DÉMONSTRATIONS ÉLÉMENTAIRES DU THÉORÈME DE BBRNOL'LLI

76. Lorsqu'un événement douteux peut se présenter de plusieurs manières et qu'une certaine grandeur résulte de chaque épreuve, la valeur probable diffère de moins en moins de la moyenne des valeurs obtenues. — 77. Application à une série de parties faites h un même jeu de hasard. — 78. Cas où le jeu est équitable, les énoncés se trouvent en défaut. — 79. Épreuves successives de deux événements contraires. — 80. Troisième démonstration du théorème de Bernoulii 96-10.I

CIIVPITHE VI.

H\. Lorsqu'un joueur joue indéfiniment à un jeu écjuitablc, sa ruine tôt ou tard est certaine. La proposition semble contradictoire, elle ne l'est pas.

— 82. Lorsque deux joueurs luttent indélinimont, quelles que soient les conditions du jeu, l'un des deux doit finir par se ruiner. — 83. Calcul numérique. — 84. La perte peut entraîner la ruine avant la fin du nombre convenu de parties. Cela accroît les chances de ruine. — 85. Deux manières d'énoncer le problème de la ruine des joueurs. — 86. Cas où Pierre possédant m francs joue indéfiniment à un jeu équitable. — 87. La valeur probable du nombre des parties est infinie. Il n'y a pas contradiction. — 88. Démonstration de l'énoncé précédent. — 89. Calcul des chances de ruine dans un nombre donné de parties. — 90. Exemples numériques. — 91. Cas où deux joueurs ont des fortunes données. Chance de ruine de chacun. — 9i. Cas où le jeu n'est pas équitable. — 93. Autre manière d'obtenir le même résultat. — 94. Cas où les deux joueurs ont même fortune et exposent la môme mise. — 95. Probabilité pour (|u'un joueur qui joue indéfiniment finisse par se ruiner. Trois cas peuvent se présenter. — 96. Le cas où la ruine n'est pas certaine est celui où le joueur a un avantage. — 97. Exemple numérique. — 98. Probabilité d'être ruiné précisément après un nombre donné de coups. — 99. Valeur approchée de la probabilité. — 100. Probabilité pour que la ruine soit postérieure au ji'*""* coup.

— 101. Valeur maxima de la probabilité. — 102. Valeur niaxima de la valeur approchée. — 103. Valeur probable du nombre des parties jouées avant la ruine de l'un des joueurs. — 101. Cas où le jeu n'est pas équitable. Théorème de M. Rouché. — 105. Évidence apparente du théorème.

— 106. Insuffisance de la démonstration. — 107. Réduction du cas où le jeu est équitable au cas général. — 108. Cas où les fortunes sont égales en

J.IV TABLE DES MATIEHES

Pages, commençant le jeu. — 109. Cas où deux joueurs luttant l'un contre l'autre peuvent l'un et l'autre être ruinés. Insuffisance d'un raisonnement qui semble fort simple. — 110. Cas où Pierre et Paul possèdent chacun 'j^'.

— 111. Cas où ils poiscdent 3''. — 112. Cas général. — 113. Examen d'une combinaison proposée pour accroître les chances de gain io'|-i4i