MOO
Lorsque la population devient stationnaire , on a g == 1 , et la formule précédente se transforme en celle-ci :
P = N + V,-fV, + V3+.... + V,oo.
Elle ne diffère de celle du § 84, qu'en ce que N remplace ici - N ; et on la ferait concorder avec la première, qui est plus exacte, en substituant aux âges 0, 1, 2, 3... ans, la moyenne arithmétique entre deux années consécutives . On obtiendrait ainsi
.P = ^j(N+Vx)+(V,+V,)+(V,4-V3)+....+(V99+ViJ+(V,oo+Vioi)j
P=^^N4-V, + V3 + V3-f ....+Vioo .... (C)
Posons Vi = N i?i; Vj = N î52---- etc., en représentant par Vi, Vt.... les rapports entre les survivants aux différents âges et le nombre des naissances : les équations (C) et (C) deviendront
P = N -H-Ui + i;2 4-V3 + ....H-Uioo •••• (^')
Or, d'après ce qui a été vu au § 85, le polynôme qui multiplie N dans cette dernière équation exprime la durée moyenne de la vie à partir de la naissance. On peut donc obtenir cette durée " en divisant le chiffre de « la population par celui des naissances annuelles «. En faisant usage des documents statistiques relatifs aux années 1841 à 1845 inclus, je trouve ainsi que la vie moyenne en Belgique est de 31"% 086 à partir de la naissance (abstraction faite des morts-nés). Ce nombre diffère très-peu de celui qui a été calculé, § 85, au moyen de la table de mortalité.
§ 89. — Au nombre des causes qui exercent une action constante sur l'accroissement de la population d'une contrée, il faut placer la fécondité propre à l'espèce humaine, la salubrité du pays, les mœurs, l'état social, les lois civiles et religieuses de la nation que l'on considère. Les causes variables résident dans la difficulté croissante qu'éprouvent les habitants à se procurer des subsistances, lorsqu'ils sont devenus assez nombreux pour que toutes les bonnes terres se trouvent occupées. Nous faisons abstraction des causes accidentelles, comme les grandes guerres, les épidémies, etc.
Sous l'influence des causes constantes, la population doit croître en progression géométrique : ce fait, évident d'ailleurs par lui-même, a été démontré § 86. Les Etats- Unis nous offrent un exemple de cette grande vitesse
d'accroissement : on y comptait, d'après les recensements
officiels :
En 1790 3,929,827 âmes.
Ces chiffres montrent que la population y est plus que doublée tous les 26 ans. La cause constante est l'étendue presque illimitée des espaces à coloniser, mais on voit déjà le coefficient d'accroissement diminuer à mesure que les zones occupées grandissent. Or, si la population, p, croît en progression géométrique, tandis que le temps, t, croît en progression arithmétique, ce qui paraît rationnel s'il n'existe aucune cause qui entrave son développement normal, on aura :
a/ = log-
a et ^ étant des constantes indéterminées. Il en résulte
j, = k. lo'*'.
Soit p' la population correspondant au temps t' : il viendra p' = k. 10**^ ;
d'où . p=p.. lO'*'*"'^
et, si l'on désigne par Pq la population existant au moment où l'on commence à compter le temps, l'équation précédente deviendra
p=Po.lO'" .... (4)
' Y compris le Texas.
La courbe de la population est donc alors une logarithmique, dans laquelle les abscisses et les ordonnées représentent respectivement les temps écoulés et les populations correspondantes ; l'ordonnée à l'origine étant Pq.
Différentiant l'équation (4), et désignant par M le module par lequel il faut multiplier les logarithmes népériens pour les convertir en logarithmes vulgaires,
Différentiant une seconde fois, on trouve d^p a^p d^~lF'
ce qui fait voir que la courbe tourne constamment sa convexité vers l'axe des abscisses.
En supposant, avec Malthus, que p devienne 2jo, lorsque t devient ^ -j- ^^» l'année étant prise pour unité, on a les équations
2;,=Po.iO«'-^''";
ap^apo-io*"
d'où
et enfin
0 = ^ log 2 = 0,0120412.
L'équation trouvée plus haut dp ap 'dt~lî
donne, en remplaçant les infiniment petits dp, dt^ par les quantités très-petites Ap, A^,
M A;) =« ap A/ ;
et si l'on prend A^ pour l'intervalle dune année, Ap a
^ mesure donc ce qu'on peut appeler l'énergie avec laquelle la population tend à se développer naturellement. Aujourd'hui, dans toute l'Europe, le coefficient - va sans cesse en s'affaiblissant.
§ 90. — On peut faire une infinité d'hypothèses sur
la loi d'affaiblissement de ce coefficient -. La plus
simple consiste à regarder cet affaiblissement comme proportionnel au rapport de l'accroissement de la population noriinale Pq (c'est-à-dire de celle qui existait au moment où les causes restrictives du développement naturel ont commencé à se faire sentir) à la population existante. L'excédant jo — Po est la population nommée parfois surabondante.
Dans cette hypothèse, l'équation
-pàL M
deviendra
n dénotant un coefficient numérique. On en tire
M dp ap — np -{- nP^ nPo — (n — a) p
p di p P '
faisant n — a = m; wPq = m P, il vient
j Mdp
• i . X , r, U C dp M , ,
mteffrant, t + Const. = — i— = Log (p — F) :
° mj p — F m
(nous désignons un logarithme népérien par Log et un logarithme vulgaire par log.). — On obtient donc en
définitive ^ ^ Const. = 1 log (p - F).
' Pour déterminer la constante, supposons que pour t = 0 on ait ^ = /Joî il viendra
Const. = — - log {p^ — F),
et par conséquent
t = -\ Iog(po — F) - Iog(p- F)
OU, sous une autre forme,
log(F-p) = log(F-po)-rn^ .... (6)
La courbe de la population, c'est-à-dire celle dont chaque point aurait le temps pour abscisse et la population correspondante pour ordonnée, est donc encore une logarithmique. En mettant son équation sous la forme
mt
on voit que, pour l'ordonnée finie
nFo
on a l'abscisse t = ce : cette logarithmique a donc une asymptote parallèle à l'axe des abscisses, et qui s'en éloigne d'une quantité P, égale à la population maximum.
Nous ne considérons pas ici la période de temps qui correspond à l'accroissement en progression géométrique. Si on voulait la comprendre dans une courbe totale, celle-ci se composerait de deux logarithmiques, se raccordant au point qui a pour ordonnée Po, et dont la seconde serait placée inversement à la première, par rapport à l'axe des abscisses.
Je dis qu'elles se raccordent ^ car l'équation de la première logarithmique donne, pour^ = Pq,
et l'équation (5) fournit, dans la même hypothèse,
dp c P„ — ?iPo 7iPo a
dt
Po.
Ces deux courbes ont donc une tangente commune au point dont l'ordonnée est Pq. Leur ensemble donne la figure ci-contre. La population des États-Unis pourrait être regardée comme parcourant encore la branche A B ; celle des contrées de l'Europe est depuis longtemps sur la branche B C.
§ 91. — Pour déterminer les trois constantes m, P et po» nous supposerons que la courbe représentée par l'équation (6) passe par trois points qui aient respectivement pour abscisses et pour ordonnées to,ti,2ti, etpo, Pi, p-2- Cela admis, on déduit immédiatement de l'équation (6), en y remplaçant i par t^, puis par 2 t^; p par^i, puis par jo^ :
^ m ""X^ — pJ d'où, éliminant m,
log(P-yo)-log ^p p^^* OU, passant aux nombres,
Vi—VoVi
2Pi — iPo + Pi)
Connaissant P, on aura m par la formule
Les équations (6), (7) et (8) fournissent la solution du problème dans lequel on se propose de déterminer ce que devient une population donnée, après un temps quelconque. Pour en faire l'application à la Belgique, nous adopterons les éléments suivants, fournis et discutés par M. Verhulst (voyez Mémoires de V Académie royale des sciences de Belgique, t. XX).
Au !•' janvier 4815, ^o = 0; Pq= 3,627,253.
— 1830, /i = 15; Pj = 4,247,113.
De ces chiffres on déduit, en prenant pour unité de population le million d âmes, et pour unité de temps la période décennale :
P = 9,439000 m = 0,0326563 log (P — ;>) = 0,7643107 — 0,0326563 1.
D'après cela, le maximum de population de la Belgique serait d'environ neuf millions quatre cent mille âmes.
Mais il n'est pas douteux que les progrès économiques, la facilité croissante des communications et des transports, etc., tendent à rendre possible une population plus grande. On le reconnaît en déterminant P à l'aide des données statistiques plus modernes.
Au l" janvier 1855, la population était de 4,584,922.
Ces chiffres donnent :
Ainsi, dans les conditions économiques plus favorables déjà réalisées, le maximum s'est élevé depuis 1845 de plus de 4,000,000. Peut-on fixer une limite à l'accroissement qu'il prendra encore ? Quoi qu'il en soit, cet accroissement, calculé par périodes successives, serait peut-être un des meilleurs éléments pour l'appréciation de la facilité d'existence acquise aux masses pendant les périodes correspondantes.
§ 92. — La table de mortalité permet de calculer la prohabilité de la coexistence de plusieurs individus
