Reprenons la question générale
On a mesuré n-^-p grandeurs /,, l^^ /s, ..., In^f Elles sool liées par des équations rigoureuses à n inconnues Xy y^ 5, ..•• En éliminant les inconnues, on obtient p équations nécessaires
CHAP. XI. — COMBINAISON DES OBSERVATIONS. 2'jg
entre les /i -i-/> grandeurs mesurées :
I^ï ( Mt *2j • • • > 'n-^p) = O»
ï^^y* (*1> ^J» • • • » hi-i-p) — O.
Les mesures n'étant pas parfaites, ces équations ne seront pas satisfaites : les premiers membres auront de petites valeurs — Ai, — A2, ..., — hn qui seront exactement connues, puisque les mesures l%y l^j • • • ? ^«+/» ^^ sont.
Si l'on nomme e^^ €21 • • ., ^/î+/> les erreurs commises sur ces mesures et qu'on en néglige les carrés, la fonction F|, qui est égale à — A« et qui doit être nulle après les corrections, recevra un accroissement Aj ; on obtiendra ainsi p équations du premier degré
, . , Q1C1-+- Qîe,-i-...-hQrt-|.pefl+/,= /i,,
A|, A2, . . ., hn étant des nombres connus dans chaque problème.
Le principe admis est celui-ci :
Il est permis, à titre d'approximation, d'égaler une fonction des premiers membres de (21), dont la valeur est exactement connue, à la valeur probable calculée avant l'épreuve.
Cette égalité, bien entendu, n'a jamais été proposée comme certaine : Valorverus, dit GdiUSSj pro ut fors errores obtulit, major minorve mediijieri potest.
Ces deux grandeurs, la valeur véritable et la valeur probable, qtle le hasard peut faire plus grandes ou plus petites l'une que l'autre dans une proportion inconnue, sont égalées cependant pour former l'équation dont la solution est déduite.
La critique est rendue difficile. Quand on a dit : le second membre de l'équation proposée peut être, suivant la décision du hasard, plus grand ou plus petit que le premier, on s'est mis en règle avec la rigueur : le lecteur averti sait qu'on n'y prétend pas. De quel droit reprocher une cause d'erreur nettement signalée?
a8o CALCUL DES PROBABILITÉS.
Le résultat est donné comme une approximation -, il est tout naturel, au contraire, de chercher quelle confiance mérite le principe sur lequel elle repose. Nous montrerons que, le principe étant admis, on en peut déduire, pour la précision, des valeurs très différentes et dont aucune, par conséquent, ne mérite confiance.
Formons un polynôme
(22) X,A} -f- X,A| -h. . .H- \phl H- Xy,^.,A,^-+-. . .,
homogène et du second degré par rapport aux seconds membres, numériquement connus, des équations (21). Quels que soient les coefficients choisis, )v|, X2, . . ., l'expression (22) est connue.
On peut en déterminer la valeur probable, avant les épreuves faites, en fonction de la valeur probable ni^ du carré de Terreur commise sur chaque mesure.
hx, lu, > . > ^ hp sont exprimés par les équations (21) en fonction des erreurs 6^,62, . . . , e^^p. Le polynôme (22) est donc une fonction connue des erreurs commises dans les mesures; on en peut former la valeur probable en remarquant que celle de e] est m^ et que celle de e/é?|V est nulle, quels que soient i et i\ La valeur probable du polynôme (22) sera donc de la forme Gm*, G étant connu. En l'égalant à sa valeur vraie, puisque tel est le principe accepté, on obtiendra une valeur de m^ dans laquelle figureront les facteurs arbitraires désignés par )v.
218. Il ne sera pas inutile de donner une application. On a mesuré les trois angles d'un triangle; les erreurs commises ei, ^2) ^3 sont inconnues, mais leur somme est exactement
connue; on a
ei-+-ej+e3= /i,,
hi étant l'excès de la somme des angles mesurés sur deux angles droits.
On en déduit
h] = e} H- e| -f- ej -+- 2^1 «j-f- 'iCte^-h le^Cx.
Si m^ est la valeur probable du carré de chacune des erreurs ^i> ^2) ^3? ^^ valeur probable du second membre est 3m^, et Ton écrira, en égalant cette valeur probable à la valeur vraie,
par conséquent,
Comme il n'y a qu'une seule équation entre les erreurs, il n'y a pas, dans ce cas, de choix à faire entre les combinaisons.
219. Reprenons le problème résolu (203). On a mesuré cinq angles /,, /2, /s, Z^, /s, entre lesquels les conditions géométriques du problème donnent les relations nécessaires
lk-^l\ — h — o, h-^ h— lz= o.
Les mesures étant imparfaites, on a trouvé
En désignant les erreurs réellement commises par e«, ^2? ^3j ^4>
<?5, on a donc
e^H- Cl— es = A|,
Cg-h Cj — Cj = 7*2.
Quels que soient les facteurs X|, 5^2, ^3, le trinôme
(23) XjAf -+- X2AI -+-X3A1 Aj
est connu.
Ce trinôme est une fonction homogène du second degré des erreurs ^1, ^2, ^3, ^4, e^, et, si l'on nomme m^ la valeur probable du carré de l'une de ces erreurs, celle du produit de deux d'entre elles étant nulle, on trouvera pour valeur probable de l'expression (28), calculée avant les mesures prises,
mnsXî-f-SXf H-Xs).
a82 CALCUL DES PROBABILITÉS.
En égalant cette valeur probable à la valeur vraîe, on aura
)v|, X2, ^8 sont arbitraires.
Si Ton voulait choisir entre les valeurs en nombre infini représentées par la formule (24), il faudrait chercher la valeur probable du carré de la différence des deux membres et disposer de Xv|, )w2, X3 de manière à la rendre minima.
Mais la formule (24), qui peut évidemment donner des valeurs de m* très inégales, reste, quels que soient les facteurs X^i, X2, )^:, la conséquence de Tégalité admise entre la valeur vraie d'une grandeur et la valeur probable.
220. 11 est aisé de prouver par un exemple combien sont grandes les erreurs à craindre en égalant les valeurs vraies aux valeurs probables.
Un observateur mesure les trois angles d'un triangle; la probabilité d'une erreur comprise entre z et z -i- dz est, pour lui,
çr-kH^ rf^. Quelle est la probabilité d'une erreur j^ sur la somme
des trois angles?
On peut dire :
La valeur probable du carré de l'erreur commise sur chaque
ande est —r',
La valeur probable du carré de Terreur commise sur la somme
des trois anerles est — rr-
Si donc on représente la probabilité d'une erreur^ sur la somme
des trois angles par -— e~* '^', il faudra supposer
! 3 uA» ~ aA«'
La probabilité d'une erreur plus petite que a sur la somme des
CHAP. XI. — COMBIIîAlSOIî DES OBSERVATIONS. ^83
trois angles est donc
TzJq
La démonstration peut laisser un doute. En acceptant la loi représentée par e~*'^' pour les probabilités d'erreurs partielles sur chaque angle, est-il permis d'en conclure une expression de même forme pour l'erreur totale? L'assertion n'est pas évidente; on peut la démontrer.
Soient Xj y^ z les erreurs commises sur les trois angles d'un
triangle; posons
