X = 1 , 2, . . . , 10, II

de la probabilité /?pL, à moins d'une demi-unité du septième ordre

décimal :

pi = 0,0000000,

/)j — o , 5oooooo , Pi — 0,3333333,

Ps = o, 3G6G667 ,

7>io= 0,3678795,

On voit donc que, dès que [l est égal ou supérieur à 9, la dijjérence entre p^ et - n^ atteint pas un niillioniènie.

l8 CALCUL DES PROBABILITÉS.

18. Problème XI. — Pierre et Paul sont soumis à un scrutin de ballottage; Vurnc contient ni bulletins favorables à Pierre, n favorables à Paul; m est plus grand que n, Pierre sera élu. Quelle est la probabilité pour que, pendant le dépouillement du scrutin, les bulletins sortent dans un ordre tel que Pierre ne cesse pas un seul instant dUivoir V avantage?

Le nombre des combinaisoDs possibles est celui des arrangement» de m 4- // lettres, parmi lesquelles m semblables entre elles représentent le nom de Pierre et les n autres, semblables aussi, représentent le nom de Paul.

Le nombre de ces arrangements csl

Cherchons le nombre des arrangements dans lesquels Paul, à un certain moment, aura le même nombre de voix que Pierre.

Parmi ces arrangements, il faut compter tous ceux qui commencent par le nom de Paul. Leur nombre est celui des arrangements de m 4- /^ — i lettres, parmi lesquelles m semblables entre elles représentent le nom de Pierre, et les n — i autres celui de Paul. Ce nombre est

(il) :, :> - ;

ils forment la moitié, précisément, du nombre que nous cherchons.

Nous allons démontrer, en effet, que tous les dépouillements commençant par le nom de Pierre, et dans lesquels l'égalité des sufi'rages se produit à un certain moment, correspondent un à un, d'une manière parfaitement déterminée, aux arrangements de ffi^ fi — i lettres dont le nombre est représenté par la formule (i i).

Représentons par la lettre A les bulletins qui portent le nom de Pierre et par B ceux qui portent le nom de Paul.

Considérons une combinaison commençant par A et dans la-