Lorsqu'une même grandeur X a été mesurée par des pro
cédés différents, ou par divers observateurs avec des instruments de mérite inégal, on ne doit pas prendre la moyenne. Les observations les plus dignes de confiance doivent garder une influence plus grande.
Soient îCi, X2, • . . , x,i n évaluations d'une même grandeur.
Supposons que chacune des évaluations soit corrigée de la partie constante, de telle sorte que la valeur'probable de Terreur ait été rendue nulle.
Soient m^, m^, ..-, mj les valeurs supposées connues de la constante m pour chacun des systèmes de mesures qui ont fourni ces n valeurs. Si Ton fait entrer dans la détermination plusieurs mesures prises dans les mêmes circonstances, on supposera les valeurs de m égales.
Cherchons parmi les expressions de la forme
celle qui doit inspirer le plus de confiance. La valeur à adopter est celle, évidemment, qui rendra minima la valeur probable du carré de l'erreur commise.
On doit avoir nécessairement
(10) X,-hX2-f-...+ 1,1= i;
car, sans cela, toutes les mesures étant supposées exactes, la valeur qu'on en déduit ne le serait pas.
L'erreur commise dans l'évaluation (9) sera
Xj ej -+- Xj ej -f- . . . 4- X;, 6/, ;
elle a pour carré
SX?e?-+-2SX/X/'C/e/'.
La valeur probable de e/est nulle 5 par conséquent aussi, celle de eiCif; celle de e? est m?. La valeur probable du carré de l'erreur commise est, par conséquent,
Xîm}-hX|m| -h...-^XjmJ.
Il faut choisir les valeurs de X4, )v2, . • ., "kn qui rendent cette somme minima en satisfaisant à l'équation (10).
Il faut égaler à zéro les deux diflerentielles
2m| /j É^iH- 2/niXjé/Xj-i-, . .-i- 2/71/1 X/i^A/i = o.
La seconde de ces équations doit être la conséquence nécessaire de la première. Il faut pour cela que les coefficients des difierentielles soient égaux et que Ton ait
mîX, = mîXj = ...= mjX„,
on en déduit, à cause de (lo),
mf
mf m| mj
et la valeur de X qu'il faut adopter est
//If mi m\
m\ ml mf^
C'est la moyenne des valeurs successivement obtenues ap que chacune a été multipliée par un facteur égal à l'inverse de valeur correspondante m*.
Ce facteur — ,> d'autant plus grand que m^ est plus petit et q
par conséquent, la mesure mérite plus de confiance, se nomme poids de Vobsen^ation,
r observations semblables équivalent, d'après la formule, àc seule qui aurait un poids r fois plus grand.
Si la probabilité d'une erreur z est
on a
Le poids d*une observation est proportionnel à A'^.
La définilioD nouvelle se trouve d'accord avec celle qui a été donnée.
Le vciol précision ne peut pas (165), dans le cas général, être défini avec la même rigueur.
196. La règle relative aux moyennes, et la sécurité qui en résulte, est démontrée indépendamment de toute hypothèse sur la loi de probabilité des erreurs.
Poisson a signalé comme une objection le cas où la fonction ^{z) serait proportionnelle à
ÂÎH-^2
în la représen
tant
par
Gdz
doit avoir
f- Gdz
en déduit
La probabilité d'une erreur comprise entre z cl z -\- dz est alors
/ ffz
Dans ce cas, l'intégrale
désîgnée dans la démonstration par m-, est infinie. Le poids cl*une observation est nul.
Il n'y a pas lieu de s'étonner si la conclusion est en défaut.
L'hypothèse est réalisée par une girouette qui tourne librement sans que rien la dirige. Considérée comme un instrument destiné B. 17
à montrer une direclion, celle du nord par exempl précisément la probabilité d'erreur exprimée par 1 ^Nommons z, en effet, la distance à laquelle la longée de la girouette coupera une perpendiculaire Ton prétend déterminer, si la girouette fait avec angle cp, on aura
(12) ^ = arc tang ^•
Toutes les valeurs de y comprises entre — - et H
ment probables.
La probabilité pour que l'angle désigné par le entre cp et '^ 4- d'f est
L'équation (12) donne
La probabilité d'une erreur, sur 3, comprise ent
est donc
k dz
C'est précisément la formule (11).
CHAP. XI. COMBINAISON DES OBSERVATIONS. 20g
