PnOBLKMI I
ils Jouent jnsi/ff */ di' gagner i'htifjnest la prohnliilii a a parties ?
Le nuiiiliH' n'est pas Iiti»
pair de p;»' ' elle nrliiu '
S(uL ) . •
Lucoup d'élégance cl de bon-
pai'lH-s
Il ,-
r,tl jouent run mntrr l'autre s possèdent chacun n franco /.<»• partie le perdant donne i^' . îHC lorsque l'un (/uelconque des ■ '.'st la probabilité P pour que h \t fin d'une partie de rang as^
.4 Joil encore se continuer, c'est que ^ un des suivants :
'. • ri - 'Jl ), ....
laïquant que Tun quelconque des deux i. par suite, l'autre a/î — /francs.
I fiivbahilité pour que, après u parties, le .K lotininé et que Tétat des fortunes soit ai lo principe de la probabilité totale,
.mImIiIi' de passer en une partie de Télat
ou d'attention que/?JÎ""* esl «'gai à i, et que .v»»4'» do'» indices p'f. esl égal à i ou à zéro, suivant >. .uo do i - k esl égale à i ou diffère de i. D'a- ....i 'i^ donne les // relations
r»v;^'"rjU^^'
îiv;* »^
CH.Vr. VI. — LA RUINE DES JOUEURS. \3y
t ml tirer '^«(ul); car, cette quantité étant connue, on aura, . Il proljabilité cherchée,
Or, si l'on adjoignait aux équations ('22) celles qu^on obtient en cliangcant [x en [x H- i dans la seconde, |jl en |jl -f- i , |jl -f- 2 dans la troisième, ...,aen|jL-l-i,jjL-f-2, ...,|jL-h/i — i dans la dernière, on aurait ^n(n-{'i) relations qui, par l'élimination des ^n{n -}- — I quantités ç dont l'indice diffère de i, conduiraient à une équation de la forme
(23; çi( fjL 4- 71 )-+- Aiçi(fjn- n — I) -4-. . .-H A„cpi([x) — o.
D'ailleurs, si «,, 0-2, . > - ^ an désignent les racines de l'équation caractéristique que Ton obtient en faisant dans (23) 'o, (P'),= «^, l'expression générale de 'fi([J«.) sera Sca^JJ", et, par suite, la valeur de Pji. sera ^Sca^/J^'S les constantes C|, c^, . .., Cn étant déterminées par les conditions initiales du problème.
Cette détermination se fait élégamment de la façon suivante : d'abord, ni Pierre ni Paul ne peuvent être ruinés avant la fin delà /i'*"* partie; d'autre part, la probabilité pour que le jeu cesse juste après la n''*"® partie, c'est-à-dire la probabilité pour que Pierre ou Paul perde n fois de suite, est
De là résultent les relations linéaires
(24) 2:cA-=o, 2cAflrit = o, ..., i:cAar' = o, Scyi-rt^"» = -^*
qui permettraient d'obtenir C|, Ca, ..., c„ et, par suite, P^en fonction des racines ai, a^^ . ., an- Mais ce que nous voulons, c'est l'expression de P(i en fonction des coefficients de l'équation caractéristique.
Or, si l'on pose
(^ — ai)( 5 — a,) . . . (^ — fl;, ) = 6(-5)
l38 CALCUL DES PROBABILITÉS.
et si Ton ajoute les équations (24) après les avoir multipliées respectivement par les coefficients de /q, ^i, t^y ..., /""• danslecpiotient
on obtient
ou, en multipliant par
z — ak~~ a'»-*
6(5) et désirant par E(2) la partie entière du premier membre,
E(z)-hS
CkCCl I -5^*"*
z — ak 2"-* 6(z)
On voit par là que le coefficient de - dans le développement d premier membre est 2 P|i ; la probabilité cherchée Pji est donc égal"^ au coefficient de - dans le développement de
Il reste à trouver Téquation caractéristique. Au lieu de la cher — cher par le procédé laborieux ci-dessus indiqué, nous l'obtiendrons rapidement comme il suit : les relations (22) montrent que, si To
pose
on a
de là résultent les équations
CHAP. VI. — LA RUINE DES JOUEURS. 1 Sg
OÙ X désigne la quantité — 2a; et rélimination des ^ donne
Les valeurs évidentes
Vl = X, Vj=X»-2,
et Téchelle de relation
V/i = xVn-i — Vrt— î,
que Ton obtient immédiatement en développant le déterminant par rapport aux deux dernières lignes, prouvent que la fonction Y„ est celle que Ton rencontre dans la théorie de la division du cercle en parties égales et qui a pour expression
jr«-*-f-...
r désignant le plus grand nombre entier contenu dans ~n. Donc P(j.est le coefficient de - dans le développement de
OU, ce qui revient au même, en posant
P{i est le coefficient deyV--" dans le développement de
A|- désignant le coefficient de x""^^ dans Yni^) et, par suite, étant égal à zéro quand l'indice i surpasse j/i.
Ce quotient a pour expression
Ba désignant le déterminanl d'ordre k
Bo-'* +...).
Bx.-(-i)
Al
Aa-I A;t-Î
Al
On voit par là que, si |jl — n est impair, Pj^ est nul, et que, si |JL — 71 est pair et égal à 2 A*, on a
Une vérification s'offre ici d'elle-même. Pour /i = 2 ou /i = 3, le déterminant B/t se réduit à son ternie principal, et Ton retrouve immédiatement les résultats obtenus directement aux n^* 110 et 111.
113. On peut rattacher au problème de la ruine des joueurs l'espérance, acceptée souvent, d'accroître les chances de gain par une ingénieuse disposition des mises et du nombre des parties jouées. Toutes ces combinaisons sont illusoires. Si les conditions du jeu rendent pour chaque partie l'espérance mathématique égale à la mise, l'égalité existera, quoi qu'on fasse, quel que soit le nombre des parties.
Nous nous bornerons à examiner un procédé plausible pour accroître les chances de gain en laissant celles de perte petites.
Un joueur entre au jeu avec la résolution de continuer tant que le sort lui sera favorable et de se retirer après sa première perte. Le nombre des parties qu'il jouera peut être illimité et le bénéfice
CHAP. VI. — LA RUINE DES JOUEURS. l4l
immense; la perte, au contraire, sera nécessairement petite, égale tout au plus à la mise pour une seule partie.
Lorsque Ton compare, cependant, les chances de perte à celles de gain, on les trouve, comme cela doit être, équivalentes, lorsque les conditions du jeu, a chaque partie, sont équitables.
Soient
p la probabilité de gagner une partie;
a la somme à recevoir;
q la probabilité de perdre;
h la somme à pajer dans ce cas ;
on a
Le joueur a une probabilité q de perdre la somme b\ une probabilité pq de gagner a — b\ une probabilité p'^q de gagner la — bj etc. ; une probabilité p^q de gagner na — 6. Son espérance mathématique, au moment où il se met au jeu, est donc
c'est-à-dire
pqa{i'^ 2/Ï-+- 3/?*-!-. . .) ^ pqb{\ +/>-*-/>*-+-.. ') — qb
et, en remplaçant les deux séries par leurs valeurs , et
c'est-à-dire zéro si le jeu est équitable.
L'avantage prétendu de la combinaison se réduit à accroître la valeur possible du gain, en diminuant proportionnellement la probabilité de l'obtenir.
l44 CALCUL DES PROBABILITÉS.
Deux urnes, par exemple, sont d'aspect identique : Tune contient une boule blanche et une boule noire; Tautre, dix boules noires et une blanche. On choisit une des urnes, on en fait sortir une boule, elle est blanche; quelle est la probabilité d'avoir choisi la première urne?
Deux causes sont possibles : la première urne et la seconde urne; mais, contrairement à ce qui avait lieu dans les cas précédents, aucune de ces deux causes, supposée véritable, ne rend certain l'événement observé. On pourrait considérer comme causes possibles les deux boules blanches qui ont pu sortir. Tune de la première urne, l'autre de la seconde; mais ces boules n'ont pas même vraisemblance. La seconde, associée à dix autres boules, a moins de chances de sortir que la première et sortira certainement moins souvent si l'épreuve est renouvelée un grand nombre de fois.
