CHAP. I. — ÉNUMÉRATION DES CHAKCES. I

quelle, à un certain moment, quand on appelle tous les termes à partir du premier, le nombre des B est égal à celui des A. Arrêtons-nous dans cette énumération faite de gauche à droite la première fois que cette égalité se produit. Enlevons le groupe déjà appelé, transportons-le à la fin de la combinaison, après avoir enlevé le B qui le termine nécessairement. Nous formerons la combinaison de m -h n — i lettres, conjuguée de celle que nous avons choisie.

Par exemple, la combinaison

AABBABAB,

qui contient quatre A et quatre B, donnera

ABABAAB,

qui contient quatre A et trois B.

La combinaison de m-^n — i lettres, déduite, comme nous l'avons dit, de l'une des combinaisons commençant par A dont nous voulons faire le compte, permet, quand elle-même est donnée, de retrouver celle dont on l'a déduite. Il suffit d y appeler les lettres en commençant par la droite jusqu'au moment, qui ne peut manquer de se produire, puisque les A sont en majorité, où le nombre des A surpassera d'une unité celui des B, On enlèvera alors le groupe ainsi défini pour en faire le commencement de la combinaison, en le transportant à la gauche après l'avoir séparé des termes non transportés, qui gardent leur ordre, par la lettre B ajoutée à la fin.

Le nombre total des dépouillements dans lesquels le nombre des lettres B, à un certain moment, atteint l'égalité est donc

En le divisant par le nombre total des arrangements distincts

le quotient

. . on

est la probabilité pour que Pierre, pendant la durée du scrutin, perde, à un certain moment, Favantage.

La probabilité pour que Pierre garde toujours Tavantage est

Cette Ingénieuse démonstration est due à M. André.

19. Problème XII. — Une urne contient [jl boules numérotées I, 2, 3, ..., [JL. Quelle est la probabilité pour que, dans n tirages, la somme des numéros sortis soit égale à kf

On suppose qu'après chaque tirage la boule sortie soit remise dans l'urne.

Le nombre des combinaisons possibles est y."^ puisque chacun des [A numéros peut sortir à chacun des n tirages.

Le nombre des cas favorables à l'événement demandé est le nombre des manières de former une somme égale à k avec n nombres inférieurs à [a -h i . Cette somme est, évidemment, le coefficient de ^1* dans le développement de

ordonné suivant les puissances de t. Par quelque vole que l'on efi*cctue ce développement, les coefficients des puissances de t feront connaître les numérateurs des diverses probabilités dont le dénominateur commun est [a".

On a

t-^t^-^...-{- tV-^

L'expression (i) peut donc s'écrire

Les développements du deuxième et du troisième facteur se feront par la formule du binôme.

Le troisième donnera un développement Illimité; mais la multiplication fera disparaître tous les termes dans lesquels l'exposant est négatif.