PRÉCISION DES FONCTIONS
§ 122. — On détermine de la même manière qu'au § 120 la précision de la somme algébrique de plus de deux quantités observées. Ici, on aura évidemment
± £ = =b e' ± E" db £'" ... ± En ;
ou bien, en suivant notre notation habituelle,
Élevant au carré, et observant que tous les doubles produits doivent disparaître comme affectés du double signe, on aura
On en déduit, comme ci-dessus,
P p'^f'^p'"^ ^pn
OU
P [pj-
p'p"p"' ...pn
(nv.) (nv«)
Pour le cas particulier où les observations, en nombre n, sont d'égale précision, on a
Ces dernières formules résument un théorème bien important dans la pratique, savoir :
« Toutes les parties observées étant également pré- « cises, la précision de leur somme algébrique diminue, « par leur assemblage , comme la racine carrée du « nombre des parties augmente ; et le nombre d'obser-
« valions nécessaires pour obtenir une même précision « croît comme le nombre des parties. »
Supposons que, pour déterminer la différence de longitude entre Bruxelles et MannJieim, on ait besoin de quatre stations intermédiaires : il faudrait, à chaque station, plus de 350 signaux, pour avoir une précision égale à celle que Gerling a obtenue (§ 121) entre Gôtiingen et Mannheim.
Lorsqu'on doit mesurer un angle par parties, il faut, pour l'obtenir aussi exactement que si on l'avait observé d'un seul coup, répéter chaque partie autant de fois qu'il y a de parties.
La même chose se présente dans la mesure des bases : toutes circonstances égales, les longues règles sont préférables aux petites.
Il est clair qu'il y a avantage à ce que toutes les parties soient également exactes ^ car si l'on suppose que la somme des poids soit constante, c'est-à-dire que le nombre total de mesures des différentes parties reste le même, la valeur de P (n""') sera la plus grande possible quand on aura :
f r=p" ^p"' ^piy ....=pn
ce qui donne, comme on devait s'y attendre,
Si tous les termes sont égaux à l'exception d'un terme p„ plus petit que les autres, et égal à^ (g- étant
PRÉCISION d'une fonction LINÉAIRE. 343
> 1), alors l'expression de - peut se mettre sous la
forme , »'
et par rapport au cas où tous les p étaient égaux, P diminue dans la proportion de n k [n -\- q — 1). Ceci montre que l'intervention d'une partie moins exacte que les autres est d'autant plus pernicieuse que les parties sont en moins grand nombre ; nous ne serons donc plus étonnés maintenant de la petitesse de P dans le premier exemple du § 121, puisque là, pour deux parties seulement, on avait ç' > 4.
Enfin, lors même que toutes les parties sont égales en poids, l'expression
montre encore que le nombre de ces parties doit être aussi petit que possible.
Ces remarques sont particulièrement d'application dans la pratique du nivellement.
§ 123. — Arrivons maintenant à la fonction u ^ a' o' .
o' a été observé directement; a' est un coefficient connu, de sorte que u est un multiple connu de o' . — Nous avons dans ce cas
w,±e = a'(o'±e'); d'où s' = a'n'*;
£ = zb a' e' • ... (n^J
P = ^... (nx.)
Nous avons insisté sur ce que d était multiplié par le coefficient a'. En effet, ce coefficient peut, en général, avoir deux significations : l'une, que nous venons de donner; l'autre, qui indique que o' doit être ajouté plusieurs fois à lui-même. Au point de vue qui nous occupe, ces deux cas diffèrent essentiellement; car, en adoptant la dernière signification, o' aurait été observé a! fois l'une après fautre, et u se composerait de a' parties égales, observées isolément : nous retomberions donc dans le cas particulier du § 117 et nous aurions alors ,
Pour mieux faire saisir cette différence, supposons que nous voulions connaître la longueur d'une colonnade régulière, en mesurant seulement un des 32 entrecolonnements qui la composent : nous aurons dans ce cas „^ ,
tandis que, si nous avions mesuré successivement tous les entre-colonnements et que nous les eussions additionnés, nous aurions eu, en supposant que l'erreur moyenne d'une mesure résultant des 32 mesures faites fût aussi e',
Le temps qu'on gagne dans le premier cas est donc compensé par une réduction de plus des 4/5 dans la précision.
PRÉCISION d'une fonction LINÉAIRE. 345
Le but d'une triangulation est en général de calcule?^' une longueur l, au moyen d'une base -, mesurée directement. Soit e l'erreur probable de l'unité de longueur, celle de la base sera
m et comme la longueur calculée est déduite de la base par voie de multiplication, son erreur probable sera.
ylm ,
(en supposant les angles parfaitement observés). Si l'on avait mesuré directement la longueur l, l'erreur probable de cette mesure n'aurait été que e y/l : on en conclut que, lorsqu'on veut obtenir une longueur le plus exactement possible, il faut la mesurer directement et sans le secours de triangles ; mais ce procédé, très-incommode dans tous les cas ordinaires de la géodésie, est presque toujours entièrement impraticable.
Si l'erreur probable de la base devenait |Xm fois plus petite, celle de la longueur calculée se réduirait à t\/^l : ainsi, il faudrait mesurer m fois la base et prendre la moyenne des m résultats, pour en déduire la longueur l^ aussi sûrement que par une mesure directe.
§ 124. — Le paragraphe précédent renferme la solution de cette question : ^ Déterminer la précision " d'une fonction linéaire quelconque de plusieurs quan- « tités observées. »
Soit M = a' o' + a" o" + a'" o'" + ... ,
les coefficients a', a" , a'" .... devant toujours être considérés comme niultiplicateurs.
Conformément à la marche déjà suivie, nous aurons
ît + £ == a' o' + a' e' + a" o" + a" t" + a'" o'" + a'" ?.'" + ... ;
d'où e« == a'* £'« + a"* e"* + a'"« e"'« + ... ,
en négligeant tous les produits de la forme 2a' a" &'&". Nous aurons donc, en définitive,
e=±:[/[a*e*] ... (nx")
Pour le cas particulier où e' = e" ^ e'" ... et par suite p' =z p" = jf ... il vient
-=^ ... (nxvi)
Eœemple. — Pour les petites triangulations locales qu'il a faites dans la Hesse électorale, Gerling nous apprend [Beitrage zur Géographie von Kurhessen) qu'il employait à la mesure de ses bases cinq règles d'une toise, une règle de 3 pieds, une de 2 pieds et une de 1 pied. En les étalonnant avec la toise du Pérou, il avait, par des opérations réitérées, déterminé nonseulement la correction de chacune de ces mesures ,
PRÉCISION d'une fonction LINÉAIRE. 347
mais encore Yefreur moyenne de chacune de ces corrections. Ce travail lui avait donné :
Ti = 1 toise + 0,0156 ligne ... e, = 0,0008
Ta = 4 h 0,0302 — e^ = 0,0006
T5 = i 1-0,0075 — ej = 0,0010
/, = 3 pieds — 0,045 — tj, = 0,0003
/j = 2 h 0,002 — Tij = 0,0002
^3 = 4 h 0,001 — Ti3 = 0,0001.
Il procédait, dans la mesure d'une base, par portées de cinq toises, et à la fin de l'opération, il plaçait les trois dernières règles, s'il y avait lieu. Outre les s, il y a encore ici deux espèces d'erreur à craindre : 1" celles qui se répètent à la pose de chaque règle, et que Gerling estime au plus à 0"^-,01 == l; 2° celle qu'on commet aux extrémités de la base, et qu'il porte au moins à 0»«-,15 = Z'.
Une base ayant été mesurée, on peut, de sa longueur, déduire le nombre de fois que chaque règle a été portée. Ainsi, pour une longueur plus grande que 12"" S"" et plus petite que 13 toises, Tj et T2 ont été portées chacune trois fois; T3, T4, T5, deux fois; ifi, ^2» une fois. Les carrés de ces nombres doivent donc (n""') être multipliés par les carrés des e correspondants. De plus, l'erreur l se répétant à chaque pose, nous devons (n""") ajouter encore autant de fois t^ qu'il y a eu de juxtapositions, c'est-à-dire 13Z^, puisque 14 règles ont été posées; enfin, il faut en outre ajouter F, et extraire la racine carrée de la somme. Nous avons donc, en défini-
tive, pour Terreur moyenne de la petite base en question ,
d'où e = 0"«-,lS43.
On voit que les erreurs d'étalonnage et de juxtaposition disparaissent vis-à-vis de l', dans la mesure des petites bases. Il y a plus : on devrait faire entrer dans cette valeur de l' la difficulté de centrer rigoureusement les instruments goniométriques au-dessus des extrémités de la base, et alors on devrait probablement décupler la valeur de l\ et la porter à l"^-,5.
§ 125. — Nous arrivons enfin au cas général : « Déterminer la précision de m, lorsque u est une fonc- « tion connue quelconque des quantités observées o\
« o", o'" auxquelles nous attribuons les erreurs
« moyennes e', e", e'".... »
Pour résoudre ce problème, rappelons-nous que les observations étant supposées aussi exactes que possible, on peut considérer les erreurs accidentelles comme évanouissantes, ou infiniment petites vis-à-vis des grandeurs observées. Ces erreurs, aussi bien que les erreurs moyennes qui en dérivent, sont. donc de véritables différentielles des quantités observées.
Or, dans le cas le plus général,
F(îf, o', o", o'" ...) = 0,
une simple différentiation partielle nous permettra toujours d'exprimer du, en fonction de do' , do" , dd" —
PRÉCISION d'une fonction QUELCONQUE. 349
par une équation linéaire; et une fois les coefficients de cette équation formés, nous n'avons plus qu'à poser c?M = ± e ; c?o' = ± e' ; do" = ± e". . . pour retomber sur le dernier cas que nous avons traité (§ 124). Nous avons donc
Faisant ^ /'. ^" ]<>
et remplaçant les différentielles par les erreurs moyennes, on a
=t s = dr /' e' ± /" £" =b l'" t'" ...
Élevant au carré, et négligeant les doubles produits à cause du double signe dont ils sont naturellement affectés :
ou e = db^[/«£*] ... (nxvn)
Nous retrouvons ici nos deux formules (n'^" et n'^"'), avec la seule différence que, dans ces dernières, les a étaient connus à priori et donnés, tandis qu'ici nous devons calculer les l par différentiation et substitution. Si les quantités observées sont d'égale précision, nous aurons
z^t'l/ïpï ... (n""")
- = ■^-î- ... (nxx)
Le cas que nous venons de traiter englobe tous ceux dont nous nous sommes occupés dans ce chapitre, et il
eût peut-êtrer été préférable, sous le rapport analytique et au point de vue de la généralité, de commencer par lui, et d'en déduire tous les autres comme cas particuliers. Mais la marche syntliétique que nous avons suivie satisfait mieux l'esprit, par la clarté successive qu'elle amène dans le sujet.
Eœemj)le. — On a mesuré dans un triangle le côté A C = ô = 106"*, avec une erreur moyenne de 0'",06;
on a observé l'angle B = ^O^SO' par 4 répétitions, et l'angle C = 120''7', une seule fois. L'instrument goniométrique employé a une erreur moyenne de 2"^. — On demande l'erreur à craindre sur la longueur calculée du côté A B = c.
Conformément aux notations précédentes, nous avons :
Pour trouver nos l', l", l'" , difFérentions la fonction
b sin c
sin 6
il vient
de = ^ db — c. Cotg B dB + c . Coti? C dC . sinB ^ ' ^
Dans cette formule, db est un nombre qui exprime une petite grandeur linéaire; rfB, dC sont des nombres
PRÉCISION DU CALCUL d'uN CÔTÉ DE TRIANGLE. 351
abstraits, représentant de petits arcs, en fonction du rayon pris pour unité : si nous voulons que dB et dC expriment des minutes, ce qui est plus naturel, vu la forme de e" et e"', il suffira de multiplier ou de diviser par sin 1'. — Nous avons donc
/' = !^ = -f 4,749 ... /'* = 3,059001 ; sin B
r=— c.CotgB sin 1'=— 0,095 ... /"« = 0,009025;
r'= c. CotgC sin 1' = — 0,031 .../'"* = 0,000961.
Introduisant enfin ces valeurs dans notre formule (n^''"),
en y faisant e'=: 0,06 ; e"= 1 ; e'"= 2 (nombres abstraits),
il vient
Si nous avions désiré connaître la précision du
3® angle conclu, A = 30" 14', nous aurions déduit de
l'équation
en nous servant de la formule générale,
/'=—!; /" = — 1 ; d'où (nxvu) e = |/B = 2',236 = 2' 14" ;
OU bien, par les poids,
ce qui donne ■ yïï
Le poids trouvé correspond à une unité pour laquelle l'erreur 1 est égale ici à une minute.
Répétons à ce propos qu'il est toujours indispensable d'accompagner l'expression du poids de l'indication de l'unité d'erreur correspondante. Le paragraphe suivant corrobore cette observation.
§ 126. — Lorsqu'on a, comme dans l'exemple précédent, des grandeurs hétérogènes à combiner, et qu'on veut opérer par le moyen des poids, il faut avoir soin de se rappeler qu'on calcule, non pas avec des quantités concrètes, mais avec les nombres qui les représentent ou qui expriment leurs rapports avec l'unité arbitraire qu'on a choisie pour chaque espèce de grandeurs. Le plus simple sera souvent de prendre pour unité de poids, dans chaque espèce, l'observation dont nous avons résolu de prendre l'erreur moyenne pour unité arbitraire.
Voulons-nous, par exemple, prendre l'observation de l'angle B pour unité de poids des observations angulaires, parce que son erreur moyenne est 1 (minute)? l'unité de poids des mesures linéaires sera l'observation qui a pour erreur moyenne 1 (unité, généralement le mètre). Cela posé, le calcul doit s'effectuer sur les nombres abstraits (ou sur les rapports des grandeurs à ces unités); et il suffit d'ajouter à la fin de l'opération la désignation de la grandeur obtenue. L'exemple précédent se disposera donc ainsi :
^' = kàj-' ^"-'■- "—r
P [pi
d'où enfin
avec la désignation mètre (si le mètre est l'unité linéaire). Si nous avions préféré prendre pour unité de poids
