Calculons exactement la valeur probable de l'écart

La probabilité d'un écart égal à z est le terme du développement de (/? 4- q)^ dans lequel l'exposant de/? est jx/? -f- s et celui de (7, )xq — z.

Il faut multiplier ce terme

par -3, afin de former l'espérance mathématique de celui qui attend une somme égale à z. On a, à cause de /? 4- 9 = i ,

^p -\- z et jxy — z sont les exposants de /? et de y dans le terme de (/> -4- q)^. Or, multiplier un terme

par

c'est prendre la dérivée par rapport à/?, en retrancher la dérivée par rapport à q et multiplier la différence pdivpq.

Nous devons donc prendre les termes de développement de iP "*" Ç)^ pour lesquels z est positif, c'est-à-dire

*^ ^^ ^ 1.2 '^ ^ I.2.3...[l/).I.2.3...JJLy '^ ^

et retrancher la dérivée par rapport à ^ de la dérivée par rapport à/?, pour multiplier ensuite le résultat par pq.

Les termes, on le voit aisément, se détruisent deux à deus: la dérivée par rapport à y du second est égale à la dérivée du premier par rapport à /> ; la dérivée du troisième par rapport à q est la dérivée du second par rapport à p^ et ainsi de suite ; il ne reste que la dérivée du dernier par rapport à/?.

pV-Pq^1\i.qp,