APPLICATION A LA DÉTERMINATION DES LONGITUDES

La valeur de P montre que, pour obtenir l'angle u, il aurait mieux valu l'observer lui-même, avec 5 répétitions, au premier théodolite, que de le former, comme on l'a fait, à l'aide de 55 répétitions. Le bon sens pouvait faire prévoir vaguement un résultat analogue; mais le calcul seul peut donner une appréciation exacte du désavantage de la première méthode.

Deuxième exemple. — Quand on veut déterminer la différence de longitude entre deux lieux, par des signaux de feu visibles à la fois de ces deux stations elles-mêmes, on doit commencer par apprécier, comme nous l'avons fait dans le premier exemple du § 117, l'erreur moyenne d'une semblable observation double. L'expérience a appris qu'elle peut être estimée à 0^,4, lorsqu'on a eu soin d'éliminer toutes les causes constantes d'erreur : on aura donc l'erreur moyenne de la différence définitive entre les longitudes, en divisant 0^4 par la racine carrée du nombre des observations.

Mais supposons qu'on veuille employer à la même détermination les signaux de jour donnés par l'héliotrope : ceux-ci ne peuvent pas être vus en même temps des deux stations, et il faudra, pour tourner la difficulté, choisir entre deux méthodes. Ou bien placer deux héliotropes à la station intermédiaire, et donner de chaque côté des signaux simultanés, ce à quoi l'on peut parvenir; ou bien, employer un seul héliotrope, près duquel on place un aide muni d'un chronomètre : il observe un signal dirigé vers le premier lieu, puis un signal dirigé vers le second, et la différence des

longitudes s'obtient en ajoutant les différences entre les heures du chronomètre et entre celles des deux lieux.

Laquelle de ces deux méthodes faut-il préférer? La réponse est facile; car si l'erreur moyenne d'une double observation entre l'une des stations extrêmes et la station intermédiaire est de 0%4, la somme de deux

doubles observations semblables aura pour poids -, et

la seconde méthode exigera, pour donner une égale précision, deux fois plus d'observations que la première.

Troisième exemple. — Gerling a déterminé la différence de longitude entre Gôttingen et Mannheim de la manière suivante, à défaut d'une station intermédiaire, visible de ces deux villes à la fois. Il fit donner de 4 en 4 minutes des signaux sur le Meisner et le Feldherg, et les observa du Frauenberg. La différence de longitude entre Gôttingen et le Frauenberg fut déterminée au moyen de 256 observations doubles, par l'intermédiaire du Meisner; celle entre le Frauenberg et Mannheim, par 136 signaux donnés sur le Feldberg. Donc la différence de longitude entre Gôttingen et Mannheim, qui est la somme des deux, a pour poids (n")

elle est, par conséquent, aussi exactement déterminée que si 89 signaux avaient été donnés sur une montagne visible de ces deux villes à la fois.