Soient

les équations qui rattachent n inconnues x^y^z^ ... a n -h p grandeurs mesurées /, , Z^, . . ., In+p' Elles sont incompatibles et donneront seulement une valeur approchée de chaque inconnue. Nous supposerons les carrés des erreurs commises dans cette première approximation négligeables. La théorie, sans cette simplification, serait inextricable.

Le théorème de Taylor permettra d'exprimer Çi, y^, ..., ?//+/> en fonction linéaire des accroissements dont on néglige les carrés. En éliminant entre les n -f-/> équations ainsi transformées les erreurs commises sur x, }', w, . . . dans la première approximation, on obtiendra, entre les erreurs Ci, (?2, . . . , Oi+/> commises sur les grandeurs directement mesurées l\^ l^t • • •» ^n^p^ p équations du premier degré de la forme

Pi ^1 -i- Pj ^2-4- . . .-r- Vn-^pCn-\-p = /*li

Ri ei-i- R2^j-f-. . .-4- R/t-t-/,e,iH-p = A3,

207. Pour ne pas compliquer les calculs, nous supposerons six grandeurs observées et trois inconnues, dont elles sont des fonctions déterminées 5 les équations (5) seront alors au nombre de trois et n -\- p sera égal à six.

Nous adopterons, pour représenter la grandeur dont la mesure a été trouvée égale à /| , la somme

(6) /^-h Xi /il -T- À2//2-+- Â3/13.

L'expression (6) se réduirait à /| si les mesures étaient parfaites; mais de petites erreurs ayant été commises, en les nommant ^tt ^2} ^zt ^4j ^31 <?6y celle qui en résulte pour (6) est

, , l ei-f-)vi(P,C,-4-PjC2-f-...-f-F6^6)

Il faut choisir \xj ^2? ^^3 de manière à rendre minima la valeur probable du carré de cette erreur.

En supposant les mesures dignes d'une égale confiance, et nommant m- la valeur probable du carré ej de Terreur commise sur Tune quelconque d'entre elles, les valeurs probables de Ci et de eiCi' étant nulles par hypothèse, la valeur probable du carré de (7) est

^ \ -+-2XjX32QR-T-2X3Xi2RP-t- 2XiP,4-2X,Qi4-2X3R,).

Pour rendre cette expression minima, il faut égaler à zéro les dérivées par rapport aux facteurs arbitraires Xi, Xw^ ^^3 ; on écrira donc les équations

/ XiSPs -f-X22PQ-hX3SPR-hP, = o,

(9) 1 XiSPQ-hXjVQî -i-X32QR-f-Qi = o,

( X,2PR -+- XjSQR-i- X32RÎ -^ Rj = o.

Les facteurs \\y X.oj ^-3 étant déterminés par ces équations, l'expression

(10) /j-h Xj/ii-l- Xa/fj-t- Xa/fs

sera la meilleure valeur à adopter pour /».

2'jO CALCUL DES PROBABILITÉS.

208. Une objection se présente. L'expression (7), dans laquelle les indéterminées )h> 5^2, X3 ont été choisies le plus avantageusement possible, n'est pas la plus générale parmi celles qui, si les mesures étaient exactes, se réduiraient à /|. On pourrait obtenii d'autres valeurs approchées en nombre infini. Pourquoi ne pas chercher entre toutes celle qui donne la plus petite erreur probable?

Si les erreurs n'étaient pas très petites, l'objection serait fondée; mais, les carrés étant négligeables par hypothèse, toute fonction qui se réduit à zéro quand Ai, A^, ... sont nuls peut être supposée du premier degré par rapport à ces quantités.

209. Les équations (9) font connaître les coefficients les meilleurs à adopter pour la formule (10). La valeur probable du carré de l'erreur est rendue minima; elle est représentée parla somme(8), dans laquelle X», Xj, X3 seront déduits des équations (9).

L'expression (8) peut s'exprimer plus simplement. Si Ton ajoute les équations (9) après avoir multiplié la première parXi, la deuxième par )w et la troisième par X3, en retranchant du coefficient de m^ dans (8) la somme qui est égale à zéro, la valeur probable du carré de l'erreur commise sur /» prend la forme

mî(i-+-PiX,4-QiX2-T-R,X3);

elle est proportionnelle à m^. Les valeurs de P|, Qi, R,, X, , X2 )v3 ne dépendent nullement de la concordance plus ou moins parfaite des observations, révélée par les valeurs A|, /i2, A3 des fonc tions qui devraient être nulles.

210. Supposons, pour donner un exemple très simple, que £= j', z^ u soient les quatre angles d'un quadrilatère. On a troui^ pour ces angles, directement mesurés,

CHAP. Xi. — COMBiNAISOJN' DES OBSERVATIOWS. 27 1

SI les mesures élaienl exactes, on aurait

Cette condition n'est pas remplie; on a

h étant supposé très petit.

On adoptera alors pour Tangle x la valeur

Si ei, eo, e-i, e^ sont les erreurs respectivement commises sur les quatre mesures, Terreur E commise sur X sera

En nommant m- la valeur probable du carré de chacune des erreurs de mesure, la valeur probable du carré de E est

Elle est minima pour la valeur

et Ton doit prendre

La valeur probable du carré de l'erreur est donnée par l'expression (11) quand on y suppose ). = — [-. Elle est donc

indépendante, on doit le remarquer, de la valeur de h.

i211. Supposons, pour donner un second exemple, que, d'une môme station O, on ait observé quatre points A|, A2, x\3, A4. On a mesuré, en les réduisant à l'horizon, les angles sous lesquels les distances A1A2, A| A3, A| A4, A^ A4 et A3 A4 sont vues du point O,

en désignant par /|, Z2, /a, Ia^ /s les valeurs trouvées. On veut cd déduire les valeurs les plus plausibles des angles x^ y, z formés par 0A| avec les trois autres directions OA2, OA3, OA4. On aurait^ si les mesures étaient parfaites, »

(12) x = li, y = l%y - = ^3, z — x=l^, z—y=is et, par conséquent,

Les équations (i3) ne sont pas satisfaites et, à cause des erreurs d'observation, on a

On prendra pour x la valeur

(r>; X = /i-f- X, //!-{- Xj^j.

Si ei, €-29 ^3, e^, e^ sont les erreurs commises sur les quatre mesures. Terreur commise sur X sera

(iG) E = <?i-i- Al (e; -1-^1 — ^3) -f- 'kiie^-he^ — €3).

Si m^ désigne la valeur probable du carré de chaque erreur de mesure ei, ^2, e^, e^, ej, la valeur probable de E^ est

(17) m«(i-f-3Xî 4-3X|-i-2Xi-h2X,Xj).

Le minimum de cette expression correspond à

Nous adopterons donc, pour l'angle x, la valeur

Eiie s'accorde, on le voit en remplaçant Ai et 7*2 par leurs valeurs (i4)î avec la solution obtenue (201) par une voie différente. Le carré de Terreur commise en adoptant l'expression (18) est

CHAP. XI. COMBINAISON DES OBSERVATIONS. 2'j3

f/n^; elle est indépendante de A| et de A^, par conséquent de l'exactitude des mesures.

On trouverait, par des calculs semblables,

Les carrés des erreurs commises ayant pour valeurs probables

el ^^77— > les valeurs les plus plausibles des angles l^ et l^ sont

212. Les valeurs probables des carrés des erreurs c'ommises sont, dans tous les cas, indépendantes de Taccord plus ou moins parfait des observations. Les quantités désignées par h^j Aa, . . ., qui seraient nulles si les observations étaient parfaites, ne figurent pas dans l'évaluation de l'erreur à craindre.

Nous avons déjà (173) rencontré et expliqué ce paradoxe. Il n'est pas inutile d'y revenir.

Dans la détermination de l'erreur probable, la précision des observations a été supposée connue. Le facteur m^ représente la valeur probable du carré de Terreur commise sur chaque mesure. En supposant ainsi l'habileté de l'observateur évaluée à l'avance, sans qu'il soit tenu compte dans cette appréciation des discordances révélées par la comparaison des mesures, il ne faut pas s'étonner de ne pas voir figurer ces discordances dans le calcul de l'erreur à craindre.

On mçsure, par exemple, les trois angles d'un triangle; on a vu déjà l'observateur à l'œuvre, il fait usage d'excellents instruments; on apprécie en conséquence la constante m^ : l'erreur probable est o", 5o. La somme des angles obtenus surpasse cependant i8o** de 12''. L'observateur ne méritait pas la confiance ac- B. 18

27^ CALCUL DES PHOBABILITÉS.

cordée. La valeur de m> ëtail très prohalilcmcnt mal choisi Mais, pour en adopicr une auLre, on manque de données sul sanles.

213. Les formuies dc^monlréea sont applicables à des observations qui ne sont pas encore faites ; elles indiquent les calculs pal lesquels les inconnues devront se déduire des grandeurs directe ment mesurées. Les valeurs prubables des carrés des erreurs craindre dépendent de la précision espérée pour les mesures qu'tf va prendre. Le cas où cette précision est asses bien connue,! priori, pour que les résultats obtenus a^y puissent rien changa; quoi qu'il arrive, est tout à fait exceptionnel.

C'est k lui que se rapportent les formules.

214. On s'est placé quelquefois à un point de vue absolamenti opposé. La précision des mesures est supposée inconnue; lacon* cordance plus ou moins parfaite des observations est le seul renseignement d'après lequel on puisse l'apprécier.

Ce problème est le contraire du précédent. Nous supposions précision connue a priori; le résultat plus ou moins lieureui des observations n'y pouvait rien changer; pour rendre cette h^polhisc acceptable, nous supposions même que les observations nefassenl pas faites encore.

On suppose, au contraire, dans le nouveau problème, la prteision complètement inconnue. Il faut la calculer d'après lesréiullats, qui sont, celle fois, la seule donnée.

Gauss a fait reposer la solution de ce problème sur m» formule très élégante, qui sera démontrée à la fin de ce Cb>pitre.

I^ formule est irréprociiable; mais l'application est mremeo' permise.

Le problème n'est pas nettement posé.

Quelques exemples rendront la difliculté très claire.

On a mesuré les trois angles d'un triangle; l'excès de s sur deux angles droits pctit-ii faire connaître, indépendaia^

ment de tout autre renseign'ement, la valeur probable du carré de l'erreur commise dans la mesure de chacun des angles?

Si Ton admet, comme il est vrai, qu'à chaque instrument manié par un observateur désigné correspond, objectivement, une valeur probable déterminée du carré de l'erreur et que, en donnant la somme des trois angles obtenus, on demande la valeur vraie de celte constante caractéristique de la précision, le problème est insoluble.

Une valeur vraisemblable est, évidemment, tout ce qu'il est permis d'espérer.

En réduisant le problème à ces termes très vagues, une lacune subsiste dans l'énoncé; elle doit enlever toute confiance dans le résultat.

La connaissance de la valeur probable a priori de l'inconnue dont on veut déterminer a posteriori la valeur vraisemblable est un élément essentiel de la question; on ne donne sur lui aucune indication.

Les trois angles d'un triangle ont été mesurés par un observateur très habile; il a fait usage d'un excellent instrument; chaque rnesure a été prise trois fois ; les résultats proposés sont les xnoyennes des trois observations. La somme des angles, après t.outes ces précautions, surpasse 180** de 0^,25.

Les mêmes angles sont mesurés par un débutant qui s'exerce; l''inslrument qu'on lui a confié est médiocre. Chaque angle n'est mesuré qu'une fois ; les angles obtenus diffèrent des précédents cJe plusieurs secondes chacun. La somme des angles, pour ces secondes mesures, est exactement 1 80**.

Quels sont les résultats les plus dignes de confiance? Les premiers, évidemment.

Les formules qui déduiront la précision des mesures de l'accord plus ou moins parfait des résultats ne peuvent manquer de donner l'avantage aux seconds.

Le cas, pourrait-on répondre, n'est pas celui qu'on a supposé. Les deux séries de mesures sont faites dans des conditions telles, qu'avant d'en connaître le résultat, sans donner la mesure numé-

a-jÔ CALCUL DES PROBABILITÉS.

rique des deux précisions, on les propose comme très inégales. L^énoncé du problème résolu par Gauss suppose, au contraire, que Ton ne sache rien sur la précision des mesures.

Est-il possible, quand on combine des mesures, de ne rien savoir sur leur précision? Savoir, comme on l'admet, que toutes les valeurs de Terreur probable sont a priori également vraisemblables serait un renseignement très précis qui, vraisemblablement, n'a dans aucun cas représenté la vérité.

Sans avoir étudié un instrument, le nom du fabricant, le prix dont on Ta payé, la situation dé l'observateur qui s'en sert, font que certaines évaluations de sa précision, sans être tenues pour impossibles, seraient accueillies avec élonnement. Cela suffit pour changer les conditions de l'énoncé.

215. La question appartient à la théorie de la probabilité des causes. Le désaccord entre les mesures prises est un fait observé. Les causes possibles, en nombre infini, sont la précision de chaque mesure. Quelle que soit celle précision, l'événement observé est possible. Le plus adroit peut avoir une défaillance; le plus maladroit peut, par un heureux hasard, obtenir de bons résultats : les résultats très inexacts peuvent se compenser fortuitement. Plus la concordance est grande, assurément, plus il est probable qu'elle a pour cause rexactllude des mesures et que celle-ci est due à rhabileté de l'observateur.

La probabilité assignée à chaque cause dépend (H5) de deux facteurs : la probabilité que la cause donne à l'événement observé et la probabilité, a priori, pour que la cause ait agi.

On veut, d'après l'énoncé, comme on Ta fait trop souvent en d'autres circonstances (123, 12i, 130), se passer complètement dela seconde donnée. C'est une faute contre les principes. La lacuner^ laissée dans l'énoncé sera forcément remplacée dans chaque solu— tion obtenue par une condition introduite arbitrairement.

216. Supposons, pour faire connaître le principe de la méthode adoptée, qu'on veuille déterminer la chance pour qu'une pièce de

monnaie désignée retombe sur le côté face quand on la jette en

1» • air.

La pièce est jetée [x fois : elle a montré m fois face et n fois pile.

Soient p la probabilité inconnue qu'elle donne à Tarrivée de face, q celle qu'elle donne à l'arrivée de piie.

L'événement le plus probable sur [jl épreuves est [ip fois face. En égalant la valeur probable à la valeur vraie, nous aurons

La valeur vraisemblable de p serait donc — •

Le principe, appliqué à un petit nombre d'épreuves, donnerait des résultats inacceptables. Si, sur trois épreuves, la pièce a montré deux fois face, oserait-on proposer | comme valeur vraisemblable de la probabilité qu'elle donne à l'arrivée de face?

Lorsque le nombre des épreuves est grand, le résultat cesse d'être choquant. La précision de la valeur proposée pour la probabilité/? n'est pas pour cela mieux justifiée.

Une même pièce a été jetée loooooo de fois : on a obtenu SooSgi fois face; on en conclut que la pièce donne, vraisemblablement, à la sortie de face, la probabilité

Aucune de ces six décimales ne mérite confiance.

La probabilité p a une valeur objective. A chaque pièce, d'après sa structure, correspond une valeur déterminée de p. Personne n'a pu croire, bien entendu, que cette valeur soit égale à (19); mais il n'est pas même très probable qu'elle soit plus grande que o,5o.

Supposons que, la pièce étant bien connue, la valeur exacte de p soit

c'est-à-dire qu'elle s'écarte de ^ précisément autant que la valeur (19) indiquée par le calcul, mais en sens inverse.

Cherchons quelle serait, dans cette hypothèse, la probabilité de Tévéneinent observé.

Le nombre le plus probable des arrivées de face est

L'événement observé est l'arrivée de SooSgi fois face; Técarl est 789..

La probabilité d'un écart égal à h est

on a

a \ipq 5ooooo La probabilité donnée par l'hypothèse à l'événement observé e

yji'K^pq

celle que donne au même événement l'hypothèse la plus plau sible pour laquelle il correspond à un écart nul est

>Ji ]^T^pq

Le rapport est

Le rapport des probabilités de deux causes également probable a priori est exactement celui des probabilités observées. La vs leur (19) de /? n'est donc pas quatre fois plus probable que la v^ " leur (20), que nous avons choisie, on peut le dire, absolume — contraire.