PROBLÈME DE PÉTERSBOURG

employant, comme Lacroix, l'hypothèse de Daniel Bernoulli; soit en fixant, comme Cramer, pour maximum du gain de Paul, une somme tellement grande, qu'on dût regarder comme absolument inutile tout ce qu'on pourrait y ajouter. D'autres ont cherché à limiter le nombre de coups en fixant une probabilité assez

grande i , par exemple] pour qu'on fût moralement sûr que pile a dû arriver : mais toutes ces explications laissent beaucoup d'arbitraire.

Poisson a fait la remarque bien simple que Pierre ne peut pas payer plus qu'il n'a ; et que s'il possédait cinquante millions, somme exorbitante pour un particulier, il ne pourrait loyalement s'engager à prolonger le jeu au delà du vingt-sixième coup, puisqu'au vingtseptième sa dette envers Paul, en cas de perte, serait le nombre de francs exprimé par 2^ = 67 108 864, somme supérieure à sa fortune. Réciproquement, Paul, connaissant la fortune de Pierre, ne s'engagera pas à jouer plus de vingt-six coups et ne risquera que 13 francs. En supposant qu'il ne limite pas le nombre de coups, comme il ne peut pas recevoir de Pierre, quoi qu'il arrive, plus de cinquante millions, on trouve que la valeur de son espérance mathématique ne surpasse pas 13 fr. 50 c.

Selon nous, l'espérance mathématique des deux joueurs a une expression plus complexe que celle donnée ci-dessus. En effet, chacun d'eux doit nécessairement débourser une certaine somme et, d'autre part, en recevoir une autre; il faut donc tenir compte

de ces sommes dans l'évaluation de leur espérance mathématique. Soit X la mise de Paul, son espérance mathématique sera :

(i X). 1 + (2 - X). i + (4 - X). i 4- .-. (2»-^ - X). i et celle de Pierre :

En égalant ces deux expressions, on trouve

quantité qui converge vers -, à mesure que n augmente.

Il est constant que personne ne risquerait un enjeu un peu important sur la condition posée; mais cela résulte de ce que personne n'admet que « pile » n'arrivera pas après un très-petit nombre de coups, s'il n'y a pas une cause quelconque pour la reproduction de « croix y>. C'est donc un effet du sens intime et de l'expérience, qui indiquent que l'existence d'une cause ignorée est révélée par la répétition anormale ou seulement fréquente d'un événement que le hasard seul paraissait devoir déterminer. On verra plus loin la recherche de la probabilité des causes ainsi considérées. Dans le cas du jeu si simple de « croix ou pile », il paraît généralement impossible qu'il existe une cause qui amène la reproduction consécutive de « croix » un grand nombre de fois, et c'est pour cela que personne n'acceptera la condition attribuée à Pierre.

§ 53. — On rencontre souvent des joueurs systématiques qui se sont tracé un plan de conduite, d'après lequel ils se croient sûrs de réaliser des bénéfices, ou du moins de ne pas perdre. Pour cela, ils suivent certaines progressions dans leurs mises, ou se prescrivent des règles pour entrer au jeu et pour en sortir. Mais il ressort mathématiquement des définitions mêmes que, dans tout jeu égal, le joueur, quelque système qu'il suive, ne peut acquérir une probabilité de 100 contre 1 de gagner un franc, sans courir un risque mesuré par la probabilité de 1 contre 100 de perdre 100 francs ; les deux produits (ju'on obtient en multipliant le gain possible par la probabilité du gain, et la perte possible par la probabilité de la perte, devant toujours rester égaux si le jeu est égal, inégaux si le jeu est inégal. Tout ce que le joueur imagine a donc pour but de forcer la chance. Quel rapport y a-t-il cependant entre les pratiques singulières que nous signalons, et l'alea d'un jeu, lequel peut, en résumé, être assimilé à une expérience toute physique dont nous ignorons la formule?

L'illusion la plus commune est celle qui consiste à croire que les anomalies du hasard doivent se compenser à très-peu près, quand on embrasse une longue série d'épreuves. En général, cela n'est pas exact, parce que le hasard n'existe pas réellement : il constituerait une antinomie dans la nature ; mais nous l'employons subjectivement comme expédient de calcul ou de raisonnement, quand les causes des événements à venir sont ignorées. C'est donc faire une hypothèse à priori sur

la nature de ces causes, que supposer qu'elles agissent alternativement dans les deux sens. Il est évidemment plus rationnel, quand un événement s'est déjà répété souvent, de conclure, au contraire, qu'il existe quelque chance inconnue qui favorise son arrivée.