p — A).I.2.3...([Jt<7-i-/l
Le théorème de Stirling la réduit à
On a, en négligeant —5»
et, par conséquent, en négligeant - ^ >
^ {i/i-A-Hj ^ V {^7 + ^*
\ ^pl \ v-qJ '^\^\p 'il 2 |j. v</ pJ
On a
P 1 PH et l'on conclut
(I ) (iH ) = essA/,7g2|i\7 j;;.
\ v-pl \ V-^lJ
le second facteur diffère fort peu de l'unité; on peut le supprimer et remplacer le terme (8) par
La démonstration de cette formule suppose h petit par rapport
à [jl; on l'étend cependant à toutes les valeurs de A, sans qu'il en résulte, lorsque [x est grand, aucune erreur sur les chiffres. La fonction
AS
décroît, en effet, lorsque h augmente, avec une telle rapidité que sa valeur numérique n'a plus d'influence sur les chiffres conservés. La probabilité dans l'expression de laquelle on l'introduit est elle-même d'une extrême petitesse et, quoique la formule acceptée n'en soit plus la valeur approchée, la substitution de deux quantités négligeables l'une et Tautre est sans inconvénient.
On étend même l'expression approchée de la probabilité à des valeurs de h pour lesquelles cette probabilité n'existe pas; h, en effet, ne peut être plus grand que jjl^, et on le fait varier sans que cela exerce d'influence sur les chiffres, entre — 00 et 00.
59. Par une fiction qui rendra les calculs plus faciles, nous remplacerons le nombre entier h par une variable continue, en assignant à un écart compris entre z et z -\- clz \ai probabilité
(10) e ^V-P'/dz.
Ce mot écart doit être défini. On considère la valeur ^p du nombre d'arrivées de Tévénement dont la probabilité est p comme une valeur normale, la plus probable de toutes, et les autres sont définies par leur différence avec celle-là. Cette différence prend le nom d'écart.
Si, par exemple, on fait 10 000 épreuves à pile ou face et que pile se présente 5o2i fois, Vécart sera ai. Si l'on jette deux dés 36 000 fois et que sonnez se présente 995 fois, Vécart sera — 5.
La substitution de la fonction continue (10) à l'expression qui convient aux écarts entiers, les seuls possibles, est comparable à celle d'une courbe à un polygone.
Supposons, par exemple, [x = 1000, p = q = ^.
CHAP. IV. THÊOmÈMB DE JACQUES BERNOULLI. Jl)
La formule (9) devîenl, pour h = 4o,
pour A = 60,
—-J^-^^^ tf-5.5 = 0,001028:) ; v/iooor
000 ir
pour A = 100,
^-10 = o,ooooooooo52oo6.
ÏOOOTT
L'influence d'un nombre aussi petit dans les formules est insignifiante; on peut le supprimer s'il existe, l'introduire s'il n'exi«»tir pas, le remplacer par un autre de même ordre, les chiffres ulil#f*» du résultat n'en seront pas modifiés.
60. Quelques épreuves justiGeront la confiance accordé* â la formule (10).
La probabilité d'une erreur comprise entre 5 el i — dz ét»fit
v/ara/yy
^ ^*^Mds.
il est nécessaire que la somme des probal/ilité» d/^ U^nt^,^ U:% e# reurs possibles représente la certitude: 00 d/^ît d/>i^, ar^/îf
Si l'on pose, en effet,
cette intégrale devient
égale à l'unité en vertu d'un théorème très connu* L'épreuve réussit mieux qu'on n'était en droit de IV^fii^^^^
8o CALCUL DES PROBABILITÉS.
toute formule approchée doit en effet laisser craindre une erreur. Le résultat, ici, est rigoureusement exact.
61. Cherchons, d'après la formule (lo), la valeur probable du carré de l'écart, c'est-à-dire Tespérance mathématique de celui qui doit recevoir une somme égale à z-. Cette espérance est la somme des produits de chaque valeur de z'^ par sa probabilité: elle a pour expression, d'après notre formule,
:==: j e i\i.p<j Z^ dz.
v/a T^l>-pq
Posons
^/'JL\Lpq
la formule devient
(II) ^^^ f e-tW^dt = \Lpq.
62. Nous allons chercher directement la valeur exacte de Tespérance mathématique dont la formule (i i) donne la valeur approchée. Posons
(p-hq)\^ =pV--h A,/?H--i q -H AipV--^q^-+- . . . ■+- Aç^pP\>-q'/V-h
Les termes de cette formule représentent rigoureusement les probabilités dont (9) donne la valeur approchée. La probabilité qui correspond à un écart h est
où l'on a
n = \Lq — // ,
h = |jL^ — n.
L'espérance mathématique de celui qui attend une somme égale à h- est donc
(II) ^{^q--nYXnpV-"q",
la somme S s'élendant à toutes les valeurs de n.
CHAP. IV. THÉORÈME DE JACQUES BERNOULLI. 8l
L'expression (ii) peut s'écrire
On a
puisque l'on multiplie par it-^q^ tous les termes d'une somme égale à l'unité.
L'identité
donne, en égalant les dérivées par rapport à Çy préalablement multipliées par q^
et, en remplaçant {j> -\- q) par l'unité dans l'équation précédente qui est une identité, on en déduit
S/iA^/^l*"'*^'* ~ \^q
et, par conséquent,
Sfxy/iArt/?^'-'»^'* — fA*y'.
L'identité (i 3), différentiée par rapport à gr, donne, en multipliant ensuite les deux membres par q^
^{\i-^i){p-^q)V'-^q^'\-^{p-^q)V'-^q = 2 Al* A„/?H-'»<7«
et, à cause de j[? -+- 5^ = i ,
S Al* Art /?!*-'* ^r» = Ht([A — Oy^-^ v-q-
Ces formules réduisent la somme (i?) à
C'est le résultat obtenu (61). La substitution des valeurs approchées aux valeurs exactes n'a donné aucune erreur.
Il ne peut pas toujours en être ainsi. Faisons une troisième épreuve.
63. Cherchons la valeur probable de l'écart z considéré en gran- B. 6
deur absolue; cela est nécessaire, car sans cela les termes négatifs détruiraient les termes positifs et le résultat serait nul.
La valeur probable de ;;, d'après la formule adoptée pour représenter la probabilité d'une erreur z, est
L'intégration s'étend de o à l'infini seulement, parce que nous ne considérons pas les valeurs négatives, dont on tient compte cependant en introduisant le multiplicateur 2.
Posons
L'intégrale devient
telle est l'expression approchée de la valeur probable de z.
