I .2-3. . .fX
1 [^ — ^ q fx-f- /yi
si Ton change (x en [x 4- 2, elle se multiplie par
fîJl-+-l)(fJl-+-2)
(fX-+-2)'
c'est-à-dire
f^(fJt-+-0
(fx-ha)*— m»
L'expression augmente avec [Ji, tant que Ton a
c'esl-à-dire
et la probabilité maxima correspond à
SI m =: 100.
On a
'nl^ = W^=. 333..
La probabilité maxima est égale à 0,0000925.
102. Si Ton remplaçait l'expression (10) par la valeur approchée
la valeur maxima s'obtiendrait en égalant à zéro la dérivée par
rapport à [x; on trouve
La différence des résultats est, par sa petitesse, une vérification de la formule approchée.
103. Problème LIIL — Pierre et Paul jouent à un jeu de hasard, La probabilité de gagner chaque partie est p pour Pierre et q pour PauL L'enjeu de Pierre est a francs, celui de Paul b francs, Pierre possède m francs, Paul n francs; le jeu est équitable. Quelle est la valeur probable du nombre des parties qui seront jouées avant la ruine de l'un des joueurs ?
' En nommant j^x cette valeur probable lorsque Pierre possède X francs, c'est-à-dire l'espérance mathématique de celui qui aurait promesse de recevoir i'*" par partie jouée, on aura
(1*2) JTx— H-/>^x+6-4- qyx-a-
11 est clair, en effet, que le nombre des parties jouées comprend d^abord la partie par laquelle on commence^ qui certainement aura lieu, et qu'après cette partie Tespérance mathématique cherchée est devenue JKx+a ou Vx-ai selon celui des deux joueurs qui a gagné.
La probabilité pour que la valeur de Tespérance mathématique devienne yx+b étant />, et pour qu'elle devienne yx-a étant q, Téquation (12) est la conséquence immédiate des principes.
La solution générale de l'équation (12) doit contenir deux constantes arbitraires, et ne peut évidemment en contenir davantage.
Posons
y = a x' -f- px ■+- Y ;
en supposant /?& = qa^ Téquation sera satisfaite si l'on pose
fi et Y restant arbitraires.
La solution générale est donc
ab Les conditions évidentes
donnent
et
yo
ym-*-n =
fi —
ab
mn
Le nombre probable des parties est donc proportionnel au produit des fortunes des deux joueurs; il devient infini (88) lorsque Tune des fortunes est infinie.
104. M. Rouché a étendu la solution précédente au cas où le jeu n'est pas équitable. Il a résolu le problème suivant :
Problème LIV. — Pierre et Paul jouent aux conditions énoncées dans le problème précédent ; mais le jeu n^est pas équitable, la différence pb — qa n'est pas nulle. Trouver la valeur probable du nombre des parties qui précéderont ta ruine de l ' un des jo ueurs .
L'équation
^x = n- pyx-^b -^ qyx-a
définit, comme dans le cas précédent, le nombre probable des parties qui restent à jouer lorsque Pierre possède x francs et Pail ni-\- n — X francs.
On satisfait à cette équation, quelles que soient les constantes qui y figurent, excepté dans le cas traité précédemment, en posant
(i3) .yx=Ga^-hG'ar-+-G%
a étant la racine de Téquation
et en prenant
Ces valeurs sont données par la substitution de (i3) dans l'équation, en écrivant qu'elle devient identique. C et C" restent arbitraires. Quelles que soient leurs valeurs, l'équation est satisfaite. On les déterminera par les conditions
En nommant P la probabilité calculée (92) pour que Pierre finisse par ruiner Paul, on trouve, en efiectuant les calculs,
C^) >^"'= pb-ga '
résultat élégant qui peut s'énoncer ainsi :
Le nombre probable des parties est égal au rapport de Cd'
vantage total de Vun des joueurs à r avantage du même joueur dans chaque partie.
(/;i-|-/i)P est en effet l'espérance mathématique du joueur qui a probabilité P de posséder l'enjeu total {m-^n), m est la fortune de ce joueur, et le numérateur est l'avantage qui résulte pour lui de la décision prise de continuer le jeu indéfiniment. Le dénominateur est, pour chaque partie jouée, Texcès de son espérance mathématique sur sa mise.
105. Il semble facile de démontrer ce théorème directement. Supposons pb — aq positif, le jeu est avantageux au premier joueur. Soit n le nombre de parties qui seront jouées. Si/>|, /?2, . . .,/?|j. sont les probabilités pour que le jeu finisse en jTi, x^t . . . , Xji parties, le nombre probable des parties est
(i5) p\Xi'\- piXi-k- pzx^-^,, .-^p^x^.
Celui qui aurait droit à une somme égale à (i5) pourrait conclure avec des acheteurs différents des marchés équitables pour leur vendre en détail les avantages qui, suivant les cas, pourront pour lui résulter du jeu. Si le nombre des parties est .Ti, un acheteur recevrait la promesse du bénéfice correspondant; il devra pour cela payer
PiXxipb — aq),
puisque chaque partie jouée équivaut pour Pierre à un avantage pb — aq.
Les ventes simultanées faites à des acheteurs différents ne peuvent faire naître aucune difficulté pour le règlement des Comptes. Quel que soit, en effet, le nombre des coups joués, l'un des acheteurs se substituera au vendeur, et les autres n'auront Hen à réclamer. La somme payée en échange de la totalité du gain espéré sera
{Pi Xx-\- piXt-^.,,-^p^JC^){pb — qa ).
Cette somme est l'excès, sur la fortune de Pierre, de l'espérance mathématique résultant pour lui de la détermination de conti- B. 9
l3o CALCUL DES PROBABILITÉS.
nuer le jeu jusqu'à la ruine de Tun des joueurs, à un jeu inégal dont les conditions lui sont avantageuses. Cette espérance mathématique est le produit de l'enjeu (m-+-n) par la probabilité P de le gagner, et l'avantage du joueur est l'excès de celte espérance mathématique sur la somme qu'il possédait avant d'entrer au jeu, mais qui, une fois le jeu commencé, ne lui appartient plus.
On peut donc écrire
(piCti-^PiXi-^-,. '-^p^x^){pb — qa) = P(/n-+- n) — m
et, par conséquent,
C'est le théorème de M. Rouché.
106. Nous avons plusieurs fois signalé des raisonnements plausibles, qui, lorsqu'on y regarde de près, manquent de rigueur el conduisent à des conclusions fausses. Celui qui précède conduit à une formule exacte. On peut cependant élever contre lui ua^ objection fondée.
Lorsqu'un joueur est admis à jouer une partie inégale, doï^^ les conditions lui sont favorables, la probabilité de gagner la mi^^ b de l'adversaire étant/?, et celle de perdre une mise égale à ^ étant ^, l'avantage de jouer une partie dans ces conditions a poi^ ^ valeur équitable pb — qa\ le droit de jouer un nombre x A^ parties doit être payé x{pb — qa) ; c'est ce qu'il vaut.
Mais quand ce nombre x^ au lieu d'être donné, est design ^ comme le nombre de parties jouées jusqu^à la ruine de l'un de'^ joueurs, ces parties, quoique le détail des pertes et des gains soi ^ inconnu, ne présentent pas les mêmes chances que si l'on connais ^^ sait seulement leur nombre fixé à l'avance et les conditions du jeu ^ Si, par exemple, le nombre de ces parties est assez petit pour qu^ la fin du jeu, que par hypothèse elles procurent, ait exigé la pert^ continuelle du second joueur, le droit, pour le premier, de jouet" chaque partie ne vaut plus pb — qa, il vaut b.
CHAP. VI. — LA RUINE DES JOUEURS. l3l
Le calcul de M. Rouché était donc nécessaire, et le raisonnement, quoique très spécieux, qui conduit au résultat exact, n'est cependant pas rigoureux.
107. La démonstration (105) ne s'applique pas au cas où le jeu est équitable. L'expression (i4) prend la forme f ; on peut en trouver la vraie valeur.
La valeur probable du nombre des parties est
P(m -+- /i) — m pb — qa '
on a (92)
I — a'«-^« a étant racine de l'équation
Si l'on suppose /76 — qa^=^ty t étant infiniment petit, a difi'ère infiiument peu de l'unité. Posons
La valeur de P devient
. mh -f- - m^h^
^^ en négligeant le carré de A,
^expression du nombre probable de parties devient, par la substitution de cette valeur de P,
hmn
^^ i^pport - est indépendant de m et de /i : le nombre probable des parties est donc
l32 CALCUL DES PROBABILITÉS.
C étant une constante ; et, comme le nombre des parties est égala l'unité quand on a m = a, /i= 6, il faut supposer C= -r- Onretrouve le résultat déjà obtenu.
108. Dans le cas où les deux joueurs possèdent au début la même somme, on peut trouver la valeur probable du nombre des parties par une méthode très différente des précédentes*
Soit (p(/n) le nombre probable des parties lorsque chaque joueur possède m francs. Supposons que l'avoir de chacun soit doublé, le nombre probable des parties deviendra cp(2i7i). Si Ton fait dans Tavoir de chaque joueur deux parts égales à/n, on peut supposer que chacun expose d'abord, dans deux luttes séparées, la moitié m de ses francs contre la moitié de ceux de son adversaire. Après cette première série de parties, de deux choses Tune, Tun des joueurs a gagné deux fois, et Tautre est ruiné, ou bien chacun a gagné une série et ils se retrouvent tous deux avec 2 m francs. La valeur probable du nombre des parties est alors, comme au début, cp(2m). La probabilité pour que le premier joueur ruine son adversaire, lorsque tous deux possèdent m francs, est (92)
n- X"* et, pour qu'il soit ruiné.
ttn
La probabilité pour que l'un des joueurs gagne une série cl perde l'autre est le produit de ces deux probabilités, qu'il faut doubler puisqu'on ne dit pas dans quel ordre les événements doivent se succéder^ on doit donc avoir
(16) ©(2/;i) = 9.0{m) -h -^^^g^m)! TC^'^))
a étant (92) la racine de l'équation
L'équation (i6) donne
jette équation, si on la suppose vraie pour toute valeur de m, permet de déterminer la fonction ^ . Nous nous bornons à menîonner ce problème, qui n'intéresse pas le Calcul des probabiités.
109. La probabilité dans un nombre donné de parties de la uine d'un joueur, dont l'adversaire est infiniment riche, a été lonnée par Lagrange, puis par Ampère dans le Mémoire sur a théorie du jeu, lequel a été son début dans la Science.
Lorsque deux joueurs luttent Tun contre l'autre et que chacun peut ruiner son adversaire, le problème est très différent. La solution suivante, qui se présente d'abord, n'est pas exacte.
Soient m et n les fortunes des deux, joueurs. Supposons le jeu équitable : la probabilité pour chaque joueur de gagner une partie csl|, l'enjeu est i*^'.
La probabilité pour que le premier joueur ruine le second est
r- — > pour qu'il soit ruiné lui-même elle est •
Si l'on sait que l'un des joueurs doit être ruiné, on peut, sans changer les chances, supposer à l'adversaire une fortune infinie. Si donc on nomme ç(/w, (Jl) la probabilité pour qu'un joueur qui possède m francs soit ruiné, en |jl coups précisément, par un adversaire dont la fortune est infinie, la probabilité pour que la Partie engagée entre deux joueurs, dont l'un possède m francs et •autre n francs, se termine en [jl coups précisément sera
Le raisonnement n'est pas exact.
Si l'on sait que Pierre a été ruiné par un adversaire dont la *oriune est finie, on en peut conclure que le hasard ne l'a pas favorisé : les combinaisons qui, débutant par un grand nombre de
l34 CALCUL DES PROBABILITÉS.
parties gagnées, auraient ruiné son adversaire doivent être exclues, celles dans lesquelles il gagne au début plus souvent qu'il ne perd sont rendues moins probables. La probabilité pour qoe là ruine se soit produite en |ji coups n'est plus égale à f (m, {x).
HO. Problème LV. — Pierre et Paul possèdent chacun 2^, ils jouent jusqu'à la ruine de l'un d'eux. La probabilité de gagner chaque partie étant 5 et l'enjeu égal à i'"', quelle est la probabilité pour que le jeu se termine précisément en ^[k parties?
Le nombre des parties doit être évidemment pair. Si le jea n^est pas terminé, chaque joueur possédera 2*^^; car, en un nombre pair de parties, la perte de chacun est un nombre pair; si donc elle n'était pas nulle, le perdant serait ruiné.
Soit j'fiL la probabilité pour que le jeu ne soit pas terminé en2|t parties, on aura
Il est clair en effet que, si le jeu n'est pas terminé en 2 |x parties, ce dont la probabilité est y^, pour qu'il ne le soit pas ptf les deux parties qui suivent, il faut que chacun des joueurs gagn^ une partie et perde l'autre. La probabilité pour qu'il en soit ainsi est i.
De Téquation (18), on conclut
et comme, pour (x = i , on a^ji— j, C est égal à l'unité. La probabilité pour que le jeu ne soit pas terminé après 2[jl parties est donc (^)t*. Pour que le jeu se termine précisément en 2|x parties, n faut qu'il ne soit pas terminé en 2(jl — 2, ce dont la probabîH'^ est(^)t*"*, et que le même joueur perde les deux parties suivantes, ce dont la probabilité est ^. Le produit (\y est la probabilité pour que le jeu se termine à la 2[jl*^"* partie.
CHAP. VI. — LA RUINE DES JOUEURS. l35
111. Problème LVI. — Pierre et Paul possèdent chacun 3*^^, «75 jouent dans les conditions définies dans l'énoncé précédent. Quelle est la probabilité pour que l'un des deux soit ruiné précisément au coup de rang |jl?
Le nombre de parties doit être impair. Après a [jl + i parties, si le jeu n'est pas terminé, la perte et le gain seront un nombre impair, il doit être moindre que 3, il est donc l'unité : Tun des joueurs possédera 2^' et l'autre 4^'* Soit y^ la probabilité pour que le jeu ne soit pas terminé au (2(jl -|- i)'^™» coup, on aura
Si, en effet, le jeu n'est pas terminé au ( 2 (jl + i )'^"* coup, ce dont la probabilité est j^iu il fa'? t, pour qu'il ne le soit pas au (2 |ùi + 3)""*, ou que chacun des joueurs perde une partie et gag^e l'autre, ou que celui qui a conservé 4*^^ perde les deux parties; la probabilité pour que l'un ou l'autre de ces événements se produise est |.
De l'équation (20), on conclut
On a d'ailleurs
car, pour que la partie soit terminée en trois coups, il faut que le même joueur gagne les trois premières parties, ce dont la probabilité est \. Il faut donc prendre G = i , et l'on a
Pour que la partie se termine précisément au coup 2[jl4-ï, il faut qu'elle ne le soit pas au coup 2|jl — i et que le joueur qui possède 2*^^ seulement perde les deux parties suivantes, ce dont la probabilité est \,
La probabilité pour que le jeu se termine au coup de rang 2 jjl -4- i
