (m — 1), [m — 2), (vi — 3) ... 1 boules noires. Quant à la probabilité de n'amener que des boules blanches, elle est évidemment égale à
(g + fe) (g + ft — 4) (g + ft — 2). . . (g + 6 — m 4- 4)-
La somme de toutes ces probabilités compose l'unité, puisqu'elles correspondent à autant d'hypothèses, dont
l'une doit forcément se réaliser; donc on a
a(a — ^)(o — 2)..(a — m+i) m a (a~i) (a — ^).. . {a—m-\-'2)b {a-\-b) (a+b—i ). .(a+fr— m+1 )"^T {a-\-b){a-\-b—l)...{a-\-b—m+i}"'
m{m—l)...(n-i-i) a(a—i)...{a—n-\-i)xb{b—i)...{b—m^n-]-l) "*" 1.2.8...(jn — ?0 (a + ft}(c + fe — l)...(a+ft — m + 1)"
. &(&-i)(fe-"2)...(fc-m + i) . .
"^(a + fe)(a + ft— 1)... (a + ft — m + i) ' ■"" ^' '
ou bien
(c + 6) (a + & — 1) (a + ft — 2) ... (a + fc — m + i)
JM
= a(a— 1) (a— 2)...(a— m4-i)H-T-a(a-l) (a— 2)... (a— jn4-2). ft4- ... ' "" (^"-'')-("+^)a (ft i)... (a-ni-i). b{b-l)...{b-rn+n+l)i-...
+ fc (6 — 1) (ft — 2) .. . (& — m 4- 1).
Cette dernière formule est remarquable par son analogie avec celle du binôme : les factorielles de l'une remplacent les puissances de l'autre.
En prenant la somme des m — n-\-l premiers termes du développement (M) jusqu'au terme (N) inclusivement, on a la probabilité que, sur m tirages, il ne viendra pas moins de n boules blanches. Au lieu de tirer les m boules successivement, on pourrait ici évidemment les extraire toutes à la fois, sans rien changer à la probabilité d'amener n boules blanches et (m — n) boules noires.
§ 38. — La valeur maximum de (N) représente la probabilité de l'événement composé le plus probable en m tirages. Pour rechercher ce maximum, remarquons que si dans l'expression de (N), on multiplie le numé-
rateur et le dénominateur du coefficient par
n{n— l)(7i— 2) ... 2.1 ou7i!,
et de même le numérateur et le dénominateur de la fraction qui exprime la probabilité d'un tirage déterminé, par (a — n) ! et (b — m ~\- n)\, on obtient :
alxbl
{a-\-b) {a+b—i) (a+t— 2) ... (a+ft— m-fl) X (a— 7i)!x (&— w+?j)!
Le numérateur de cette expression est constant, et, au dénominateur, le produit (a -{- b) (a -{- b — 1) ... {a -{- b — m -\- \) est aussi constant ; il suffit donc de recliercher le maximum de la fraction :
(m — ji)! X n\ X {a — Ji)! X (ft — m + 7i)\ OU le minimum de
(m — n)! X n\ X (a — n)l X (ft — m + n)! (p)
D'après la formule de Stirling, ce produit vaut :
[yi 7r) (»/ — 11) ^ X n ^ X{a^n) ^
(b-m-\-n) + l -(a + b) X ib—m-\-7i) ^ X e
Le premier coefficient différentiel donne, après suppression des constantes, et du facteur commun,
(m—n) ^xn ^x{a—n) ^x{b—m-\-n) ^,
l'équation suivante :
- log (m
log (o -
- + log
(fr — w
Les
fractions
peuvent être prises égales à l'unité dont elles diffèrent très-peu ; il reste donc :
— log (m — n) + log 'i — log {o^ — '0 + log (^ — /n + «) = o ou
jn(fe-m + n)) ^
par conséquent :
n {b — m -\- n) - (m — 7i) (o — îj)
et enfin
am , . bm
Il est facile de reconnaître que ces valeurs conduisent à un minimum pour le produit (p), et sont par suite
celles qui rendent (N) maximum. On voit que ce maximum correspond à l'événement composé dans lequel chacun des événements A et B est répété un nombre de fois proportionnel au nombre total possible de ces événements.
La probabilité de cet événement composé peut
s'écrire :
m a\xb\x {a-\-b — m)\
bm \ I am \ (a + b)\ X (a — n)\ x {b — m -\- n)\ a + />/ \o + b)'
ce qui vaut :
l/^IJ'nja + bl ^^-Ijmja
\\/^Tt) a ^b '^{a-\-b—m) ^e
b (a -\- b — m) 1 ^b (a -{- b — m) ^ (a + ft) 2
remarquons P que (i/¥^f est facteur commun au numérateur et au dénominateur; 2° qu'il en est de même de
am \ i
ainsi que de
— m , — 2 (a 4- t) + m e et de e ^ •
qui s'annule avec 3° que
est aussi facteur commun, comme
a ^ etb ^ ainsi qu'il est facile de le reconnaître, et 4° qu'enfin
s'évanouit aussi au dénominateur ; il reste donc :
1 ^ ja + bf
a^ X b*^ X {a-\-b — mf"
ce qui peut s'écrire :
K 2 TT m X — ^-r X , .
Ce résultat est remarquable ; le premier facteur de cette expression représente, en effet, le terme maximum du développement de
comme il est facile de s'en assurer par les formules connues ; or ce terme maximum correspond à un événement composé qui est précisément le même que celui auquel correspond l'expression considérée tout entière ; donc, dans le cas où l'on épuise un à un dans les
épreuves successives, la suite des événements simples possibles, la probabilité de cet événement composé est plus grande dans le rapport de
à l'unité. On peut s'expliquer cet accroissement en réfléchissant qu'avant chaque épreuve, les valeurs qu'on doit attribuer aux probabilités qui en résulteront pour l'épreuve suivante, différent plus dans ce second cas que dans celui des épreuves répétées des mêmes hasards. Ainsi, par exemple, la probabilité de tirer une boule blanche au deuxième tirage dans l'urne, évaluée avant le premier tirage, est :
o + fe — 4°"o + & — 1
et la moyenne de ces probabilités est > — ^ suivant
que a^b. Or on sait que le terme maximum du développement de (p -j- q)"^ est d'autant plus grand que p et q différent davantage, comme le prouve immédiatement l'expression
y^ Ttmpq
donc ce terme maximum dans le cas où l'on épuise les événements possibles, doit tendre à augmenter. On voit d'ailleurs que le rapport
a + ft
s'approche d'autant plus de l'unité que m est plus faible relativement à [a -{-h).
Le cas que nous venons de traiter constitue évidemment une application des recherches de Poisson sur la loi des grands nombres, puisque les probabilités y varient à chaque épreuve. C'est en raison de cette circonstance, que nous l'avons développé.
§ 39. — Comme problème numérique, considérons la question suivante. Chez les Romains il arrivait assez souvent qu'on décimait une troupe qui s'était livrée à des actes de mutinerie ou qui avait faibli devant l'ennemi. Pour procéder à l'exécution on mettait dans un casque les noms de tous les soldats qui étaient accusés d'avoir forfait à l'honneur ou au devoir, et tous ceux dont le nom sortait au dixième tour étaient sacrifiés ; la pratique de la peine revenait donc au tirage de
— boules d'une urne renfermant a m boules blanches et dO
(1 — a) m boules noires. Pour apprécier l'équité absolue de cette peine, il suffit de remarquer que l'événement le plus probable est celui formé de — X a boules blanches
et (1 — a) X — boules noires, les unes représentant les
hommes réellement coupables et les autres les hommes qui s'étaient seulement laissés entraîner. On voit que ceux-ci, ordinairement les plus nombreux, fournissent le plus grand nombre de victimes. Il serait donc permis de dire que la peine était injustement barbare, s'il ne fallait tenir compte de considérations morales, ainsi que de l'importance relative de la peine de mort en temps de guerre pour les militaires ^
* Ce mode de punition a été employé jusqu'au xvn« siècle, et même de nos jours, en Espagne.
On ferait aussi rentrer directement dans la théorie précédente la plupart des questions auxquelles donnent lieu les épreuves du sort, au sein d'une assemblée politique, dont les membres sont ordinairement rangés en deux classes, la majorité et la minorité. Par exemple, l'assemblée étant de 108 membres, dont 60 appartiennent à la majorité et 48 à la minorité, si Ton tire au sort une commission de 20 membres, il y a lieu de demander quelle est la probabilité que la majorité ou la minorité de l'assemblée sera en majorité dans cette commission. — Si des causes fortuites, et qui agissent sans acception de partis, telles que des maladies, doivent tenir 16 membres éloignés au moment d'un vote, on peut demander quelle est la probabilité que la majorité se déplacera, et ainsi de suite. On voit facilement que la dernière question revient à extraire, en 16 tirages consécutifs, au moins 15 boules blanches d'une urne qui contient 60 boules blanches et 48 noires.
Le droit de récuser un certain nombre de jurés, dévolu à l'accusé dans les procès criminels, donnerait lieu à des questions analogues. Par exemple, on doit tirer au sort douze jurés sur une liste de trente-six noms : l'accusé a intérêt à écarter six de ces noms; quelle est la probabilité qu'il n'aura pas besoin d'user de son droit de récusation? — C'est comme si l'on demandait la probabilité de n'extraire, en 12 tirages, que des boules blanches d'une urne qui contiendrait 30 boules blanches et 6 noires, probabilité égale à 0,07 environ.
