AB — G
CHAP. IX. ERREURS DE SITUATION d'uN POINT. 235
180. Les constanles A", A:' et X étant connues pour une certaine arme et pour un certain tireur, si l'on pose
la probabilité pour que la balle soit placée entre les deux ellipses qui correspondent aux valeurs H et H + dH sera (178)
La probabilité pour que la balle frappe en dehors de Tellipse correspondant à une valeur H« du paramètre est
«Al.
Si l'on pose
Hi = 0,69315,
la probabilité sera 5. L'ellipse correspondant à celte valeur de H| contiendra, si les coups sont nombreux, la moitié des points frappés à très peu près.
Si Ton donne successivement à-H les valeurs
o, io536,
les neuf ellipses semblables correspondant à ces valeurs du paramètre partageront le plan en dix régions contenant chacune , vraisemblablement sur un très grand nombre de coups, la dixième partie à peu près du nombre des balles. La première de ces régions est la plus petite des ellipses^ la dernière est la portion du 3lan située au delà de la plus grande.
181. A chaque point frappé par la balle correspond une valeur de H. La valeur probable de H est
Telle doit donc être, avec une probabilité d*au tant plus grandeqac les épreuves seront plus nombreuses, la moyenne des valeurs de H correspondant aux points frappés.
182. Une question fort importante doit rester indécise. Quelle est, dans un concours de tir, la règle à conseiller pour juger les tireurs? Le problème ne me semble pas comporter de solution absolue.
Si les balles tirées par deux concurrents peuvent être classées de telle sorte que chaque point frappé par le premier soit plus près du centre que le point correspondant frappé par le second, la décision semble facile. Dans ce cas-là même, si les différences sont petites, le tireur dont les balles sont moins approchées du but peut quelquefois prétendre au premier rang, en alléguant 1 unportance d'un écart horizontal plus grande que celle d'un écart qui laisse la balle dans Talignement vertical.
Il semble naturel, à première vue, de mesurer le mérite don tireur par la surface de Tellipse à Tintérieur de laquelle il J * probabilité donnée de voir la balle se placer.
La valeur de la différence
représenterait alors le mérite de chacun.
Cette appréciation peut, dans des cas extrêmes, qui, trèsprobablement, ne se sont jamais présentés et ne se présenteront jamais, donner des conséquences inacceptables.
Si Tun des tireurs plaçait toutes ses balles sur une ligne droite passant par l'origine des coordonnées qui sert de but, la règle proposée lui assignerait le premier rang, quelle que fût la distance de ses balles au centre de la cible. La surface de l'ellipse
CHAP. IX. ERREURS DE SITUATION d'uN POINT. 23^
àracléris tique serait nulle, en effet, dans ce cas qui, véritablelent, n^est pas à craindre. Il suffit qu'il soit possible pour conamner la règle. La théorie n'en reçoit aucune atteinte.
183. Si Ton regardait a priori toutes les directions comme in- Lfférentes, il faudrait supposer X = o, X: = Ar'; la probabilité pour •apper la cible à une distance comprise entre R et R-+- rfR serait
2A:ïe-*«R«Re/R.
La valeur probable de R et celle de R^ seraient ^ et —n\ elles
eprésentent, pour un grand nombre d'épreuves, la valeur moyenne les distances au centre de la cible et celle de leurs carrés.
Si dans un concours de tir on accorde le premier rang au tireur )our lequel une des deux moyennes désignée à l'avance a la plus >etile valeur, les deux règles, si les épreuves sont nombreuses, lonneront le même résultat; celui des tireurs pour lequel A* a la plus grande valeur sera certainement vainqueur.
Si les épreuves sont peu nombreuses, le concours devient un jeu de hasard dans lequel, comme il est juste, un avantage est fait iu plus adroit. La valeur de k, déduite de la moyenne des distances au centre de la cible, mérite moins de confiance que celle ^ui résulte des carrés. Le rapport des carrés des erreurs à craindre 5ur/r, dans les deux hypothèses, se calculera comme (152); il est %alà i6— 4ti.
184. La difficulté, on peut dire même l'impossibilité de donner ^ne règle précise de préférence entre deux séries de coups résulte d une autre circonstance encore. Les formules précédentes supposent que, sur un grand nombre de coups, le centre de gravité des points frappés coïncide avec le centre de la cible. Nous avons écarté, en un mot, les erreurs constantes. Elles ne sont jamais "Nulles cependant, et, quand un grand nombre d'épreuves auront ^té faites, l'examen du mérite de leur ensemble devra commencer parla détermination du centre de gravité du système des points frappés. La distance de ce centre à celui de la cible représentera
avec une grande probabilité la partie constante de Técarl. Pour déterminer les constantes caractéristiques /r, k! et \ on devra rapporter les coordonnées des points frappés à deux axes ajant pour origine le centre de gravité. Le mérite d'un tireur se trouvera ainsi déGni par cinq paramètres : les deux coordonnées a et b du centre de gravité G de l'ensemble des points frappés et les constantes A*, k\ X, déterminées au moyen des coordonnées prises par rapport à des axes passant par le point G. La somme a*+i* pourrait mesurer Tim perfection systématique de l'arme employée ou le défaut constant du tireur dans sa manière de viser, et la différence k'^k'^ — X^ représenterait la précision. Le tireur est d'autant plus habile que ces quantités sont plus petites, mais il est impossible de leur assigner une importance relative.
Supposons deux tireurs, Pierre et Paul, ayant tiré chacun 100 balles. Les balles de Pierre sont toutes à o",! du centre de la cible dans un cercle de o"*,o5 de rayon. Il y a dans sa manière de tirer une cause d'erreur commune à tous les coups; à cela prè^» son tir approche de la perfection.
Paul, au contraire, n'a pas dans son tir d'erreur systématique Les points frappés par ses balles entourent le centre de la cibl ils sont tous dans un cercle de o",i5 de rayon.
Entre ces deux tireurs, dont l'un tire avec plus de précisio mais dont l'autre est exempt de toute erreur systématique, qu ^ est le plus habile? La question ne peut être résolue. On pourra»la comparer à la suivante : Deux chronomètres ont été étudié -^ Lorsque la température est constante, la marche du premier e plus régulière; mais si l'on échauffe ou refroidit l'enceinte, il st — 'bit une influence plus considérable. Comment décider la préf*^ rence méritée par l'un d'eux?
Le problème est évidemment impossible à résoudre.
183. J'ai appliqué les résultats précédents à l'examen 1000 coups tirés par des tireurs habiles à aoo" de distance ar«^' dix armes de même modèle, chaque tireur tirant dix coups ar^^ chaque arme.
CHAP. IX. ERREURS DE SITUATION D UN POINT
Le centre de gravité des looo points frappés avait pour coordonnées
on a trouvé, en nommant w et i^ les coordonnées par rapport à des axes passant par ce centre de gravité, pour Tensemble des points frappés.
Les équations
5if!
2(A:U-'*— Xî)
donnent
L'équation d'une ellipse d'égale probabilité est
k^u^-^^.liw-hk'^v^^ II;
à chaque point du plan correspond une valeur de H. En faisant le calcul pour les 1 000 points frappés par les balles, on a formé le Tableau suivant :
Tir de 1000 balles. — Valeurs de H.
,oo3
,oo3
Oj
,oo4
Oi
,oi3
,oi3
,Il5
,oi5
,oiG
Oj
Oi
0)97^ 0,976 0,977 0,978 0,990 0,993 0,995 0,998 ,002 ,oo5 ,016 ,020 ,024 ,024 ,028 ,037 ,0'4l
3oo 3o2 3o6 3io 3i5 3i5
on 1»
