LL

e-k^ u^-i\uu-k'* v'dudv-\.

Il faut bien, en effet, que les erreurs aient des valeurs comprises entre — oo et -I- oo, et la somme des probabilités relatives à toutes les erreurs possibles est égale à l'unité. Posons

à chaque valeur de H correspond une ellipse dont la surface est

Tous les points de la couronne comprise entre les ellipses correspondant aux valeurs H et H + dR du paramètre ont même probabilité, et la somme des probabilités relatives aux éléments de

cette couronne est

TzdH

Gc-n

le facteur — r représentant la surface de la couronne.

La condition (5) devient

et, comme

on déduit de (5)

G= iv/^U-'«— X».

La probabilité pour que le point se trouve entre les deux ellipses qui correspondent aux paramètres H et H -f- rfH est

i79. La formule précédente s'applique à la probabilité des écarts dans le tir à la cible.

La première question à résoudre dans l'étude des questions relatives à une arme donnée et à un tireur qui en fait usage est de déterminer pour cette arme et pour ce tireur les constantes caractéristiques /:, A*' et X. Nous chercherons pour cela, en considérant ces constantes comme connues, les valeurs probables de a-, v^ et uv, u eX. V désignant les coordonnées du point où frappe la balle par rapport à deux axes passant par le centre de gravité de tous les points frappés, supposés, bien entendu, très nombreux.

Les valeurs probables, en vertu du théorème de BernouUi, doivent différer très peu des valeurs données aux moyennes par le hasard.

Les coordonnées du point où frappe la balle par rapport aux

CHAP. IX. ERREURS DE SITUATION d'uN POINT. 233

axes dont l'origine est au centre de gravité des points frappés étant désignées par u et r, la probabilité pour que ce point se trouve dans le rectangle du dv étant

i/ÎÊTTTZrTj

la valeur probable de ii^ est

TZ ■ t/« •/«

On peut l'écrire

on a

et l'expression (7) devient

(8) -7^ v'ytU-'î-X» r* a«e""(*'^^v"*c/M.

La formule

donne pour (8) la valeur

2(A:iA:'j__X«)

Telle est la valeur probable de w^.

La valeur probable de u^^ est exprimée par

TC «/— ao «/ — ao

on a

.,,/ 'hiy X«««

Posons

on aura

La valeur probable de uif se réduit donc à

— ^^ = — ^1 u^due V *v = TTrTTi — sn*

[^ valeur probable de t^^, calculée comme celle de w*, est

En égalant les valeurs probables aux valeurs moyennes données par r ensemble des résultats obtenus, on obtiendra des équations dont les deux membres, si les observations sont nombreuses) dit' féreront probablement très peu. Posons donc

a? -*- wî -+-...-+- wj .

i -i fil -I- -I- ()2

Vf -^ Vî -h. . .-h P

Ml t^l -h i/j Pj -♦- . . . -H M„ Vn

Nous aurons, pour déterminer A:, Â^ et \ les équations