CHAPITRE IX
ERREURS DE SITUATION D'UN POINT
SU p locat obJ«eU aliaujas ex obserratione prima de> flnitus, ^, r, «. ... ejnsdem olijeeti loea in ohMrfatlonibns seqaenttbnf; flot fnsaper P, Q, R, S pondéra reoiproce proportlonalla ipatllt •▼afatlonam. par qn» se dlfftindere postlnt erroret ex obieiTattoalbiu sinfnilf prodennte», qna dantur ex datts errorain limicibas ; et ad puncta p. q, r, s, ... poftta InteÙlfanlnr p<M-
dera P, Q, R, 8 et Inveniatar eoran fraTiuiU
oeotnim Z : dico punctam Z fore lœiui objecti. qnl pro Tero ejas loco tntisélme htberl poteet.
Roein CoTX».
175. ConGancc de Bravais dans la loi élémentaire de la probabilité des errears proposée et abandonnée par Gauss. — 176. Conséquence dans le cas où Terrenr sur chaque coordonnée est la résultante de deux erreurs élémentaires. — 177. Formule de Bravais déduite d'un postulatum. — 178. Détermination do facteur que la démonstration laisse indéterminé. — 179. Probabilité des écarts dans le tir à la cible. — 180. Ellipse dans l'intérieur de laquelle il y a probabilité donnée de voir la balle se placer. — 181. Moyenne probable des valeurs de la constante. — 182, 183. Quelle est la mesure de l'habileté d*un tireur. Difficulté d'une réponse précise. — 18-4. Vérifications de la formule. — 185. Erreur à craindre sur la moyenne des valeurs de la constante. — 186. Valeur probable du carré de Terreur commise dans l'évaluation du nombre des balles intérieures à une certaine ellipse. — 187. Calcul^ relatifs à looo balles tirées dans une même cible.
175. Lorsque les coordonnées d^un point sont déterminées indirectement par Tobservation de grandeurs dont elles dépendent, Terreur commise sur sa véritable place et la probabilité d'un écart donné dépendent de la loi de probabilité des erreurs commises dans les diverses mesures.
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Les études faites sur cette question, particulièrement par Bravais dans un Mémoire remarqué, supposent une confiance absolue dans la loi proposée par Gauss sur la probabilité des erreurs élémentaires; la probabilité d'une erreur z est proportionnelle à e~*'^', la constante k variant seule avec la précision des mesures.
Les formules déduites de cette hypothèse sont confirmées par les faits connus.
Bravais exprime les coordonnées du point observé en fonction linéaire des grandeurs mesurées; cela revient à prendre pour variables les différences entre les grandeurs mesurées et les valeurs observées, en supposant ces différences assez petites pour qu'il soit permis d'en négliger le carré.
176. Supposons, par exemple, que, œ et jk étant les coordonnées d'un point inconnu dans un plan,» on ait
X = X -^ au -h bv,
X et Y étant les valeurs approchées obtenues en acceptant les mesures comme exactes et w et ç' les erreurs commises sur ces mesures.
La probabilité pour que l'erreur u soit comprise entre a et a -4- rfa étant
et celle pour que l'erreur {> soit comprise entre ^ et p 4- rf^,
la probabilité pour que le point dont les coordonnées sont x et y se trouve dans la partie du plan qui correspond aux limites indiquées est
Oo peut, dans cet élément d'intégrale double, substituer aux
variables a et ^ les différences
Le produit dad^j d'après la théorie de la transformation des intégrales, sera remplacé par
dxi dyi dxi dy^
dxx dyi dxi dy^ ah' — ha!
'dâ df '~"d^ 11%
et la probabilité pour que le point soit compris dans le rectangle infiniment petit dxi dy^ prendra la forme
Ge-Aîorî-îXxr.-Aîjî dxxdyu
Texposant de e étant la somme — Â'^a^ — A'^^^ exprimée en fonction de x^ et àey^,
177. La méthode peut être étendue au cas d'un nombre quelconque de variables élémentaires. On transformera, dans tous les cas, la probabilité d'un système d'erreurs mis sous la forme d'un élément d'inti'gralc multiple, en introduisant au nombre des variables les coordonnées du point étudié auxquelles il faudra, dans le cas général, associer d'autres variables. Ces variables, arbitrairement choisies, disparaissent à la fin du calcul ; mais les transformations intermédiaires sont fort compliquées.
On obtient très simplement le même résultat en acceptant un postulatum équivalent à celui de Gauss (138), énoncé par Cotes, en J709, et employé ingénieusement par M. Schols pour démontrer le théorème de Bravais.
Si plusieurs positions d'un même point ont été successivement obtenues et méritent la même confiance, la position la plus probable est le centre de gravité du système des différents points considérés comme de même masse.
Soit ç(a, P) dcL dp la probabilité pour que l'erreur commise sur l'abscisse du point inconnu soit comprise entre a et a + ^a et l'erreur sur l'ordonnée entre ^ et p 4- rf^, le point se trouvant
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compris, par conséquent, dans un rectangle Infiniment petit de surface dccd'^.
Si X| j^i, ;r2^2î •••» :r,ij^,4 sont les coordonnées des positions présumées d'un même point et a:,^les coordonnées véritables, les erreurs successivement commises dans les diverses déterminations des coordonnées inconnues sont représentées par x — ^r^, y — j'i, ..., et la probabilité de leur concours est proportionnelle au produit
(i) ^{x — x,,7 — ^,) (p(a7 — Xi,y —yi) . . . o{x--Xn.y—yn)'
La position la plus probable a pour coordonnées, d'après le
postulatum,
■ yi-^yi-^'-'-^yn
Ces valeurs de ;r et Ae y doivent rendre le produit (i) maximum et, par conséquent, annuler les dérivées de ce produit par rapport aux variables x ely.
Si Ton pose
Idlo(x,y) „ , .
dl^{x,y) „ , —r^-lZJ.=F,{x,y),
les coordonnées x ely définies par les équations (2) doivent satisfaire aux équations
Fi{x — Xiyy—yi)-hFi{x — Xi,y—y2)-^,..-h¥i(x — x„yy — yn) = 0y F,(x — xuy —7,) -h Fs(a? — xt^y —7») -+- ... -+- F,(a? — Xn^y — yn) = o.
La somme des variables x — Xt, x — X2, . . . , :r — Xn est, en v^ertu des équations (2), égale à zéro, ainsi que celle des variables y — y^ , y — y2y • • • j ^ — yn î aucune autre condition ne leur est imposée. Les fonctions F< et F2 sont donc définies par les conditions que les équations
Fj( Wl, ^1) ■+- Fî(W|, t'î) -+-. . .-i- Fj(«*/», Vn) = o
23o CALCUL DES PROBABILITÉS.
soient les conséquences nécessaires des relations
Vi -f- Pj -+-... -h P/, = O
entre les variables.
En réduisant à deux le nombre des variables, la condition se
réduit à
FiCi/i, Pi) -4- F,(— uu — i'i) = o;
la fonction F, change de signe quand les deux variables changent de signe.
Si Ton suppose trois variables, on obtiendra, en tenant compte du résultat précédent,
(4) F,(mi, Pi)-h Fi(m2, p,) = Fi(a,-h £«„ i'i-4-t',),
quelles que soient les variables ;/(, (^i, U2j v's. On en déduit, en posant ^^' = ^i(x,y),
?i(mi, fi) = ?i(mi ■+■ Wji «'iH- t'O»
?l( Wt, Pj) = ?i(Mi-t- Ms, Vl-^Vi);
par conséquent,
La dérivée de F< par rapport à x est donc une constante. En
difTérentiant Téquation (4) par rapport à r< et à i>2i on verra
qu'il en est de même de la dérivée par rapport à y. Les dérivées
de la fonction F| étant constantes, cette fonction est linéaire par
rapport aux deux variables ; il en sera de même de F2, et nous
pouvons poser, en remplaçant F| et Fa par les dérivées qui les
déGnissent (3),
dlo(x,y) ,
dy -^ '
ax-\-by et a' x -{- U y éidini les dérivées d'une même fonction,
on doit avoir
d{ax -{-by) d(a'x-^ b'y)^
dy ~' dx *
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par conséquent, 6 = a'. La fonction l^{x,y) définie par ses deux dérivées est nécessairement de la forme
l9{Xfy) = -^ h oxjr-^ — - — h G,
a, bj V et C étant des constantes.
Les erreurs infinies étant impossibles, «p(^, ^) doit s'annuler quand x ely sont infinis, les constantes a et b' seront négatives.
La probabilité d'une erreur comprise entre u et u -h du pour x et i' et i^ 4- rfi^ pour y est donc de la forme
G étant une constante et a, constant aussi, pouvant être positif ou négatif.
Les points d'égale probabilité sont sur une même ellipse a^^ant pour équation
il et v' désignant les différences entre les coordonnées du point considéré et la position véritable, centre commun de toutes les ellipses semblables entre elles dont les dimensions sont proportionnelles à y/îî.
1 78. Les quatre constantes G, \ A:, A*' sont liées dans tous, les cas par la relation nécessaire
