A -h (aa)$ H- (a?)7) -4- (aY)Ç -f

qui sera satisfaite identiquement lorsqu'on remplacera Ç, r,, ^ par leurs valeurs (G3). Par conséquent, si l'on pose

Ia (aa) -+- h (a^) -k- c (ay) -h. . . = a, a'(aa)H- /^'(a?) -i- ^'(«7) -t-. . . ^ a', a'(aa)-T-6'(ap)-i-c''(aY)H-...= a',

on aura identiquement

(Gj) oLV-^a'v'-^ad'v'''^. . .— T — A.

Cette équation montre que, parmi les différents systèmes de coefficients x, x', x", . . . , on doit compter le système

On aura d'ailleurs, pour un système quelconque,

et cette équation, étant identique, entraîne les suivantes :

( * ) On verra plus loin la raison qui a conduit à désigner les coefûcients de cette formule par la notation (ax)> (oc^).

Ajoutons ces équations après les avoir multipliées , respectif

ment, par (aa), (a^), (ay), • . ., nous aurons, en vertu du sy;

tème (G4),

c'est-à-dire

x2-4- x'«-+-. . . = a«-f- a'«-+-. . .-h (x — a)«H- (x'— a')«-4-. . .; par conséquent, la somme

aura une valeur minimum, lorsque Ton aura

X = a, x' = ol\ x' = a."

D'ailleurs, cette valeur minimum s'obtiendra de la manière suivante.

L'équation (G5) montre que l'on a

Multiplions ces équations, respectivement, par(aa), (a^), (ay), ..., et ajoutons; enajant égard aux relations (G4), on trouvera

a»H-a'«-h a''*-+-...= (aa).

Lorsque les observations auront donné des équations approximatives

il faudra, pour déterminer l'inconnue x^ choisir une combinaison de la forme suivante

XP -\- Y.'v'-\- Y.'v" ->r. . .= o,

telle que l'inconnue x acquière un coefficient égal à i et que les autres inconnues se trouvent éliminées.

Le poids de cette détermination sera

x^-hx'^-f-x'î-f-...

Od obtiendra la détermination la plus convenable en prenant

alors X aura la valeur A. On obtiendrait évidemment la même valeur sans connaître les multiplicateurs a, a', a'', . . . , en effectuant l'élimination sur les équations

le poids de cette détermination sera

(aa) et Terreur moyenne à craindre

m ^p{aLaL) = m'^p'{ctOL) = ni" ^ p" {olol) —

Une marche analogue conduirait aux valeurs les plus convenables des autres inconnues^, 5, . . . , qui seront celles que Ton obtiendrait en effectuant l'élimination sur les équations

Si nous désignons par Û la somme

ou, ce qui revient au même,

on aura évidemment

. 6?û d\l ^ dû.

"'==^' ^""^-dP' ^-^--d-.'

par conséquent, les valeurs des inconnues, déduites de la combinaison la plus convenable, et que nous pouvons appeler les valeurs les plus plausibles, sont précisément celles qui donnent à û une valeur minimum. Or V — L représente la différence entre la valeur observée et la valeur calculée; donc les valeurs les plus plausibles des inconnues sont celles qui rendent minimum la somme des carrés des différences entre les valeurs calculées et

observées des quantités V, V, V, . . . , ces carrés étant respectivement multipliés par le poids des observations. Ces principes ont été depuis longtemps établis par d'autres considérations ( Theoria motus corporum cœlestium).

Si Ton veut assigner la précision relative de chacune des déterminations, il faut déduire des équations (G3) les valeurs de x^ y, z, . . . , qui se présenteront sous la forme suivante :

^=A-f-(aa)$-f-(a3)7)H-(aY)Ç-4-

(G:) {r=B-r-(Pa)t + (P3)r,-.(3Y) ;-....

Les valeurs les plus plausibles des inconnues x, y, z, ... seront A, B, C, .... Les poids de ces déterminations seront

(^y (jfy (TT/

cl les erreurs moyennes à craindre

pour X m ^p{oL2) = m'^p^ii) =. . ..

pour j' m v/?0?) = m' /?(??) =. . - .

pour ;: m \/pi^(^) = m'/^CVï) = • • • ,

ce qui s'accorde avec les résultats obtenus antérieurement (Theoria motus corporum cœlestium).

Le cas où il n'y a qu'une seule inconnue est le plus fréquent el le plus simple de tous. On a alors

il sera utile d'en dire quelques mots.

On aura

a = /fj, a = }/p', a'^yjp",

et, par conséquent,

\ = (/? -f- />'-+-/>'-+-...) ar — (/>L H- />'L'-4-/>'L' -h...);

CHAP. XI. COMBINAISON DES OBSERVATIONS. UgS

d'où

, joLH-/?'L'-^/?'L''-f-...

A = -, ji •

Ainsi, si, par plusieurs observations qui n'ont pas la même précision et dont les poids respectifs sont/?, /?', p" ^ . . . , on a trouvé, pour une même quantité, une première valeur L, une deuxième L', '^lïe troisième L'', . . •, la valeur la plus plausible sera

ph -k- p' V -^ p" L

^^ le poids de cette détermination sera

^i toutes les observations sont également plausibles, la valeur ^ J>lus probable sera