Supposons, comme à la roulette ordinaire

ic) i8

Les mises étant supposées égales à i^', a est donné par l'équation

une des racines, comme toujours, est égale à l'unité. C'est l'autre qu'il faut prendre ; on a

La chaDce de ruine du banquier est donc

n étant le rapport de Tavoir du banquier à la mise totale de Tun des coups.

Si Ton suppose /i = 1000, on a

^yooo ,

98. Problème LU. — Pierre joue à un jeu dans lequel il a à chaque partie la probabilité p pour gagner et pour perdre la probabilité q . U enjeu est \^* pour chacun des deux adversaires. Quelle est la probabilité pour que Pierre, qui possède m francs, soit ruiné précisément après avoir fait ^parties, de telle sorte que la \k^^"^*' partie lui enlève son dernier franc?

Pour que Pierre ait perdu m francs en [x parties, il faut qu'il ait

perdu - — ; — - parties et gagne — •

Le nombre [a étant tel que ces deux fractions soient des nombres entiers, c'est-à-dire de même parité que m, la probabilité

pour que, sur (a parties, Pierre en gagne i— ^ — > est (o4)

\x — m IX H- m '

Cette probabilité est plus grande que celle que nous cherchons. On compte, en effet, comme séries de parties faisant perdre Pierre en (A coups, toutes celles dans lesquelles, à la fin de la ja**""' partie, il est en perte de m francs. On doit exclure celles qui, avant de procurer la ruine de Pierre au [x*'"*' coup, l'ont procurée déjà à un coup antérieur.

Pierre une fois ruiné, en effet, le jeu doit cesser; il n'est pas admis à exposer l'argent qu'il n'a pas.

Le problème résolu (18) nous fait connaître le rapport du

nombre des combinaisons qui ruineront Pierre en jx coups au nombre total de celles qui assurent en [x coups, joués quoi qu^il arrive, la perte de ses ni francs.

Si l'on considère, en effet, l'une de ces combinaisons et que l'on range les pertes et les gains dans Tordre où ils se sont produits, en les appelant en commençant par la dernière partie, l'excès du nombre des pertes sur celui des gains étant m, le rapport du nombre des combinaisons dans lesquelles, à aucun moment, les pertes et les gains ne seront en même nombre, au nombre total

des combinaisons est (18) — > m étant la différence et [x la somme

des nombres de parties gagnées et perdues. Le nombre des cas qui procurent la ruine de Pierre doit donc être multiplié par la fraction — • La probabilité pour que Pierre soit ruiné pour la première fois au jx*^*"' coup est

u. — m u. -+- m (lO) — /> « fj « Î--

{i- ~ jx — m fx-f- m

•2 Vt

99. L'expression précédente peut être remplacée, lorsque/? et q sont égaux à -J, par une valeur approchée très simple. Le facteur qui

multiplie — est alors le terme dont le rang s'écarte de — du plus

grand, dans le développement de {p -f- ci)^\ il a êlé calculé (58). La probabilité de ruiner en jx coups précisément celui qui joue à un jeu équitable à i*^*^ la partie, et qui possède m francs, est

100. La probabilité pour que la ruine s'accomplisse en (x coups précisément permet de calculer celle pour qu'elle ait lieu après le

^j^irme coup.

Cette probabilité est la somme des valeurs que prend l'expression (lo) quand on y remplace successivement (x par les valeurs JX -h 2, (X -f- 4ï ••• clc même parité, seuls nombres possibles de parties qui puissent procurer la ruine.

Si y(fx) désigne l'expression (lo), la somme

?( fA) -r- ?( fX -^ 2 ) -+- q( [X 4- 4) H-. . .

prolongée indéfiniment est la probabilité pour que la ruine de Pierre soit postérieure au (a**™* coup. Cette somme, pour de grandes valeurs de [a, peut être remplacée par

c'est-à-dire, d'après la valeur approchée de cp(^)i

yi T^ «/ji. z y z

La probabilité pour que Pierre soit ruiné avant le [a* "" coaj> est, par conséquent,

Si l'on pose — = t^^ cette expression devient

La Table des valeurs de la fonction

-'^ f e-''dt = e{t)

se trouve à la fin du Volume.

On en déduit, en appliquant la formule au cas d'un joueur qui possède 100^*" et dont la mise est de i*^^ par partie, avec probabilité { de gagner ou de perdre :

Probabilité d'élrc ruiné.

Avant d'avoir fait 2000 parties 0,026

» 4000 » o,ii4

u loooo u o,3i54

Le Tableau suivant, calculé à l'aide de la formule (10), que

pour des petits nombres la formule approchée remplace mal, donne la probabilité de perdre lo^*" en un nombre précis de parties

inférieur à loo.