Ce résultat a été obtenu dans l'hypothèse
une question se pose : la loi de Gauss est-elle la seule pour laquelle ce résultat se produit? C'est la seule. Cherchons la valeur probable de
f>-«(yo-r)* Par définition c'est
/ ^fLe-i^y- e--«(yo-r)' dy.
On peut calculer directement cette intégrale; on peut aussi développer e""'^*"^'* en série convergente pour toutes les valeurs de /,
e-"^y<^-y)*=:ikpyp.
D'où
De même, avec une autre fonction <p que celle de Gauss,
Par hypothèse, les valeurs moyennes de y'^P seraient les mêmes dans les deux cas. Le rapport des deux intégrales serait donc i.
Comme ce rapport reste le même quel que soit /i, servonsnous d'un théorème précédemment démontré.
La limite du rapport
quand n croîtra indéfiniment, sera
si, dans les limites de l'intégration, 9(7) atteint son maximum pour/ =7o.
Ici e-"ir-ro)' atteint son maximum pour /= /o»* ^a limite du rapport des deux intégrales est
9(7o) Gomme ce rapport resté toujours égal à i
/o étant tout à fait quelconque, c'est dire que la loi de Gauss est la seule qui donne à j-^ la valeur probable que nous avons vue.
135. Supposons que la loi des erreurs soit quelconque. On a fait n observations, ayant donné n erreurs indivi-
JUSTIFICATION DE LA LOI DE GAUSS. igS
duelles /i, /ai • • -, Jn- Prenons la moyenne des observations : nous commettrons une erreur, qui sera la moyenne -des erreurs individuelles,
/iH-724-...-l-/„ n
Gauss s'est proposé de calculer la valeur probable du carré de cette erreur; c'est par définition
/'P(/.)l'(/.).--9(/.)(-^'"^-^'");"""^-^'')V.«(r.-rf/n-
Je développe ce carré
La valeur probable cherchée sera
La valeur probable du produit /i/a est/i x/a; comme les fonctions y^ et /a sont impaires, /i et /a seront nulles. 11 reste donc
L'intégrale se ramène à une somme de /i intégrales; mais chacune d'elles porte sur la même fonction
ragltipliée par y\dy^^ ou y\dy<,, . . ., ou yXdy^. C'est donc la même intégrale aux notations près.
Donc la valeur probable du carré de l'erreur est
Ainsi la valeur probable du carré de l'erreur commise est le carré de la valeur probable d'une erreur individuelle divisé par n.
Celte propriété suffitpour justifier l'emploi des moyennes; elle a lieu quelle que soit la loi des erreurs.
Toutefois, comme nous l'avons vu au Chapitré précédent, la loi de Gauss est la seule pour laquelle la moyenne soit la valeur la plus probable.
Avec toute autre loi, la moyenne deviendra de plus en plus probable quand les observations deviendront de plus en plus nombreuses, mais elle ne sera pas la valeur la plus probable.
