SO
31 0,026 41 o,oo5 82 0,000004
Le Tableau suivant donne le nombre des parties qu'il faut jouer pour que, les deux adversaires ayant à chaque partie probabilité ^ de gagner, et Tenjeu étant i^', celui des deux qui sera favorisé par le hasard ait une probabilité ^ de gagner une somme supérieure à un nombre donné :
Bénéfice assigné
dont la probabilité est y.
Nombre des parties.
Les parties, comme dans le cas précédent, seront jouées, quoi qu'il arrive. Si le jeu devait se terminer dès qu'un joueur a obtenu le bénéfice demandé ou dès qu'il ne peut plus déposer sa mise, les résultats seraient très différents.
91. Problème XLIX. — Pierre et Paul font un nombre illimilé de parties à un jeu dont les conditions sont équitables ; leurs fortunes sont m et n. Quelle est, pour chacun d^eux, la probabilité de ruiner Vautre ?
Le jeu devant se prolonger jusqu'à la ruine de l'un des joueurs peut être assimilé à une seule partie dans laquelle celui qui risque
I l6 CALCUL DES PROBABILITÉS.
m francs devrait, s'il est vainqueur, en obtenir m -H /i. L'espérance mathématique doit être égale à la mise, et, si Ton nomme/? la probabilité pour que Pierre ruine son adversaire, Téquation
donne
>«« Bl
On peut calculer directement cette probabilité. Soit^x Ist probabilité pour que Pierre ruine Paul au moment où il possède X francs et où Paul, par conséquent, en possède m-^-n — x. On pourra écrire
( 5 ) yx^ pyx-^rb -+- qyx-a-
Lorsque Pierre, en effet, possède x francs, il peut, à la fin de la partie suivante, selon qu^il la gagne ou qu41 la perd, posséder x-^-b oxx X — a francs ; il y a donc probabilité p pour que^x se change en yx^by et probabilité q pour qu'il devienne ^x a- L'équation (5) en est la conséquence.
pb étant égal à qa^ puisque le jeu est équitable, la solution générale de Téquation (5) est
a et ^ étant arbitraires.
Cette valeur de Vx satisfait, on le vérifie immédiatement, et, renfermant deux constantes arbitraires, elle est la solution la plus générale.
On a, pour déterminer les constantes,
on en déduit
et, par conséquent,
Jo = O, y,n^n = I ;
qui s'accorde avec la solution précédente.
Cette solution peut donner lieu à une difficulté. Si les enjeux
a el 6 ne sont pas égaux à Tunité, Tun des joueurs pourra être forcé de cesser le jeu avant d'avoir tout perdu, possédant encore une somme inférieure à la mise exigée. Nous négligeons cette petite somme, qui, cependant, mettrait la formule en défaut dans le cas où elle formerait une partie notable de la fortune du joueur.
92. Problème L. — Les conditions restant celles du problème précédent, on ne suppose plus les conditions du jeu équitables. Quelle est, pour chacun des joueurs, la probabilité de ruiner l'autre?
Un ingénieux artifice de Moivre permet de déduire la solution de la théorie de l'espérance mathématique.
Donnons à Pierre, au lieu des m francs qu'il possède, m jetons de valeur a, a^, ..., a*"; a sera choisi ultérieurement. Remplaçons également les n francs de Paul par n jetons de valeur a'"'*'*, a*""*"^, ..., a*""*"" qui continuent la progression.
Le jeu se faisant dans les conditions supposées, la mise de Pierre sera a jetons, au lieu de a francs, et celle de Paul b jetons. On conviendra qu'à chaque partie Pierre exposera toujours les jetons dont la valeur est exprimée par les plus hautes puissances de a, et Paul, au contraire, ceux dont la valeur est représentée par les plus petites.
La série des jetons restant toujours la même, la séparation après chaque partie se fera en un point différent, mais Pierre aura toujours les premiers termes dç la série, et Paul tous les suivants.
La chance, pour chaque joueur, de perdre tous ses jetons est indépendante de la valeur qu'on leur attribue et, par conséquent, du choix de a. Le jeu sera équitable si l'on pose
Cette équation se réduit, quel que soit .r, à
Ii8 CALCUL DES PROBABILITÉS.
c'est-à-dire, p -\- q étant égal à i ,
(6) yt)2«^-^— a«-|- çr = o.
Le jeu, grâce à cet artifice, étant devenu équitable, l'espérance mathématique de chaque joueur doit être égale à sa mise; et, si l'on nomme P^ la probabilité pour que Pierre, qui a m jetons, ruine Paul, qui en a /i, on aura
93. Le calcul de P,» peut se faire directement. Soit rx la probabilité, au moment où Pierre possèdes: francs, pour qu'il finisse par ruiner Paul, on aura, comme (91),
Xx — pyx^b + qyx-a ;
ph n'étant plus égal àqra, l'intégrale de cette équation est, comme on le vérifie aisément,
(7) yar=C,-hCja^,
C| et C2 étant des constantes arbitraires et a satisfaisant à la condition
c'est-à-dire à l'équation (6) déjà obtenue
poL^-^f* — a'^-f- y = o.
Les constantes C| et C2 se détermineront par les conditions évidentes
et l'on trouve
c'est le résultat déjà obtenu (92).
L'équation (0) a pour racine a == î qui, évidemment, ne con-
vient pas ou qui, plutôt, sert à former le premier terme de la formule (7), Cl i^.
94. Si l'on suppose a = 6 = 1 et m = /i, la formule donne un résultat signalé par Huygens dans un cas particulier. On trouve
j5 //»! qm
et
qtn 1— J'/« =
m 4 il m
Les chances de ruine pour les deux joueurs qui possèdent chacun m francs, et exposent i*^^,par partie à un jeu dans lequel les probabilités de gagner chaque partie sont p pour l'un et q pour l'autre, sont dans le rapport de /?"* à ^r'». On peut le démontrer directement.
Les deux joueurs ayant même fortune et les enjeux étant égaux, les successions de perte et de gain qui peuvent ruiner Pierre correspondent une à une aux successions de gain et de perte qui peuvent ruiner Paul; il suffit de changer les pertes en gains, et réciproquement, pour passer d'une série à l'autre. Dans Tune des séries, le nombre des parties surpassera de m celui des gains ^ dans l'autre, ce sera le contraire. Les probabilités des deux combinaisons sont donc entre elles dans le rapport de
pm+h qh ptn
qtn-i-hnf*^ qi>^
Ce rapport est celui des probabilités totales dont les termes sont en même nombre.
95. Problème LI. — Pierre joue à un jeu équitable ou non, mais dans des conditions invariables d^ une partie à r autre, contre tout adversaire qui se présente. Quelle est la probabilité pour quHl finisse par se ruiner ?
La solution de ce problème, déjà résolu en partie (85), peut se déduire des résultats précédents.
La chance de ruine est la même, évidemment, pour Pierre que s'il luttait contre un adversaire de fortune infinie.
Lorsque, Pierre possédant m francs, son adversaire en possède w, la probabilité pour que Pierre soit ruiné est (92)
a étant la racine de l'équation
p et q sont les probabilités de gain pour chaque joueur à chaque partie, a la mise de Pierre, 6 celle de son adversaire. Il faut, dans cette formule, supposer n infini. Trois cas peuvent se présenter: a est plus petit que l'unité, égal à Punité ou plus grand que Tunité.
Si a est plus petit que l'unité, l'expression (8), en y supposant n infini, se réduit à l'unité. Il est certain que Pierre sera ruiné.
Si a est égal à Tunité, la formule prend la forme J, elle a pour valeur le rapport des dérivées de ses termes par rapport à a
égal à Tunité quand n est infini.
Dans ce cas, comme dans le précédent, la ruine de Pierre est certaine.
Lorsque a est plus grand que l'unité, la formule (8) a pour limite — • La probabilité de la ruine de Pierre dans sa lutte contre
un adversaire de fortune infinie n'est égale, dans ce cas, ni à zéro, ni a 1 unité.
96. Il importe de chercher à quelles hypothèses correspondent les trois valeurs de a.
L'équation
qrga-k-b ^ ab-^ p = o
a, dans tous les cas, la racine a =: i. Pour que l'autre racine réelle
et positive soit égale à l'unité, il faut que Téquation ait deux racines égales et que, par conséquent, a soit racine de Féquation dérivée
Cette racine double étant égale à l'unité, on doit avoir
Le jeu, par conséquent, est équitable.
Pour celui qui joue indéfiniment à un jeu équitable, a est égal à Tunité et la ruine est certaine. Ce résultat a été obtenu (85).
Le seul cas où la ruine ne soit pas certaine est celui de a plus grand que l'unité : le jeu alors n'est pas équitable et les conditions favorisent celui des joueurs dont la fortune est limitée.
L'avantage, quelque petit qu'il soit, fait disparaître la certitude de ruine.
C'est le cas du banquier dans les jeux publics. Daiis tout autre, sa ruine serait certaine.
Un avantage est pour lui juste et nécessaire; il importe seulement de ne pas l'exagérer. La chanCiC de ruine
lorsque a est plus grand que i, est petite. On peut, dans les conditions où se placent liabituellement les maisons de jeu, la considérer comme nulle.
