ÉVÉNEMENT

§ 54. — Dans les applications les plus nombreuses, et on peut dire aussi les plus importantes du Calcul des probabilités, les rapports des chances, qui servent de mesure à l'action des causes dont dépend la production des événements, ne sont pas connus à priori. On ne pourrait donc former aucune prévision sur les résultats d'épreuves ultérieures, si l'on ne savait déduire, des expériences déjà faites, des évaluations plausibles sur ces rapports, c'est-à-dire sur la probabilité de l'action des causes. Les procédés qui ont pour but de déterminer la probabilité des événements à venir d'après les résultats des épreuves antérieures, constituent le calcul des Probabilités à posteriori.

Dans tout ce qui suit, les causes doivent être consi-

dérées comme s'excluant mutuellement ; une cause est donc ce qui attribue une probabilité déterminée à l'événement à venir. Ainsi si cet événement peut avoir, à nos yeux, toutes les probabilités possibles depuis 0 jusque 1, le nombre des causes est considéré comme infini.

Nous nous occuperons d'abord du cas où ce nombre est limité.

Pour prendre un exemple, imaginons qu'on ait des urnes renfermant toutes trois boules; mais les unes renfermant trois boules blanches, les autres deuxbOules blanches et une noire, et d'autres enfin, d'une troisième catégorie, renfermant une boule blanche et deux noires. Les urnes des trois catégories sont en même nombre. On a trié une urne au hasard et ensuite extrait au hasard une boule de l'urne. Cette boule s'est trouvée blanche : quelles sont les probabilités que l'extraction s'est faite dans une urne de la première catégorie, ou de la seconde, ou de la troisième? cest-à-dire que la cause mise en action a été celle qui attribue à Tévéne-

ment réalisé la probabilité 1, - ou -?

Puisque les urnes de chaque catégorie sont en même nombre, la probabilité de puiser dans une urne de l'une

ou l'autre catégorie est -, et par conséquent, à priori

(§ 15), la probabilité d'amener une boule blanche est avant toute épreuve :

Si l'on désigne respectivement par Aj, Ag, A3, les

événements consistant dans l'extraction d'une boule blanche d'une urne de la première, de la deuxième et de la troisième catégorie; et si l'on répète un grand nombre m de fois l'épreuve qui consiste dans le triage fortuit, suivi d'un tirage pareillement fortuit, le nombre

des événements Ai sera sensiblement - m : celui des ^ 3 ^

événements Ag sera à très-peu près égal à - m ; et enfin celui des événements A3 ne différera guère de

Réciproquement on doit admettre que, si une boule blanche a été extraite sans qu'on sache de quelle urne, les probabilités, qu'elle provient d'une urne de la première, de la deuxième ou de la troisième catégorie, sont entre elles, dans le rapport des nombres 3 : 2 : 1. D'ailleurs, la somme de ces probabilités à 'posteriori doit être égale à l'unité, puisque l'une des trois hypothèses a nécessairement lieu. La probabilité que la boule extraite provient de la première, de la deuxième ou de la troisième urne, est donc égale au nombre correspondant à chacune de ces urnes divisé par la somme des trois nombres, ou à 3 2 1

§ 55. — Cet exemple fait comprendre le sens de la règle suivante, attribuée au géomètre anglais Bayes [Phïl. Transact., 1763, p. 370) : « Les probabilités « des causes (ou des hypothèses) sont proportionnelles « aux probabilités que ces causes donnent pour les évé- " nements observés. La probabilité de l'une de ces

« causes ou hypothèses est une fraction qui a pour « numérateur la probabilité de l'événement par suite « de cette cause, et pour dénominateur la somme des « probabilités semblables, relatives à toutes les causes « ou hypothèses. »

Pour démontrer ce principe d'une façon générale,

représentons parpi, pz, Ps p^--- les probabilités

que les diverses causes possibles donnent à l'événement observé, et par h^, h^.... h^ les probabilités

de ces causes ; soit, en outre, H„ la probabilité que, avant toute épreuve, l'événement observé soit dû à la cause à laquelle correspondent h^ et jo„ : on aura, d'après le principe des probabilités composées, Yi =h xp .

Il 11 n

Mais si X„ est la probabilité que l'événement qui a eu lieu est dû à la cause considérée, on aura de même H„ égal à la probabilité calculée avant l'épreuve, que cet événement aura lieu, multipliée par X„, c'est-à-dire :

d'où

XP,

Xp n

§ 56. — Ces préliminaires étant très-importants, prenons un second exemple.

On a tiré successivement d'une urne trois boules blanches et une noire, en ayant soin (comme nous le

supposons toujours) de remettre chaque fois la boule sortie : on sait d'ailleurs que le nombre total des boules est 4. On pourra faire, sur la constitution de l'urne, les trois h^'-pothèses ci-dessous :

3 boules blanches 4 boule noire : P = ti î = 7

La probabilité de Yévénement, composé de la sortie

de 3 boules blanches et de 1 noire (§ 23), sera dans les

trois hypothèses,

Les probabilités des trois hypothèses sur la constitution de l'urne sont donc entre elles comme 27 : 16 : 3, et valent respectivement