Application au problème de la rencontre
Dans une urne, il y a u. boules numérotées do 1 à p ; je, les tire les unes après les autres, jusqu'à ce que l'urne soit vide. II y a rencontre si, au i* tirage, je tire la boule numérotée r.
Cherchons la probabilité pour qu'il y ait au moins une rencontre.
D'abord la probabilité pour qu'il y ait rencontre au rang i
est — En effet, il y a en tout autant d'hypothèses possibles
que de permutations de (* lettres, soit <* ! Combien sont favorables? celles où la t* boule est au rang i; je puis y permuter les 'i — 1 autres, donc p — 1 ! cas favorables. La probabilité est :
Cherchons la probabilité pour qu'il y ait rencontre au t* et au A* tirage. Deux boules ont un rang déterminé : si nous permutons les u. — 2 autres, nous verrons que le nombre des cas favorables es t y. — 2 ! ; la probabilité est :
même :
"''* i.(i.-i)(ii-s)
Toutes les pt sont égales ; comme il peut y avoir a rencontres :
Pour calculer S/)**, remarquons que le nombre possible
des doubles rencontres est **"* — '■
^-Df^- a)
?)y* = Sptjt = 7
Si je promets k un joueur autant de francs que de rencontres simples, son espérance mathématique sera 1 ; elle
sera -> s'il reçoit 1 franc par combinaison de 2 rencontres ;
Quelle est la probabilité pour qu'il y ait une rencontre au moins? C'est ce que nous avons appelé tout à l'heure P.
Je dernier terme correspond au cas de jx rencontres simultanées. Les termes de P sont les jj. premiers termes du développement de i — e - ', et celte série converge avec une rapidité extrême. L'erreur est d'autant plus petite que p est plus
grand, et, pour ja = 20, elle est inférieure à jjtji c'est-à-dire insignifiante.
La probabilité cherchée est 4 — e - '.
6. On promet à un joueur (toujours sans remettre les boules dans l'urne) de lui donner un franc à chaque maximum de la liste que l'on obtient, en écrivant les numéros sortis dans leur ordre de tirage. Quelle est son espérance mathématique ?
Supposons qu'il y ait maximum au i' tirage; on a tiré trois boules a, b, c, la (t — !)•, la ( # et la (i + il", et puisqu'il y a maximum, a < fi > c.
Il y a [t! cas possibles. Sans toucher aux autres boules, je permute entre elles a, fi, c ; six combinaisons sont possibles, dont deux sont favorables, a, fi, c et c, fi, a.
Dans ce groupe, la probabilité pour un maximum est donc
" Or, il y a ^ de ces groupes, correspondant au j" tirage,
L'espérance mathématique totale sera la somme des espérances mathématiques partielles ; d'autre part, sauf conventions spéciales que je ne suppose pas, ni le premier, ni le dernier tirage ne peuvent donner lieu a paiement.
u. — 2 L'espérance mathématique totale est donc c -~5 — ■
ï. n joueurs ont chacun un dé et mettent chacun 1 franc comme enjeu : celui qui amènera le point le plus fort ramassera les n francs; et si plusieurs joueurs obtiennent le même point, plus fort que celui de tous les autres, ils se partageront l'enjeu.
Le premier joueur, A, amène le point K : quelle est, à ce moment, son espérance mathématique?
La probabilité pour qu'un autre joueur déterminé amène le point K est ^ ; pour qu'il amène un point plus petit que K, K-l
Quelle est la probabilité pour que A partage l'enjeu avec i — 1 joueurs déterminés ? Ces * — 1 joueurs doivent amener le point K, les n — i autres un point inférieur à K. La probabilité cherchée est donc une probabilité composée, le produit de (^ ) par I — - — 1
Ainsi la probabilité pour que A partage avec i — 1 joueurs
déterminés est ' — ^^zi ■ On peut former autant de groupes
de ï — 1 joueurs qu'il y n de combinaisons de m — i lettres i i ai- l ' soit i ! l i 7n — il '
Chacune de ces combinaisons donne à A la probabilité ci-dessus, et le gain correspondant est -; l'espérance mathématique de A est :
«-Il (K -l)-' « » I (K-l)-'
Il faut faire la somme de ces espérances mathématiques depuis i' = l jusqu'à i = n, ce dernier cas étant celui où l'enjeu est partagé également entre tous.
Enfrn
6—< C'est le développement du binôme
[l + fK- l)T
à part le terme qui correspond k'i = o, soit — * ^ ■
L'espérance mathématique totale est donc :
S. La théorie de l'espérance mathématique a donné lieu à un paradoxe célèbre, le paradoxe de Saint-Pétersbourg : Paul lance une pièce de monnaie ; si elle retombe pile, il paie 1 franc à Pierre et la partie esl terminée ; si elle retombe face, on recommence. Si au deuxième coup on amène pile, Pierre reçoit 2 francs et la partie est terminée : si on amène face, on recommence. Au troisième coup, Pierre recevra 4 francs, ou bien la partie continuera, et ainsi de suite. Si la pièce présente face n fois de suite et que le (n-f- 1)" coup soit pile, Paul paie 2" francs.
Quelle somme doit donner Pierre à Paul au commencement de la partie pour que le jeu soit équitable ? En d'autres termes, quelle est l'espérance mathématique de Pierre ?
La probabilité d'amener pile au premier coup est - ; l'espérance correspondante est -■
La probabilité d'amener face au premier coup, puis pile au second, événements indépendants, est une probabilité
composée, -. — L'espérance mathématique est - X 2 = »■
Au troisième coup, cette espérance est — X 4 = y
Au n' coup, g^rj X 2" = -•
Tous les termes de la série sont égaux à - ; l'espérance
mathématique de Pierre est infinie : il n'achèterait jamais trop cher le droit de jouer.
On a voulu expliquer ce paradoxe de plusieurs manières. Paul n'est pas infiniment riche, a-t-on dit : sa fortune est comprise, par exemple, entre 2 P et V + ' ; si l'on amène ' pile au (p -(- i)* coup, il devra 2 P francs et pourra payer ; mais si l'on amène pile au coup suivant, il devra 2" + ' francs, et sera insolvable. Pierre ne peut donc toucher que V francs ; son espérance mathématique devient
i+ix2+ixl+... + ji î XÏ' + ^î'+ 2 -i,2'+...
La série devient :
p + 1 termes sont égaux à 51 le reste a pour somme ? l'espérance matbématîque est :
Si la fortune de Paul est, par exemple, d'un milliard, on pourra faire p = 30, et l'espérance mathématique de Pierre
sera -r = 16. On voit qu'elle se réduit considérablement.
On a dit aussi que le plaisir de gagner 1 000 francs est plus grand pour celui qui n'a rien que pour le millionnaire ; que le plaisir de doubler sa fortune est indépendant de cette fortune.
Le plaisir, quand on possède une fortune x, de gagner une somme h sera mesuré par
On a remplacé l'espérance 'mathématique par l'espérance morale.
p,, étant la probabilité de réaliser un gain A, l'espérance morale sera
X/i* log -
2'**-J- + 4iog -J- + - + srr, log -X-
pour le paradoxe de Saint-Pétersbourg.
Cette série est manifestement convergente.
3. Deux joueurs, dont l'un, A , possède m francs, et l'autre.
JE
44 CALCUL DBS PROBABILITES
B, n francs, jouent à 1 franc la partie et poursuivent le jeu jusqu'à ce que l'un des deux soit ruiné. La probabilité pour que cet événement se produise sera fonction de m et n, tp (m, n), et comme la somme des fortunes, m + » = *, est une constante, y sera fonction de s et n, c'est-à-dire de n. Appelons 9 (n) la probabilité pour que B finisse par être ruiné : nous supposerons ici que les conditions ne sont pas équitables.
Si A à chaque partie a la probabilité p de gagner, B a la probabilité 1 — p.
On joue une partie nouvelle. Deux hypothèses ae présentent: A va gagner et B aura n — i francs; B gagnera et aura n -f- 1 francs
f (n) comprendra donc la probabilité pour que B perde cette partie et finisse par être ruiné, soit pf{n — 1), et aussi la probabilité pour que B gagne celte même partie, mais finisse également par être ruiné, soit {1 — p) cp (n -f- 1).
Cette relation de récurrence servira à déterminer <p (n). Il faut en outre connaître les conditions limites.
Si n = o, B serait déjà ruiné ; si « = s, m = 0, A n'aurait rien. Donc f (0) = 1, ç (*) = o.
