X -\- y -\- Z = a-4- doL
Ce volume est
(25) 1-0 do d^
La probabilité a priori pour que, la somme des erreurs étant comprise entre a et a-f-rfa, celle de leurs carrés le soit entre p^ el(p + rfp)2 est égale à
La probabilité pour que la somme des trois erreurs soit comprise entre a et a-+-rfa est Ja somme des valeurs de (26) pour
toutes les valeurs possibles de p qui sont comprises entre
et 00.
La probabilité pour que la somme des trois erreurs soit comprise entre a et a -h rfa est donc
on a
2^ da r-^
P^PÎ
■*'P'prfp-
La formule (27) se réduit à
précisément celle que nous avions admise.
221. Supposons, pour entrer au détail, qu'en mesurant les trois angles d'un triangle Terreur probable sur chaque mesure
soit égale à 2", la valeur correspondante de A* est — r^-
2 ytz
La probabilité d'une erreur plus petite que 1" sur la somme des trois angles est, dans ce cas,
UVSttJ
L'événement n'a rien d'invraisemblable.
S'il arrive cependant qu'en mesurant les trois angles d'un triangle, on trouve une somme d'erreurs égale à i", la théorie adoptée donnera, pour déterminer la valeur vraisemblable du carré de l'erreur sur chaque mesure, la relation acceptée
par conséquent,
ce qui correspond à une erreur probable de chaque mesure
Lorsque, dans une seule épreuve. Terreur commise sur la ^oinme des angles d'un triangle est égale à i", est-il possible de proposer avec confiance o",^ comme la valeur vraisemblable de ' erreur probable sur chaque observation?
La valeur probable, pour l'observateur qui a mesuré les
^'ïg'î^s, est un nombre parfaitement déterminé; en la supposant
^S'^lc à 2", c'est-à-dire triple de la solution proposée, la probabi-
^^^^ d'une erreur moindre que celle qui s'est produite serait o,i5.
i-«s valeur o'', 7 adoptée pour l'erreur probable donnerait à l'é-
^'^ "^ ornent observé, c'est-à-dire à une somme d'erreurs moindre
^*-*^ 1", une probabilité plus petite que ^ égale à
a probabilité pour qu'en adoptant o", 7 pour valeur probable l'erreur on s'écarte peu de la vérité est, on le voit, fort éloide la certitude.
:. Pour expliquer plus clairement les principes théoriques
^ la méthode des moindres carrés, nous n'avons tenu aucun
^^ïTipte de la longueur des calculs. On peut, dans presque tous les
^^s» les abréger considérablement.
k X^es corrections prescrites par la méthode exposée (210) pour les
m Ç^sindeurs directement mesurées /i, /a» •••? ^n^p satisfont à une
m ^^ndition remarquable qui peut servir de base à une détermina-
1 wn plus rapide des inconnues.
La ^omuio des carrés des corrections faites aux mesures est un
tilllIllItUtU.
tWpionous pour le démontrer la question déjà résolue (210), en ^mn>o>aut toujours, pour éviter la longueur des formules, trois iiKouuues seulement, entre lesquelles on a six équations.
blu nommant /i, /2Î •••? le les grandeurs mesurées et e^, f'.j, . . . , t'o les erreurs très petites commises dans leur évaluation, les conditions du problème donneront trois équations du premier degré entre les six erreurs
i Pi e, -+- P, et -«- Pj «3 -4- P4 es, 4- P5 «5-4- Pg e^= hi, ^•*8) { Qi<?i-f-Qîe2-f-Q3e3-f-Qve4-4-Q5e5-4-Q6e6= A„
Qi^i .. « .,
( Ri^i-f- RiCi-^ Rî^a-i- R^e^-¥- R^e^-h R6C6= As-
Nous allons chercher à déterminer entre les solutions de ces équations le système pour lequel la somme
(•*9) ef-f-e* -+-ej -f-ef -he| -i-<?5
est minima. Nous constaterons Tidentité des corrections ainsi déterminées avec celles qui résultent des conditions adoptées (210).
Pour rendre la somme (29) minima, il faut égaler sa différentielle à zéro en même temps que celle des expressions (28).
Nous aurons ainsi les équations
(3o) eidei -h e^dei-^- e^dei-^ e^^de.,-^ e^de^-Jr €^de^ = o;
I Pic/<?,H- ï*^dei-¥- l'^d€A-^V,,de,-\'V^dei-\-V^de^=o,
(3i) j Qi</e,-f-Q2e/e2-+-Q3û?ei-hQ4t/é'4-i-Q5rfe3-4-Q6c/e6 = o,
( Rié/^i-i- Ride^-r- Wide^i-^ H^dci.-^- Rs^/e^-h R^de^ = o.
On ajoutera , conformément à la méthode de Lagrange , c^ quatre équations, après avoir multiplié trois d'entre elles par d( facteurs [jl<, 1x2, [^3, et l'on égalera à zéro les coefficients des différentielles. Les équations
/ ei-+- JXiPi-f-|JLjQ,-+- jji3Ri = 0,
\ ^2-^^llPî-^îi2Q2-^-^l3R2 = 0,
(32) . ^3-+-{^lP3-H {X2Q3 -4-1X3 R3 = 0,
«6-^ Kl Pô-»- FlîQs-l- (A3R6= O,
jointes aux trois équations (28), détermineront les corrections ^1» ^2j ^3) ^4j ^5» ^0 et Jes multiplicateurs [jL|, [Xa, [JL3.
En ajoutant les équations (32) après les avoir multipliées par les coefficients de chacune des inconnues [X|, [jl^, [JL3, et en ajant égard aux relations (28), on formera les équations
(33) I îXi(PiQ,)-f-îi,(Qî) +|Jt3(RiQi) = /'2,
où (PJ), (Pi Qi ), ... représentent les sommes
PlQ|-4-PiQî-4-PsQ3,
Les équations (33) feront connaître [Xi , jjl2, |J^3. On déduira ensuite de (32) ei, e2, 63, ....
Les corrections ainsi obtenues sont identiques à celles qui ont ôté déduites (209) du Calcul des probabilités. Reprenons, en effet, les équations (7) qui font connaître Xi, î^o, )^3 ; elles ne diffèrent cJe(33)que parle changement des termes indépendants des inconi:iues.
Cherchons par les deux méthodes la correction désignée par e\.
Les valeurs de X|, X2, X3 étant données par les équations
( X,(Pî) H-X2(P,QO-+-X3(PiRi) --Pi,
C34) j Xi(PiQi)-f-X2(Qî) -^■X3(QiRi)--Qi,
( Xi(RiPi)-hX,(R,Qi)-4-X3(Rî) =-R„
la correction prescrite est
Cl = X|/ii-4- XjA,^- X3/<3.
La condition du minimum donne
En ajoutant les équations (33) multipliées par )w|, ).2, X3 et les équations (9) multipliées par jA|, [jl2, [JI3, on constate Tidentité des deux sommes.
223. Le principe des moindres carrés étant admis, on peut s'en servir pour obtenir les meilleures valeurs des inconnues, sans s'astreindre au calcul préalable des erreurs commises sur les grandeurs directement déterminées.
Les équations imposées aux inconnues étant
et leur nombre n -{- p surpassant le nombre n des inconnues, on
devra d'abord déterminer des valeurs approchées X, Y, Z, ... de
X., y^ z^ . . . , pour lesquelles il subsistera entre les deux membres
des équations (35) des différences très petites ai a2, . . . , a„^p. Si
Ton nomme ^i,^',, C|, ... les corrections qu'il faut faire à X, Y,
Z, . . . , et 6|, (?2, . . . , ^n+p celles de /», /.j, • . • , In+pj ^^ aura, en
négligeant les carrés de ces corrections, des équations nécessaires
de la forme
P, j-i-i-Pjj, H-p3;:,-f-...-ha, = e,,
.3^. / QiJ^i-*- Qî7l-^-Q3>5l-^-...-^■a2 = ^s,
RiJ'i-f-R2>'|-T-R3 5,-4-...-ha3 = es,
Pour rendre minima la somme
il faut, après l'avoir formée, égaler à zéro les dérivées par rapport à ^1, ji, 5|, . . . , et Ton aura ainsi, entre les inconnues véritables de la question,
PjCPia^ij-T-QîCQia:, )-+- R2(Ri^i)H-...-H P2a|H-Qjaj-h. . .= o, I^(Pl^l)-^Q3(Ql^l)-^-R3(H,a^l)-^...-+-P3al-f-Q,a,-^...= o,
(P|jr,), (QiXi), ... désignant l'ensemble des termes qui, dans les équations (36), précèdent ai, aa, .... On est conduit à la règle suivante :
CHAP. XI. — COMBlIîAISON DKS OBSERVATIONS. 289
On ajoutera les premiers membres des équations du premier degré, dont Jes seconds membres sont les corrections à faire subir aux grandeurs directement mesurées, après les avoir multipliées successivement par le coefficient de chaque inconnue.
Les équations ainsi formées, en nombre égal à celui des inconnues, donneront la solution du problème.
224. Supposons que cinq points A|, Aa, A3, A4, A5 aient été visés d'une même station O. Sur les dix angles que forment deux à deux les lignes de visée, on en a mesuré huit. En nommant jCiy X2j «Tn, -JCi les angles de la direction OA avec les quatre autres, ces angles déterminant tous les autres, les mesures choisies sont telles qu'en nommant /|, L^ /a, /», /0, /o, /?, U leurs valeurs exactes, on a
f 3'i = /j, Xi — Xi — /j, Xi= l-;, Xi— Xi~ /g.
Les relations entre les angles mesurés doivent être
' Ji—l\— h — Oy
Ces expressions ne seront pas nulles, mais auront des valeurs très petites. Nommons ces quatre valeurs a,, ao, ag, a^ ; elles donneront, indépendamment de tout calcul, une première idée des erreurs commises.
Pour appliquer la méthode des moindres carrés, il est inutile de former les équations (5); nous ajouterons les équations (Sj) après avoir multiplié chacune par le coefficient de l'une des inconnues successivement choisies. Nous aurons ainsi
àxx — x^— ra ~ l, — /y — /g, ZXi — X'^ — x^— /g — /g- /i,
3j^4 X^-\- Xi— /i H- /j :- /;.
ayo CALCUL DES PROBABILITÉS.
On en déduira les valeurs des inconnues
'/ ^/ ï/ ïj '/ 4f 7, 4,
^' "" 75^'^ 5^' ^ rs''- 3^* -^ B^'- Ï5''^ s'' -^ 73 '•'
7f 'f 4, If 2, 4t I, I,
If 7 r 4/ 4» If If 2, I»
225. Lorsque les corrections seront calculées, on devra chercher, en tenant compte des réserves faites, la valeur probable du carré de Terreur à craindre pour chaque inconnue.
Gauss a donné pour ce calcul, comme pour tous les détails de celle théorie, une méthode devenue classique de laquelle résulte une démonstration du principe des moindres carrés très différente de celle que nous avons adoptée. Nous la reproduisons textuellement.
Problème. — Désignons par r, r', p", ... les /onctions linéaires suivantes des indéterminées x^ y^ z^ ... :
V = ax -\- h y -7- cz -^. . .-h l, v" = a" x^ l^\y^ c" z ->r , . . -\- l'y
Parmi tous les systèmes des coefficients x, x\ x", ... qui donnent identiquement
A^ étant indépendant de a:,y, z, . . ., trouver celui pour lequel
X' 4- x'2 + x"2 -4- . , , est minimum.
Posons
(Gj) < '*
ç, r,, ^ seront des fonctions linéaires de x^ y^ z^ et l'on aura
.p y r, = iF2a6-+-^S6' -h- -sS6c-4-. . .H- S6/,
où
Sa* = aî-Ha'*-r- a *-+-...,
el de même pour les autres 2.
Le nombre des quantités Ç, r,, Ç, . . . est égal au nombre xs des inconnues a*, y, :;, . . .•, on pourra donc obtenir, par élimination, une équation de la forme suivante (•)
